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M^(n)을 S^(n+1)안에 있는 상수 스칼라곡률을 갖는 극소 초곡면이라 하자. 이것의 스칼라곡률을 R, 제 2 기본형식의 정방형 노름을 S라 할 때, M^(n)과 S^(n+1)의 구조방정식으로부터 S=n(n-1)-R이고, 따라서 스칼라곡률 R이 상수이면 S가 상수임을 알 수 있다. 1968년에 J. Simons 는 다음 사실을 증명하였다 [7]. “S가 상수이고 S< = n이면, S는 0또는 n이다.” 이 논문에서는 S. S. Chern이 제시한 다음 예측에 관심을 갖고 연구하였다. “ S^(n+1)안에 있는 상수 스칼라곡률을 갖는 폐 극소 초곡면들의 제 2 기본형식의 정방형 노름 S가 취할 수 있는 값들의 집합은 이산이다.” 1993년에 S. Chang은 다음을 증명함으로써 S.S. Chern의 예측이 n=3에는 사실임을 보였다 [1]. “S⁴ 안에 있는 상수 스칼라곡률을 갖는 폐 극소 초곡면들의 정방형 노름 S는 0, 3 또는 6이다. 즉 S값들의 집합은 이산이다.” S. S. Chern의 예측이 사실인지 아닌지를 알아보기 위해서는 S. Chang과 J. Simons의 논문 덕택으로, n> = 4이고 S>n일 때에만 확인하면 된다. 그래서 1998년에는 H. Yang과 Q. M. Cheng은 다음을 보였다 [9]. “ S>n이면 S > = n+ n/3 이다.” G를 O(2)×O(2)×O(2)라 하자. 그 때 1987년에 W. Y. Hsiang의 논문으로부터 다음 사실을 알 수 있다. “S^(5) 안에는 서로 합동이 아닌 무수히 많은 G-불변 극소 초곡면이 존재한다.” 본 논문의 목적은 S^(5) 안에 있는 상수 스칼라곡률을 갖는, 극소 초곡면 대신에 G-불변 극소 초곡면 M^4에 대하여 Chern의 예측을 연구하는 데 있고 다음 정리들을 얻었다. 정리 4.1 M^(4)가 어떤 점에서 서로 다른 2개의 ...

M^(n)을 S^(n+1)안에 있는 상수 스칼라곡률을 갖는 극소 초곡면이라 하자. 이것의 스칼라곡률을 R, 제 2 기본형식의 정방형 노름을 S라 할 때, M^(n)과 S^(n+1)의 구조방정식으로부터 S=n(n-1)-R이고, 따라서 스칼라곡률 R이 상수이면 S가 상수임을 알 수 있다. 1968년에 J. Simons 는 다음 사실을 증명하였다 [7]. “S가 상수이고 S< = n이면, S는 0또는 n이다.” 이 논문에서는 S. S. Chern이 제시한 다음 예측에 관심을 갖고 연구하였다. “ S^(n+1)안에 있는 상수 스칼라곡률을 갖는 폐 극소 초곡면들의 제 2 기본형식의 정방형 노름 S가 취할 수 있는 값들의 집합은 이산이다.” 1993년에 S. Chang은 다음을 증명함으로써 S.S. Chern의 예측이 n=3에는 사실임을 보였다 [1]. “S⁴ 안에 있는 상수 스칼라곡률을 갖는 폐 극소 초곡면들의 정방형 노름 S는 0, 3 또는 6이다. 즉 S값들의 집합은 이산이다.” S. S. Chern의 예측이 사실인지 아닌지를 알아보기 위해서는 S. Chang과 J. Simons의 논문 덕택으로, n> = 4이고 S>n일 때에만 확인하면 된다. 그래서 1998년에는 H. Yang과 Q. M. Cheng은 다음을 보였다 [9]. “ S>n이면 S > = n+ n/3 이다.” G를 O(2)×O(2)×O(2)라 하자. 그 때 1987년에 W. Y. Hsiang의 논문으로부터 다음 사실을 알 수 있다. “S^(5) 안에는 서로 합동이 아닌 무수히 많은 G-불변 극소 초곡면이 존재한다.” 본 논문의 목적은 S^(5) 안에 있는 상수 스칼라곡률을 갖는, 극소 초곡면 대신에 G-불변 극소 초곡면 M^4에 대하여 Chern의 예측을 연구하는 데 있고 다음 정리들을 얻었다. 정리 4.1 M^(4)가 어떤 점에서 서로 다른 2개의 주곡률을 갖는다면 그 때 S=4이다. 정리 4.3 만약 S>4이면 M^(4)는 모든 점에서 서로 각각 다른 주곡률을 갖지는 않는다. 정리 4.5 만약 S>4이면 어떤 점에서도 주곡률들 h_(11), h_(22), h_(33)은 주곡률 h_(44)와 같지 않다. 우리는 Simons의 논문 덕택으로 S< = 4이면 S는 0 또는 4이다. 그런데 S=0이면 M^(4)은 G-불변 극소 초곡면이 아니기 때문에 S=4이다. 우리의 예측 : S=4이다. 우리의 예측을 증명하기 위해서는 정리 4.1과 정리 4.3로부터 다음만을 증명하면 된다. “S>4이면 어떤 점에서도 서로 각각 다른 세 개의 주곡률을 갖지 않는다.”