본 연구는 초등수학 학습에서 추상적 개념을 구체물이나 구체적 상황으로 도입하는 과정에 어떤 문제점이 있는지 살펴보고, 구체물이나 구체적 상황에서 출발하지 않는 추상적 개념의 대안적 학습이 가지는 교육적 시사점을 논하기 위하여 설계되었다.
초등수학 학습에서 추상적 개념을 구체물로 도입하는 과정에 어떤 문제점이 있는지 알아보기 위해서 우선 구체물 활용의 필요성에 대한 입장을 여러 선행연구와 교과서 분석 등을 통해 고찰하였다. 이러한 고찰을 통해 수학학습에서 유의미하게 사용할 수 있는 구체적 조작물 및 교구의 특성에 대해 조사하고 그 필요성을 논하였다. 그리고 물리적인 구체물 뿐 아니라 구체적인 상황의 종류 및 필요성에 대해 분석하고 몇 가지 사례를 통해 문제점을 파악하였다. 아울러 구체물이나 구체적 상황으로 도입하는 수업에 대한 교사들의 인식 및 수업 실태 조사를 통해 구체물로 도입하는 수업이 가지는 어려움과 문제점을 살펴보았다.
그리고 구체물이나 구체적 상황에서 출발하지 않는 추상적 개념 학습이라는 대안적 접근이 가능한지 알아보기 위해서 두 가지 실험을 시행하였다. 우선 구체를 통한 추상화와 추상을 통한 구체화 과정을 비교해보았다. 이때 추상화와 구체화 과정은 눈으로 볼 수 없기 때문에 각 과정에서 보여지는 수학적 사고와 태도를 통해 간접적으로 비교하였다. 그리고 회전체의 단면을 알아보는 수업에 대한 지도방식을 두 가지로 나누어 진행한 뒤 학생들의 정의적 영역과 성취도의 변화를 비교 분석하였다. 이때 한 가지 방식은 구체물로 도입한 수업이었으며, 다른 한 가지 방식은 반구체물로 도입하는 수업이었다.
본 연구를 통해 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다. 첫째, 과도한 구체성의 제공은 오히려 수학학습을 방해할 수 있다. 일상생활에서 부딪히는 문제 상황을 수학적으로 해결하는 능력을 키우기 위해서는 분명히 구체성을 제거하고 수학적 본질만을 추상하여 해결하는 과정이 필요하지만, 이러한 과정에는 학습자가 자신이 처해있는 문제 상황이 과거에 형성한 추상적 수학개념이나 ...
본 연구는 초등수학 학습에서 추상적 개념을 구체물이나 구체적 상황으로 도입하는 과정에 어떤 문제점이 있는지 살펴보고, 구체물이나 구체적 상황에서 출발하지 않는 추상적 개념의 대안적 학습이 가지는 교육적 시사점을 논하기 위하여 설계되었다.
초등수학 학습에서 추상적 개념을 구체물로 도입하는 과정에 어떤 문제점이 있는지 알아보기 위해서 우선 구체물 활용의 필요성에 대한 입장을 여러 선행연구와 교과서 분석 등을 통해 고찰하였다. 이러한 고찰을 통해 수학학습에서 유의미하게 사용할 수 있는 구체적 조작물 및 교구의 특성에 대해 조사하고 그 필요성을 논하였다. 그리고 물리적인 구체물 뿐 아니라 구체적인 상황의 종류 및 필요성에 대해 분석하고 몇 가지 사례를 통해 문제점을 파악하였다. 아울러 구체물이나 구체적 상황으로 도입하는 수업에 대한 교사들의 인식 및 수업 실태 조사를 통해 구체물로 도입하는 수업이 가지는 어려움과 문제점을 살펴보았다.
그리고 구체물이나 구체적 상황에서 출발하지 않는 추상적 개념 학습이라는 대안적 접근이 가능한지 알아보기 위해서 두 가지 실험을 시행하였다. 우선 구체를 통한 추상화와 추상을 통한 구체화 과정을 비교해보았다. 이때 추상화와 구체화 과정은 눈으로 볼 수 없기 때문에 각 과정에서 보여지는 수학적 사고와 태도를 통해 간접적으로 비교하였다. 그리고 회전체의 단면을 알아보는 수업에 대한 지도방식을 두 가지로 나누어 진행한 뒤 학생들의 정의적 영역과 성취도의 변화를 비교 분석하였다. 이때 한 가지 방식은 구체물로 도입한 수업이었으며, 다른 한 가지 방식은 반구체물로 도입하는 수업이었다.
본 연구를 통해 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다. 첫째, 과도한 구체성의 제공은 오히려 수학학습을 방해할 수 있다. 일상생활에서 부딪히는 문제 상황을 수학적으로 해결하는 능력을 키우기 위해서는 분명히 구체성을 제거하고 수학적 본질만을 추상하여 해결하는 과정이 필요하지만, 이러한 과정에는 학습자가 자신이 처해있는 문제 상황이 과거에 형성한 추상적 수학개념이나 알고리즘과 어떻게 동형을 이루는지를 유추적으로 파악하는 것과 기존의 추상적 지식을 현재의 문제 상황으로 전이시키는 것이 포함되어야 한다.
학습자가 실생활의 구체적 문제를 해결함에 있어서 이미 필요한 추상적 수학개념이 형성되어 있다면 비본질적 요소들을 제거하는 것 또한 의미를 가질 수 있다. 그리고 추상적인 수학개념을 형성해야 할 학생들에게 과도한 구체성과 맥락의 제공이 오히려 개념 형성을 방해할 소지가 있음 또한 유의하여야 한다.
둘째, 구체물 활용에 대한 대안적 접근으로 반구체물을 활용한 추상적 수학개념의 학습을 고려해 볼 수 있다. 반구체물은 구체물이 가지는 장점인 조작 가능성을 그대로 가지고 있으면서도 비본질적인 요소들이 제거되어 있기 때문에 추상화 시켜야 할 수학적 개념의 형식을 위한 수업에서는 반구체물 교구를 사용하는 것이 학생들의 집중력을 분산시키지 않게 하는데 도움이 될 수 있다.
거시적인 관점에서 구체적인 조작을 어릴 때 충분히 경험해본 뒤, 그 경험을 토대로 교수학습 과정에서 반구체물과 추상적 개념을 다루는 것은 바람직할 것이다. 그러나 한 차시 또는 한 단원 내에서의 교수학습 과정이 반드시 이러한 순서를 따를 필요는 없을 것이다. 교사는 교수학적 변환을 통해 제한된 시간에 학생들이 효율적으로 정확하게 추상적 개념을 형성할 수 있도록 도와야 하는데 수많은 비본질적 요소가 포함된 구체물은 정해진 시간동안 추상적 개념 형성에 오히려 방해가 될 수 있으며 오류를 일으킬 수도 있다. 이때 비본질적 요소가 제거된 반구체물은 구체물에 비해 비본질적 요소가 사상되어 지식의 전이를 방해하는 부적절한 요인이 최대한 제거되었다고 볼 수 있기 때문에 추상적 개념을 구체화 하는 과정에서도 유의미한 수학적 사고를 경험하게 할 수 있다.
본 연구는 초등수학 학습에서 추상적 개념을 구체물이나 구체적 상황으로 도입하는 과정에 어떤 문제점이 있는지 살펴보고, 구체물이나 구체적 상황에서 출발하지 않는 추상적 개념의 대안적 학습이 가지는 교육적 시사점을 논하기 위하여 설계되었다.
초등수학 학습에서 추상적 개념을 구체물로 도입하는 과정에 어떤 문제점이 있는지 알아보기 위해서 우선 구체물 활용의 필요성에 대한 입장을 여러 선행연구와 교과서 분석 등을 통해 고찰하였다. 이러한 고찰을 통해 수학학습에서 유의미하게 사용할 수 있는 구체적 조작물 및 교구의 특성에 대해 조사하고 그 필요성을 논하였다. 그리고 물리적인 구체물 뿐 아니라 구체적인 상황의 종류 및 필요성에 대해 분석하고 몇 가지 사례를 통해 문제점을 파악하였다. 아울러 구체물이나 구체적 상황으로 도입하는 수업에 대한 교사들의 인식 및 수업 실태 조사를 통해 구체물로 도입하는 수업이 가지는 어려움과 문제점을 살펴보았다.
그리고 구체물이나 구체적 상황에서 출발하지 않는 추상적 개념 학습이라는 대안적 접근이 가능한지 알아보기 위해서 두 가지 실험을 시행하였다. 우선 구체를 통한 추상화와 추상을 통한 구체화 과정을 비교해보았다. 이때 추상화와 구체화 과정은 눈으로 볼 수 없기 때문에 각 과정에서 보여지는 수학적 사고와 태도를 통해 간접적으로 비교하였다. 그리고 회전체의 단면을 알아보는 수업에 대한 지도방식을 두 가지로 나누어 진행한 뒤 학생들의 정의적 영역과 성취도의 변화를 비교 분석하였다. 이때 한 가지 방식은 구체물로 도입한 수업이었으며, 다른 한 가지 방식은 반구체물로 도입하는 수업이었다.
본 연구를 통해 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다. 첫째, 과도한 구체성의 제공은 오히려 수학학습을 방해할 수 있다. 일상생활에서 부딪히는 문제 상황을 수학적으로 해결하는 능력을 키우기 위해서는 분명히 구체성을 제거하고 수학적 본질만을 추상하여 해결하는 과정이 필요하지만, 이러한 과정에는 학습자가 자신이 처해있는 문제 상황이 과거에 형성한 추상적 수학개념이나 알고리즘과 어떻게 동형을 이루는지를 유추적으로 파악하는 것과 기존의 추상적 지식을 현재의 문제 상황으로 전이시키는 것이 포함되어야 한다.
학습자가 실생활의 구체적 문제를 해결함에 있어서 이미 필요한 추상적 수학개념이 형성되어 있다면 비본질적 요소들을 제거하는 것 또한 의미를 가질 수 있다. 그리고 추상적인 수학개념을 형성해야 할 학생들에게 과도한 구체성과 맥락의 제공이 오히려 개념 형성을 방해할 소지가 있음 또한 유의하여야 한다.
둘째, 구체물 활용에 대한 대안적 접근으로 반구체물을 활용한 추상적 수학개념의 학습을 고려해 볼 수 있다. 반구체물은 구체물이 가지는 장점인 조작 가능성을 그대로 가지고 있으면서도 비본질적인 요소들이 제거되어 있기 때문에 추상화 시켜야 할 수학적 개념의 형식을 위한 수업에서는 반구체물 교구를 사용하는 것이 학생들의 집중력을 분산시키지 않게 하는데 도움이 될 수 있다.
거시적인 관점에서 구체적인 조작을 어릴 때 충분히 경험해본 뒤, 그 경험을 토대로 교수학습 과정에서 반구체물과 추상적 개념을 다루는 것은 바람직할 것이다. 그러나 한 차시 또는 한 단원 내에서의 교수학습 과정이 반드시 이러한 순서를 따를 필요는 없을 것이다. 교사는 교수학적 변환을 통해 제한된 시간에 학생들이 효율적으로 정확하게 추상적 개념을 형성할 수 있도록 도와야 하는데 수많은 비본질적 요소가 포함된 구체물은 정해진 시간동안 추상적 개념 형성에 오히려 방해가 될 수 있으며 오류를 일으킬 수도 있다. 이때 비본질적 요소가 제거된 반구체물은 구체물에 비해 비본질적 요소가 사상되어 지식의 전이를 방해하는 부적절한 요인이 최대한 제거되었다고 볼 수 있기 때문에 추상적 개념을 구체화 하는 과정에서도 유의미한 수학적 사고를 경험하게 할 수 있다.
The purpose of this study was to examine the process of introducing abstract concepts using concrete objects or in concrete situations in elementary mathematical learning and to discuss the educational implications of alternative learning of abstract concepts that didn't employ concrete objects or c...
The purpose of this study was to examine the process of introducing abstract concepts using concrete objects or in concrete situations in elementary mathematical learning and to discuss the educational implications of alternative learning of abstract concepts that didn't employ concrete objects or concrete situations.
To see if there's anything wrong with the process of introducing abstract concepts using concrete objects in elementary math learning, earlier studies and textbooks were analyzed to find out the ways of looking at the necessity of concrete objects. The characteristics of concrete manipulative materials and teaching aids that could significantly be used in math learning were investigated, and the necessity of these things was discussed. In addition, the types and necessity of concrete situations were analyzed, and several cases were actually analyzed as well to grasp what problems there were with these situations. How teachers looked at instruction using concrete objects or concrete situations was analyzed, and the state of their classes in which concrete objects or situations were used was analyzed to find out what difficulties they faced and what problems there were.
And then two different experiments were made to see if it's possible to take an alternative approach to learning abstract concepts without using any concrete objects or situations. First of all, abstraction through concretization was compared with concretization through abstraction. Since the process of abstraction and concretization is not visible, mathematical thinking and attitude that were found in each process were compared in a secondhand manner. And then two different approaches were taken to teach the cross section of rotating objects, and what changes the students who respectively received the two different types of instruction underwent in the affective domain and academic achievement were compared. One of the two approaches was using concrete objects, and the other was using semiconcrete objects.
The findings of the study were as follows:
First, it might rather result in disturbing math learning if concreteness is overly provided. In order to foster mathematical problem-solving skills about daily problems, it's definitely needed to eliminate concreteness to seek after the essential nature of mathematics only, but learners should be able to infer the connections between their current problem situations and the abstract mathematical concepts or algorism that they had acquired in the past, and to apply their abstract knowledge into the problem situations.
If learners have already acquired abstract mathematical concepts necessary for solving concrete problems in real life, it will be meaningful to remove nonessential elements. And it also should be noted that if concreteness and concrete contexts are excessively offered for students who need to acquire abstract mathematical concepts, it might result in hampering their conceptual formation.
Second, another possible alternative approach is using semiconcrete objects to learn abstract mathematical concepts. Semiconcrete objects are still possible to manipulate, which is one of the benefits of concrete objects, though nonessential elements are already removed from them. Therefore the usage of semiconcrete teaching materials can be helpful for students to stay focused when they learn mathematical concepts in an abstract way.
In a macro perspective, it will be desirable for learners to gain enough experience of manipulating in childhood to deal with semiconcrete objects and abstract concepts based on that experience. But it may not necessarily be needed to stick to this order. Teachers should help students to shape accurate abstract concepts in a limited time through didactic transposition, and concrete objects that are composed of numerous nonessential components may rather be obstacles to abstract conceptual formation or cause errors. Semiconcrete objects from which nonessential elements are all eliminated can be said not to interfere with the transfer of knowledge as much as possible, and these objects make it possible to experience significant mathematical thinking in the course of concretizing abstract concepts.
The purpose of this study was to examine the process of introducing abstract concepts using concrete objects or in concrete situations in elementary mathematical learning and to discuss the educational implications of alternative learning of abstract concepts that didn't employ concrete objects or concrete situations.
To see if there's anything wrong with the process of introducing abstract concepts using concrete objects in elementary math learning, earlier studies and textbooks were analyzed to find out the ways of looking at the necessity of concrete objects. The characteristics of concrete manipulative materials and teaching aids that could significantly be used in math learning were investigated, and the necessity of these things was discussed. In addition, the types and necessity of concrete situations were analyzed, and several cases were actually analyzed as well to grasp what problems there were with these situations. How teachers looked at instruction using concrete objects or concrete situations was analyzed, and the state of their classes in which concrete objects or situations were used was analyzed to find out what difficulties they faced and what problems there were.
And then two different experiments were made to see if it's possible to take an alternative approach to learning abstract concepts without using any concrete objects or situations. First of all, abstraction through concretization was compared with concretization through abstraction. Since the process of abstraction and concretization is not visible, mathematical thinking and attitude that were found in each process were compared in a secondhand manner. And then two different approaches were taken to teach the cross section of rotating objects, and what changes the students who respectively received the two different types of instruction underwent in the affective domain and academic achievement were compared. One of the two approaches was using concrete objects, and the other was using semiconcrete objects.
The findings of the study were as follows:
First, it might rather result in disturbing math learning if concreteness is overly provided. In order to foster mathematical problem-solving skills about daily problems, it's definitely needed to eliminate concreteness to seek after the essential nature of mathematics only, but learners should be able to infer the connections between their current problem situations and the abstract mathematical concepts or algorism that they had acquired in the past, and to apply their abstract knowledge into the problem situations.
If learners have already acquired abstract mathematical concepts necessary for solving concrete problems in real life, it will be meaningful to remove nonessential elements. And it also should be noted that if concreteness and concrete contexts are excessively offered for students who need to acquire abstract mathematical concepts, it might result in hampering their conceptual formation.
Second, another possible alternative approach is using semiconcrete objects to learn abstract mathematical concepts. Semiconcrete objects are still possible to manipulate, which is one of the benefits of concrete objects, though nonessential elements are already removed from them. Therefore the usage of semiconcrete teaching materials can be helpful for students to stay focused when they learn mathematical concepts in an abstract way.
In a macro perspective, it will be desirable for learners to gain enough experience of manipulating in childhood to deal with semiconcrete objects and abstract concepts based on that experience. But it may not necessarily be needed to stick to this order. Teachers should help students to shape accurate abstract concepts in a limited time through didactic transposition, and concrete objects that are composed of numerous nonessential components may rather be obstacles to abstract conceptual formation or cause errors. Semiconcrete objects from which nonessential elements are all eliminated can be said not to interfere with the transfer of knowledge as much as possible, and these objects make it possible to experience significant mathematical thinking in the course of concretizing abstract concepts.
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