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문제 정의
- 따라서 본 연구에서는 최적해의 정확성을 향상시키면서 실험계획의 효율을 극대화하기 위해 유용영역 주위나 내부에 더 많은 실험점을 선택하는 순차적 유용영 역 실험 계 획(sequential feasible domain sampling)을 제안한다. 이를 위해 벌칙함수(penalty function)를 이용한 최적화 문제를 정의하여 제약조건을 만족하는 실험점들을 선택한다.
- 본 연구에서는 순차적으로 유용영역 내부에 실험 점을 선택하기 위하여 다음과 같은 샘플링기법을 제안한다. 제안하는 샘플링기법을 위한 목적함수는 계단함수를 이용한 벌칙함수로 활성 제약조건의 크리깅모델을 사용하여 다음과 같이 정의한다.
- 본 연구에서는 제안된 순차적 유용영역 실험계획의 우수성을 살펴보기 위해 다양한 수학 최적화 문제와 실제 공학 예제에 적용해 보았다. 기존의 순차적 최소거리최대화 방법과。) 제안한 방법을 통해 구한 메타모델을 이용하여 근사최적화 문제를 풀고, 최적해의 결과를 비교해 보았다.
- 공학문제에 적용한다. 최적화 결과를 바탕으로 순차적 유용영역 실험계획을 순차적 최소거리 최대화 방법과 비교해 보고, 제안된 방법의 특징과 우수성에 대해 논의한다.
제안 방법
- 최소거리최대화 방법과。) 제안한 방법을 통해 구한 메타모델을 이용하여 근사최적화 문제를 풀고, 최적해의 결과를 비교해 보았다.
- 를 이용하였다. 근사모델을 이용한 최적해의 정확성은 최적값의 절대오차와 최적점에서 목적함수의 상대오차를 이용하여 다음과 같은 수식으로 평가한다.
- 근사최적화 문제에 적합한 순차적 유용영역 실험계획을 제안하였다. 기존에 고려하지 않았던 최적화 문제의 유용영역을 고려하여 순차적으로 유용영역 내부에 실험점을 선택하기 위한 샘플링 기법을 제안하였다.
- 제안하였다. 기존에 고려하지 않았던 최적화 문제의 유용영역을 고려하여 순차적으로 유용영역 내부에 실험점을 선택하기 위한 샘플링 기법을 제안하였다. 이러한 샘플링기법의 목적함수는 계단함수를 이용한 벌칙함수로 활성 제약조건의 크리깅모델을 사용하였다.
- 메타모델의 부정확성으로 인해 유용영역이 현재 존재하지 않을 경우, 제안한 방법은 기존 점들과 가장 멀리 위치한 새로운 점을 추가해 충진실험계획을 반영한다.
- 11과 같이 원형진동판의 공진으로 진폭을 증가시키기 위해 진동자의 고유치, 응력, 부피에 대한 근사모델을 진동판의 강성 향상을 위한 최적화 문제에 적용한다. 모델의 모달(modal)해석 및 정적(static)해석을 위해 모델의 가장자리의 변위는 완전히' 구속시키고, 모델의 중심부에 100 mN 의힘을 가하였다. 여기서 하중 100mN 은 스프링이 진동할 때 발생하는 최대 변위에 상응하는 힘이다.
- 수학 최적화 예제로는 최적화 알고리듬의 검증함수로 자주 사용되는 문제들을 채택하였으며, (8) 유용영역이 전체 설계영역에 비해 작은 문제 중 목적 함수와 제 약함수의 비선형성을 고려 하여 다양한 경우에 대해 선택하였다(부록의 Table 6 참조). Schittkowski 문제의 경우 문제의 번호, 함수식, 최적화 시작점 그리고 설계변수들의 범위 등을 명시하였고, 이외의 문제에 대해서는 목적함수와 제약함수 중 비선형성이 큰 함수의 이름을 사용하여 명명하였다.
- 수학예제와 공학예제를 통해 기존의 실험계획과 제안한 방법의 차이를 살펴보았다. 제안한 방법은 적은 실험점에서도 매우 정확한 최적해를 찾아주는 것을 확인할 수 있었다.
- 제안한다. 이를 위해 벌칙함수(penalty function)를 이용한 최적화 문제를 정의하여 제약조건을 만족하는 실험점들을 선택한다.
- 제안된 순차적 유용영역 실험계획의 우수성을 살펴보기 위해 다양한 유형의 함수로 구성된 최적화 문제와 공학문제에 적용한다. 최적화 결과를 바탕으로 순차적 유용영역 실험계획을 순차적 최소거리 최대화 방법과 비교해 보고, 제안된 방법의 특징과 우수성에 대해 논의한다.
- 나타낸다. 제안한 방법으로 실험계획을 실시한 후 근사최적 설계를 한 결과와 직접 유한요소 모델을 사용하여 최적화 한 결과를 비교해 보았다. 실제 모델을 사용한 경우에는 Model Center를 이용하였으며 최적화 방법은 동일하게 SQP 를 사용하였다.
- 최종 샘플링은 최적값의 전체적인 수렴 경향성을 살펴보기 위해 30 개까지 하였으나 값의 변화가 없을 경우 본 논문에는 결과의 일부만을 제시하였다.
- 하지만 지금까지 제안된 충진실험계획과 순차적 실험계획은 단일응답에 대하여 전체 설계영역을 고르게 충진 하는 개념을 사용하였다. 그러나 실제의 최적화 문제는 하나의 응답이 아닌 다수의 응답 함수로 구성되어 있고, 최적해의 정확성을 보장하기 위해서는 전체 설계영역보다는 최적점 주위의 근사화가 중요하게 고려되어야 한다.
이론/모형
- 본 논문에서는 제안한 실험계획을 적용할 근사화 모델로 비선형성을 잘 표현해 주는 크리깅모델을 이용하였다. 크리깅모델은 전역모델 f(x)F 와편차 z(x) 의 합으로 표현한다.
- 001 을 사용하였다. 새로운 실험점을 선택하기 위해 사용된 최적화 방법은 전역최적화 방법인 실수코딩 유전알고리듬을 사용하였다.
- 제안한 방법으로 실험계획을 실시한 후 근사최적 설계를 한 결과와 직접 유한요소 모델을 사용하여 최적화 한 결과를 비교해 보았다. 실제 모델을 사용한 경우에는 Model Center를 이용하였으며 최적화 방법은 동일하게 SQP 를 사용하였다.
- 초기 샘플링의 개수는 초기 샘플링의 영향을 줄이고, 제안된 실험계획의 특성을 최대한 반영하기 위 해 2” 형 요인 배치 법(2Fctoria] design)을 이 용하였다. 최종 샘플링은 최적값의 전체적인 수렴 경향성을 살펴보기 위해 30 개까지 하였으나 값의 변화가 없을 경우 본 논문에는 결과의 일부만을 제시하였다.
- 최적화 알고리듬은 SQP(Sequential Quadratic Programming) 를 이용하였다. 근사모델을 이용한 최적해의 정확성은 최적값의 절대오차와 최적점에서 목적함수의 상대오차를 이용하여 다음과 같은 수식으로 평가한다.
성능/효과
- 1(b)와 Fig.2(b)의 유용영역 실험계획은 유용영역 내부나 그 주위에 대부분의 실험점을 선택한 데 반해 (c)의 최소거리최대화 방법은 유용영역 내부에 소수의 실험점이 선택되었음을 확인할 수 있다. 따라서 실제 함수와 두 방법의 유용영역을 비교했을 때 제안한 방법은 정확한 등고선을 보여주는 반면 기존 방법은 제약함수를 정확히 근사화하지 못하고 있다.
- 따라서 기존방법에 있어 불용영역의 근사화를 위해 사용된 많은 실험 점들을 유용영역 내부나 주위에 위치시켰다. 그 결과 제약조건에 대한 최적해의 위배를 방지하고, 최적해의 정확도를 향상시키며, 정확한 최적 해를 얻기 위한 해석 횟수를 줄일 수 있었다.
- 3의 목적함수는 Rosenbrock 함수로 경계로 갈수록 함수값의 변화가 급격하고, 최적해 주위에서 협소한 평활면이 존재하기 때문에 근사화에 많은 실험점이 요구된다. 기존 방법은 최적해 주위의 평활면을 정확히 근사화 하지 못하는 반면 본 논문에서 제안한 방법은 최적해 주위를 정확히 근사화 하는 것을 확인할 수 있다.
- 6~10은 실험점을 증가시키면서 최적해의 오차를 비교한 것이다. 다섯개 함수의 결과에서 순차적 유용영역 실험계획은 순차적 최소거리 최대화 방법보다 적은 실험점 개수에서 정확한 최적해를 구해 주고 있다. 또한 제안된 방법은 최적해를 찾은 후에 정확한 최적해의 결과를 유지해 주는 것을 확인할 수 있지만 기존 방법은 정확한 최적해를 찾아 주지 못하고 그 값 역시 변화가 심한 것을 확인할 수 있다.
- 다섯개 함수의 결과에서 순차적 유용영역 실험계획은 순차적 최소거리 최대화 방법보다 적은 실험점 개수에서 정확한 최적해를 구해 주고 있다. 또한 제안된 방법은 최적해를 찾은 후에 정확한 최적해의 결과를 유지해 주는 것을 확인할 수 있지만 기존 방법은 정확한 최적해를 찾아 주지 못하고 그 값 역시 변화가 심한 것을 확인할 수 있다.
- 특히 유용영역이 전체설계영역에 비해 좁고 목적함수 또는 제약조건의 함수가 비선형성적인 경우 기존 방법에 비해 매우 우수하다는 것을 확인할 수 있었다. 또한 제약 최적화 문제에 있어서는 전체설계영역에 대한 근사화 보다는 유용영역을 형성하는 제약함수와 목적함수의 근사화의 중요성을 확인할 수 있었다.
- 메타모델을 이용하여 구한 최적화 결과는 실제 모델을 사용해 최적화한 방법보다 41%정도 적은 해석 횟수만을 사용해 제약조건을 만족하는 매우 정확한 최적해를 구해주는 것을 확인할 수 있다. 부피와 응력은 최적값에서 각각 0.
- 따라서 실제 함수와 두 방법의 유용영역을 비교했을 때 제안한 방법은 정확한 등고선을 보여주는 반면 기존 방법은 제약함수를 정확히 근사화하지 못하고 있다. 이 결과는 유용영역올 고려하지 않고 전체 설계영역에 고르게 실험점을 선택하는 충진개념 실험계획은 최적해가 제약조건의 경계에 존재할 경우 최적해를 효과적으로 근사화 할 수 없다는 것을 보여준다. 또한, 여기서 확인할 수 있는 것은 단위 계단함수의 효과이다.
- 4는 제약함수가 비선형이 강한 Branin 함수로 3개로 분리된 유용영역이 형성된다. 제안된 방법의 경우 제약함수의 강한 비선형 성에도 불구하고 유용영역이 형성되는 부분에 대해서는 제약함수를 정확히 근사화 하고 있음을 확인할 수 있다. 하지만 전체 설계영역에 대해 실험점을 분포시킨 경우에는 제약함수를 정확히 근사화 하지 못해 분리된 유용영역을 모두 나타내지 못하는 것을 알 수 있다.
- 방법의 차이를 살펴보았다. 제안한 방법은 적은 실험점에서도 매우 정확한 최적해를 찾아주는 것을 확인할 수 있었다. 특히 유용영역이 전체설계영역에 비해 좁고 목적함수 또는 제약조건의 함수가 비선형성적인 경우 기존 방법에 비해 매우 우수하다는 것을 확인할 수 있었다.
- 5는 목적함수가 매우 비선형적인 함수를 갖는 최적화 문제로 유용영역 내부에서 다수의 국부최적해를 가지는 문제이다. 제안한 방법의 경우는 유용영역의 내부의 다수의 국부 최적해를 모두 정확히 근사화를 해주고 있음을 알 수 있다. 즉 불용영역에 사용될 실험점들을 유용영역 내부나 주위에 위치시킴으로서 적은 실험점으로도 유용영역 내부의 비선형성을, 정확히 근사화 하고 있다.
- 제안한 방법은 적은 실험점에서도 매우 정확한 최적해를 찾아주는 것을 확인할 수 있었다. 특히 유용영역이 전체설계영역에 비해 좁고 목적함수 또는 제약조건의 함수가 비선형성적인 경우 기존 방법에 비해 매우 우수하다는 것을 확인할 수 있었다. 또한 제약 최적화 문제에 있어서는 전체설계영역에 대한 근사화 보다는 유용영역을 형성하는 제약함수와 목적함수의 근사화의 중요성을 확인할 수 있었다.
- 7에서 최소거리최대화 방법은 9개 정도의 실험 점에서 정확한 값을 보이는 것으로 잘못 판단할 수도 있다. 하지만 이러한 결과는 5번째 실험 점을 최적점 주위인 설계영역의 중앙에 선택함으로서 함수를 전혀 근사화 하지 못한 상태에서 잘못 얻어진 결과임을 확인할 수 있었다.
후속연구
- 본 연구에서는 실험점을 추가함에 따른 최적해의 정확성을 살펴보기 위해 충분한 실험점을 추가하였으나 좀더 효율적인 실험계획을 위해서는 순차적 실험계획법의 종료 조건에 관한 연구가 필요하다.
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