수공구조물의 위험도에 관한 불확실성을 검토하기 위하여 본 연구에서는 빈도해석을 통하여 추정되는 설계홍수량의 분산량을 고려한 불확실성 해석을 실시하였다. Gumbel 분포형을 기본 분포형으로 가정하였으며, 모멘트법, 최우도법, 확률가중모멘트법을 이용하여 각 매개변수 추정방법별로 추정된 설계홍수량에 대한 이론적인 분산량을 산정하였다. 이론적으로 유도한 분산량의 특성을 규명하기 위하며 다양한 표본크기와 설계연한, 비초과확률 및 변동계수조건에 대하여 Monte-Carlo 모의를 실시하고 각 매개변수 추정방법별 비교를 실시하였다. 그 결과 확률 가중 모멘트법을 사용한 경우 위험도에 대하여 상대적으로 가장 작은 상대편의 및 상대제곱근오차를 발생시키는 것으로 나타났으며, 최우도법의 경우에는 상대적으로 큰 표본자료에 대해서는 설계연한 및 비초과확률에 관계없이 작은 상대편의 및 상대제곱근오차를 발생시키는 것으로 나타났다. 또한 다양한 변동계수 조건은 상대편의 및 상대제곱근오차의 측면에서 고려하여 볼 때 거의 영향을 주지 않는 것으로 나타났다.
수공구조물의 위험도에 관한 불확실성을 검토하기 위하여 본 연구에서는 빈도해석을 통하여 추정되는 설계홍수량의 분산량을 고려한 불확실성 해석을 실시하였다. Gumbel 분포형을 기본 분포형으로 가정하였으며, 모멘트법, 최우도법, 확률가중모멘트법을 이용하여 각 매개변수 추정방법별로 추정된 설계홍수량에 대한 이론적인 분산량을 산정하였다. 이론적으로 유도한 분산량의 특성을 규명하기 위하며 다양한 표본크기와 설계연한, 비초과확률 및 변동계수조건에 대하여 Monte-Carlo 모의를 실시하고 각 매개변수 추정방법별 비교를 실시하였다. 그 결과 확률 가중 모멘트법을 사용한 경우 위험도에 대하여 상대적으로 가장 작은 상대편의 및 상대제곱근오차를 발생시키는 것으로 나타났으며, 최우도법의 경우에는 상대적으로 큰 표본자료에 대해서는 설계연한 및 비초과확률에 관계없이 작은 상대편의 및 상대제곱근오차를 발생시키는 것으로 나타났다. 또한 다양한 변동계수 조건은 상대편의 및 상대제곱근오차의 측면에서 고려하여 볼 때 거의 영향을 주지 않는 것으로 나타났다.
The uncertainty of the risk of failure of hydraulic structures can be determined by estimating the variance of the risk of failure based on the methods of moments, probability weighted moments, and maximum likelihood assuming that the underlying model is the Gumbel distribution. In this paper, the v...
The uncertainty of the risk of failure of hydraulic structures can be determined by estimating the variance of the risk of failure based on the methods of moments, probability weighted moments, and maximum likelihood assuming that the underlying model is the Gumbel distribution. In this paper, the variance of the risk of failure was derived. Monte Carlo simulation was peformed to verify the characteristics of the derived formulas for various sample size, design life, nonexceedance probability, and variation coefficient. As the results, PWM showed the smallest relative bias and root mean square error than the others while ML showed the smallest ones for relatively large sample siBes regardless of design life and nonexceedance probability. Also, it was found that variation coefficient does not effect on the relative bias and relative root mean square error.
The uncertainty of the risk of failure of hydraulic structures can be determined by estimating the variance of the risk of failure based on the methods of moments, probability weighted moments, and maximum likelihood assuming that the underlying model is the Gumbel distribution. In this paper, the variance of the risk of failure was derived. Monte Carlo simulation was peformed to verify the characteristics of the derived formulas for various sample size, design life, nonexceedance probability, and variation coefficient. As the results, PWM showed the smallest relative bias and root mean square error than the others while ML showed the smallest ones for relatively large sample siBes regardless of design life and nonexceedance probability. Also, it was found that variation coefficient does not effect on the relative bias and relative root mean square error.
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문제 정의
하지만 재현기간의 불확실성 규명에 관한 연구에 비하여 빈도 해석에 기초한 구조물의 위험도의 불확실성 해석에 관한 연구는 지금까지는 거의 없는 실정이다. 따라서 본 연구에서는 빈 도해석을 바탕으로 수공구조물의 위험도의 불확실성을 정량적으로 규명하고자 하며 이를 위한 일련의해 석과정을 제안하고자 한다.
여기서 R 은 위험도, n 은 설계연한, q 는 비초과확률 과 같다. 물론 수공구조물의 경우 수문학적인 요인 이 외에 다른 중요한 원인들에 의해서 파괴가 발생할 수 있으나(KGte, 1988; Chow et al., 1988), 본 연구에서는 수문학적인 원인들에 의해서 발생하는 구조물의 파괴 위험도만을 고려하기로 한다.
본 연구에서는 수공구조물의 파괴 위험도 추정치에 대한 불확실성을 규명하기 위하여 Gumbel 분포형을 적정 분포형으로 가정하여 위험도의 불확실성을 정량적으로 해석하고자 한다. Gumbel 분포형의 누가분포함 수 (cumulative distribution function, CDF) 는 다음과 같이 정의할 수 있다.
가설 설정
제한된 표본 자료 수에 대해 각 매개 변수 추정방법별로 이론적으로 유도한 위험도 분산량의 적용 가능성을 검토하기 위하여 Monte-Carlo 모의실험을 수행하였다. Gumbel 분포형에 대한 모집단 위치매개 변수 #는 1000으로 가정하였으며 모집단의 변동계수C= 0.5, 1.0, 2.0 인 각각의 경우를 구분하여 이를 만족하도록 규모 매개 변수&= 503, 1006, 2012로 가정하였고, 표본 집단 수 N =10, 25, 50, 100, 200, 설계연한 n= 10, 25, 50, 100, 200, 500, 비초과 확률 q= 0.90, 0.96, 0.98, 0.99, 0.995, 0.998인 경우에 대하여 각각 모의를 실시하였다.가정된 Gumbel 분포형의 매개 변수를 바탕으로 10, 000개의 자료를 발생시킨 다음 MOM, PWM, ML을 이용하여 각각 유도된 위험도 분산량의 적용 가능성을 검토하기 위하여 상대편의(relative bias, RBIAS) 및 상대제곱근 오 차(relative root mean square error, RRMSE) 를 산정하여 비교, 분석하였다.
제안 방법
본 연구에서는 수공구조물의 위험도의 불확실성을 정량적으로 규명하기 위하여 Gumbel 분포형을 기본 분포형으로 가정한 다음 MOM, PWM, ML의 매개 변수 추정방법별로 수공구조물의 위험도의 기대값 및 분산량에 대한 이론적 인 식을 유도하였다. 그 결과 위험도의 분산량은 수공구조물의 설계연한, 설계홍수량의 재현기간(비초과확률) 및 사용된 수문자료의 크기의식으로 표현됨을 알 수 있었다.
데이터처리
998인 경우에 대하여 각각 모의를 실시하였다.가정된 Gumbel 분포형의 매개 변수를 바탕으로 10, 000개의 자료를 발생시킨 다음 MOM, PWM, ML을 이용하여 각각 유도된 위험도 분산량의 적용 가능성을 검토하기 위하여 상대편의(relative bias, RBIAS) 및 상대제곱근 오 차(relative root mean square error, RRMSE) 를 산정하여 비교, 분석하였다.
제한된 표본 자료 수에 대해 각 매개 변수 추정방법별로 이론적으로 유도한 위험도 분산량의 적용 가능성을 검토하기 위하여 Monte-Carlo 모의실험을 수행하였다. Gumbel 분포형에 대한 모집단 위치매개 변수 #는 1000으로 가정하였으며 모집단의 변동계수C= 0.
이론/모형
(8)에서의 분산량과 공분산량은 매개 변수의 함수이기에 추정 방법에 따라 각기 다른 값을 가진다. 본 연구에서는 매개 변수 추정방법으로 모멘트법(method of moments, MOM), 최우도법 (maximum likelihood methcxi, ML), 확률가중 모멘트법 (probability weighted moments methcxi, PWM)를 고려하였다.
성능/효과
크기가 작은 표본자료0V =10)와 설계연한 “의 경우에 대해 RRMSE를 고려한 결과, PWMe 상대적으로 비교적 작은 재현기간에서 가장 작은 값을 보이며, 재현기간이 증가할수록 ML이 가장 작은 RRMMSE을 가지는 것으로 나타났다. 또한, 설계연한 n값을 증가시킴에 따라 PWMe 점차 넓은 q의 범위에서 가장 작은 RRMSE 를 보이는 것으로 나타났으며, "=500인 경우에는 고려한 모든 g에서 가장 작은 RRMSE을 보임을 알 수 있다. 반면, NN 50인 경우에는 고려한 모든 g와 71에서 ML 이 가장 작은 RRMSE을 가지는 것으로 나타났다.
Fig. 2에서는 n=50, <?=0.99인 경우 모의실험을 통하여 계산된 표본 자료 수 7V에 따른 각 방법별 위험도/ 의RBIAS를 비교, 도시하고 있는데, 이 경우 PWM이 가장 작은 RBIAS를 제공하는 것을 알 수 있으며, 특히 표본자료 수 이 작을수록 다른 방법에 비해 더 큰 차이를 보이며 우수한 결과를 제공하는 것으로 나타났다. 일반적으로 PWMe 표본 자료 수가 적은 경우 가장 우수하며 자료수가 큰 경우에는 ML이 우수한 것으로 알려져 있으며, RBIAS는 자료 수가 증가함에 따라 감소한다.
또한 재현기간이 작을수록 계산된 RRMSE이 작음을 알 수 있으며, 모든 q 에서 “이 증가함에 따라 RRMSE 는 감소함을 알 수 있는데 이는 표본 자료 수가 다른 경우에도 동일한 경향을 보인다. RRMSE는 N =10인 경우를 제외하고는 q 가 증가할수록 그 값이 증가하는 것으로 나타났으며, N 과 RRMSE의 관계에서 분석한 바와 같이 변동계 수가 RRMSE에 미치는 영향을 무시할 수 있는 것으로 나타났다.
본 연구에서는 수공구조물의 위험도의 불확실성을 정량적으로 규명하기 위하여 Gumbel 분포형을 기본 분포형으로 가정한 다음 MOM, PWM, ML의 매개 변수 추정방법별로 수공구조물의 위험도의 기대값 및 분산량에 대한 이론적 인 식을 유도하였다. 그 결과 위험도의 분산량은 수공구조물의 설계연한, 설계홍수량의 재현기간(비초과확률) 및 사용된 수문자료의 크기의식으로 표현됨을 알 수 있었다. 유도된 분산량에 대한 이론적 비교 결과 #은 재현기간이 2년보다 큰 경우 #보다 작은 값을, 그리고 표본 자료 수에 따라 재현기간 2-125년 범위에서는 #보다 작은 것으로 나타났으며, #은 재현 기간에 상관없이 #보다 항상 작은 것으로 나타났다.
전체적으로 모의를 통하여 계산된 RBIAS에 대하여 매개 변수 추정방법별로 비교분석한 결과, PWMe 표 본자료 수가 작은 경우 가장 작은 값을 보이는 것으로 나타났으며, 반면 MLe 설계연한과는 관계없이 비교적 큰 표본자료 수에서 가장 작은 RBIAS를 발생시키는 것으로 나타났다. 또한 RRMSE의 측면에서 PWMe 작은 표본자료 수와 큰 설계연한에서 가장 우수한 것으로 나타났으며, MLe 큰 표본자료 수에서 우수한 것으로 나타났다.
표본이 작은 경우(*10) 에는 설계연한이 증가함에 따라 PWM의 경우 가장 작은 상대 제곱근 오차를 발생시키는 것으로 나타났으나, 상대적으로 큰 자료에 대해서는 설계연한 및 비호과 확률과는 관계없이 ML이 가장 작은 상대제곱근 오차를 발생시키는 것으로 나타났다. 또한 변동계 수의 변화는 위험도의 분산량에 대하여 별다른 영향을 미치지 않는 것으로 나타났다.
90인 경우 각 방법별로 계산된 RRMSE 값은 거의 동일하며, n이 증가할수록(n ≥ 100) 그 값은 점차 0으로 수렴함을 알 수 있다. 또한 재현기간이 작을수록 계산된 RRMSE이 작음을 알 수 있으며, 모든 q 에서 “이 증가함에 따라 RRMSE 는 감소함을 알 수 있는데 이는 표본 자료 수가 다른 경우에도 동일한 경향을 보인다. RRMSE는 N =10인 경우를 제외하고는 q 가 증가할수록 그 값이 증가하는 것으로 나타났으며, N 과 RRMSE의 관계에서 분석한 바와 같이 변동계 수가 RRMSE에 미치는 영향을 무시할 수 있는 것으로 나타났다.
0~125년의 범위에서 #보다 작은 값을 가지게 된다. 또한 표본 자료 수가 증가함에 따라 PWM 이 ML에 비해 적은 분산량을 가지게 되는 재현기간의 범위는 점점 증가하게 됨을 알 수 있다.
Simulation을 통한 각 매개 변수 추정방법별 비교분석을 실시한 결과는 다음과 같다. 먼저 표본 자료 수 2V이 작은 경우를 고려하여 보면 PWMe 비교적 작은 q 에서 가장 작은 RBIAS를 보이는 것으로 나타났으며 q가 큰 경우에는 ML이 가장 작은 RBIAS 값을 보이는 것으로 나타났다. 하지만, 설계연한 증가시키 는 경우에는 고려된 모든 q 범위에서 PWMe 가장 작은 RBIAS를 제공하며, 표본 자료 수 N을 증가시키 는 경우에도 작은 설계연한 n에 대해서 PWM이 가장 작은 RBIAS를 제공하는 것을 알 수 있다.
유도된 분산량에 대한 이론적 비교 결과 #은 재현기간이 2년보다 큰 경우 #보다 작은 값을, 그리고 표본 자료 수에 따라 재현기간 2-125년 범위에서는 #보다 작은 것으로 나타났으며, #은 재현 기간에 상관없이 #보다 항상 작은 것으로 나타났다. 유도된 분산량의 적용 가능성을 검토하기 위하여 다양한 크기의 표본 자료 및 조건들에 대하여 모의실험을 실시한 결과, 자료 수가 작은 경우 PWM을 이용하였을 때 가장 작은 상대편의를 보이는 것으로 나타났 으며, 비교적 자료수가 많은 경우(#)에는 ML이 가장 작은 상대편의를 나타내었다. 표본이 작은 경우(*10) 에는 설계연한이 증가함에 따라 PWM의 경우 가장 작은 상대 제곱근 오차를 발생시키는 것으로 나타났으나, 상대적으로 큰 자료에 대해서는 설계연한 및 비호과 확률과는 관계없이 ML이 가장 작은 상대제곱근 오차를 발생시키는 것으로 나타났다.
전체적으로 모의를 통하여 계산된 RBIAS에 대하여 매개 변수 추정방법별로 비교분석한 결과, PWMe 표 본자료 수가 작은 경우 가장 작은 값을 보이는 것으로 나타났으며, 반면 MLe 설계연한과는 관계없이 비교적 큰 표본자료 수에서 가장 작은 RBIAS를 발생시키는 것으로 나타났다. 또한 RRMSE의 측면에서 PWMe 작은 표본자료 수와 큰 설계연한에서 가장 우수한 것으로 나타났으며, MLe 큰 표본자료 수에서 우수한 것으로 나타났다.
크기가 작은 표본자료0V =10)와 설계연한 “의 경우에 대해 RRMSE를 고려한 결과, PWMe 상대적으로 비교적 작은 재현기간에서 가장 작은 값을 보이며, 재현기간이 증가할수록 ML이 가장 작은 RRMMSE을 가지는 것으로 나타났다. 또한, 설계연한 n값을 증가시킴에 따라 PWMe 점차 넓은 q의 범위에서 가장 작은 RRMSE 를 보이는 것으로 나타났으며, "=500인 경우에는 고려한 모든 g에서 가장 작은 RRMSE을 보임을 알 수 있다.
유도된 분산량의 적용 가능성을 검토하기 위하여 다양한 크기의 표본 자료 및 조건들에 대하여 모의실험을 실시한 결과, 자료 수가 작은 경우 PWM을 이용하였을 때 가장 작은 상대편의를 보이는 것으로 나타났 으며, 비교적 자료수가 많은 경우(#)에는 ML이 가장 작은 상대편의를 나타내었다. 표본이 작은 경우(*10) 에는 설계연한이 증가함에 따라 PWM의 경우 가장 작은 상대 제곱근 오차를 발생시키는 것으로 나타났으나, 상대적으로 큰 자료에 대해서는 설계연한 및 비호과 확률과는 관계없이 ML이 가장 작은 상대제곱근 오차를 발생시키는 것으로 나타났다. 또한 변동계 수의 변화는 위험도의 분산량에 대하여 별다른 영향을 미치지 않는 것으로 나타났다.
일반적으로 PWMe 표본 자료 수가 적은 경우 가장 우수하며 자료수가 큰 경우에는 ML이 우수한 것으로 알려져 있으며, RBIAS는 자료 수가 증가함에 따라 감소한다. 한편, 변동계 수의 변화가 RBIAS에 미치는 영향을 검토한 결과, Fig. 2에서도시된 바와 같이 RBIAS값에 큰 변화를 주지 않는 것으로 나타났으며 변동계수 조건은 RBIAS값에 별다른 영향을 주지 않는 것으로 나타났다.
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