[논문]3 <tex>${\\times}$</tex> 3 라틴방격모형의 검정력 분석

최영훈

3 ${\\times}$ 3 라틴방격모형의 검정력 분석
Power analysis for 3 ${\\times}$ 3 Latin square design 원문보기

Journal of the Korean Data & Information Science Society = 한국데이터정보과학회지, v.20 no.2, 2009년, pp.401 - 410

초록
AI-Helper

두 블럭인자와 하나의 주인자로 구성된 3 ${\times}$ 3 라틴방격모형의 특성으로 인하여 주효과를 검정하기 위한 순위변환 통계량의 검정력은 모집단의 분포유형에 상관없이 모수적 통계량의 검정력보다 전반적으로 월등히 높은 수준이다. 특히 세인자가 모두 고정인 경우, 하나의 블럭인자만이 랜덤인 경우, 두 블럭인자가 모두 랜덤인 경우의 순서로 주효과를 검정하기 위한 순위변환 통계량의 검정력이 모수적 통계량의 검정력에 비하여 상대적으로 높다. 또한 검정하고자 하는 주효과의 크기가 크되 동시에 동일크기의 하나의 블럭효과 및 또다른 블럭효과 크기는 상대적으로 작을수록 주효과를 검정하기 위한 순위변환 통계량의 검정력은 모수적 통계량의 검정력보다 상대적 우위성을 갖는다.

Abstract ▼ AI-Helper

Due to the characteristics of 3 ${\times}$ 3 Latin square design which is composed of two block effects and one main effect, powers of rank transformed statistic for testing the main effect are very superior to powers of parametric statistic without regard to the type of population distributions. By order of when all three effects are fixed, when on one block effect is random, when two block effects are random, the rank transform statistic for testing the main effect shows relatively high powers as compared with the parametric statistic. Further when the size of main effect is big with one equivalent size of block effect and the other small size of block effect, powers of rank transformed statistic for testing the main effect demonstrate excellent advantage to powers of parametric statistic.

주제어

AI 본문요약
AI-Helper

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문제 정의

따라서 본 연구대상의 주된 관심사는 이제까지 기존의 Jang과 Kim (2002), Park과 Kim (2003)의 제한된 요인계획법 모형에서 벗어나 현실적으로 자주 이용될 수 있는 완전확률화블럭모형의 확대된 개념인 3 × 3 라틴방격모형의 순위변환에 따른 검정력 분석을 우선적으로 살펴봄으로써, 순위변환 응용 및 이론적 연구의 지속적 가능성을 검토하여 보고자 한다.
본 절에서는 주인자 C의 주효과 τk를 검정하기 위한 통계량 F 와 FR의 검정력을 다음과 같은 세가지 상황하에서 분석하고자 한다.
한편 라틴방격모형은 세개의 인자가 존재하지만 관심대상인 한 개의 주효과와 두개의 부수적인 블럭 효과로 구성된 변이성으로 말미암아, 주효과 유무를 검정하기 위하여 세인자들이 모두 고정인 경우의 고정효과에 따른 검정력 분석뿐만 아니라 인자들이 랜덤인 경우를 가정한 혼합효과 및 랜덤효과 존재시에는 랜덤성으로 인하여 F 통계량 및 FR 통계량간의 검정력에 어떠한 영향력을 미치는지도 본 연구를 통하여 처음으로 구체적으로 살펴보고자 한다.
3장은 전반적으로 제1종 오류율은 Choi (2006)의 지분모형에서와 같이 거의 모든 상황에 걸쳐 통계량의 유형과 상관없이 명목상의 유의수준과 상당히 유사하므로 지면상의 제약으로 결과는 생략하기로 한다. 한편 중요성의 비중은 검정력에 있으므로, 다방면에 걸친 모수적 F 통계량과 순위변환 FR통계량의 검정력 비교분석 연구에 초점을 맞추고자 한다. 라틴방격모형의 결합된 블럭내에서 처리수준이 한번씩만 배치되는 특수성을 반영하여 검정력 분석에 이용할 효과의 크기 c = 0.

가설 설정

2τ의 관계식으로부터 유도할 수 있다. 또한 랜덤의 블럭효과를 발생시키기 위하여 기본적으로 오차항과 동일한 분포를 가정한다. 그리고 5% 유의수준하에서의 기각되는 비율을 각각 계산한다.

제안 방법

두번째로 A 와 C 인자는 고정이며 B 블럭인자는 랜덤인 경우의 주효과 τk의 검정력을 분석하고자 한다.
세번째로 A 와 B 블럭인자는 모두 랜덤이며 C 주인자는 고정인 경우의 주효과 τk의 검정력을 분석하고자 한다.
즉 3 × 3 라틴방격모형의 검정력 분석을 세분화하여 검토한 바, 첫째로 두 블럭인자 A, B 와 주인자 C 가 모두 고정인 경우의 주효과의 검정력을, 둘째로 하나의 블럭인자 B 만이 랜덤이며 또 다른 블럭인자 A 와 주인자 C 가 고정인 경우의 주효과의 검정력을, 셋째로 두 블럭인자 A, B 가 모두 랜덤이고 주인자 C 만이 고정인 경우의 주효과의 검정력을 중심으로 자세히 분석하고자 한다.
첫번째로 A, B 및 C 인자가 모두 고정인 경우의 주효과 τk의 검정력을 분석하고자 한다.
특히 표본크기의 제한에 따른 제약성으로 인하여 검정통계량의 이론적 점근성 전개가 무의미하다고 판단되므로 3 × 3 라틴방격모형의 주효과 유무의 검정을 위하여 모수적 ANOVA F 통계량과 Conover와 Iman (1981)에 의해 일련의 관측된 원자료를 크기순으로 순위대체한 후 모수적 검정을 적용하는 과정으로 정의되는 순위 변환된 ANOVA FR 통계량 사이의 검정력을 정규, 지수, 이중지수, 균일분포 등의 다양한 모집단분포하에서의 자료를 이용한 시뮬레이션을 통하여 비교분석해 보고자 한다.

데이터처리

시뮬레이션 과정은 정규, 지수, 이중지수, 균일분포를 따르는 변량을 생성시킨 후, 주어진 고정효과를 발생시키기 위하여 각각의 효과크기에 상응하는 상수를 가산하며, 주효과 검정을 위한 모수적 ANOVA F 통계량 및 순위변환된 ANOVA FR 통계량을 계산한다. 즉 α_i, β_j의 블럭효과 및 τ_k의 주효과는 α₁ = α, α₂ = 0.
5,3, 4, 5는 큰폭의 증가를 고려하였다. 한편 이와같은 일련의 과정을 10000번이상 반복하였으며, 주어진 변량를 발생시키기 위하여 C++ 언어의 rand() 함수 등을 사용하였고, 결과물의 비교를 위하여 EXCEL 을 이용하였다.

성능/효과

3 × 3 라틴방격모형에서 주효과 τk를 검정하기 위한 FR 통계량의 검정력은 요인모형에서 주로 끝이 길게 늘어진 지수분포 및 이중지수분포하에서 우위성을 갖는 결과와 달리 모집단의 분포유형에 상관없이 효과의 크기가 커질수록 F 통계량의 검정력보다 전반적으로 월등히 높은 수준이다.
그리고 하나의 블럭효과 αi만이 존재할 때 두 개의 블록효과 αi와 βj가 동시에 존재하는 경우보다 F 통계량의 검정력은 동일하지만 FR 통계량의 검정력은 보다 빠르게 증가하는 경향을 보이며, 상대적으로 FR 통계량의 검정력이 F 통계량의 검정력보다 우수함을 발견할 수 있다.
동시에 주목할 사실은 기존의 요인모형에서의 결과와 달리 정규분포를 포함한 모든 모집단의 분포에 걸쳐 효과의 크기 c가 커질수록 주효과 τk의 FR 통계량의 검정력은 F 통계량보다도 전체적으로 월등히 높은 수준임을 알 수 있다.
또한 하나의 블럭인자만이 랜덤인 경우의 주효과 τk의 F 및 FR 통계량의 검정력은 모든 인자가 고정인 경우의 주효과 τk의 F 및 FR 통계량의 검정력에 비하여 효과크기를 증가시킬수록 상대적 증가격차의 비교우위를 보인다.
가 동시에 존재하는 경우보다 F 통계량의 검정력은 동일하지만 FR 통계량의 검정력은 보다 빠르게 증가하는 경향을 보이며, 상대적으로 FR 통계량의 검정력이 F 통계량의 검정력보다 우수함을 발견할 수 있다. 또한 하나의 블럭효과 크기가 주효과 크기와 비슷하되 또다른 블럭효과 크기는 주효과 크기와 비교하여 상대적으로 작을수록 FR 통계량의 검정력이 뛰어남도 알 수 있다. 이는 검정하고자 하는 주효과 τ_k의 크기가 크되 상대적으로 동일크기의 하나의 블록효과만이 존재할수록 FR 통계량의 검정력은 상대적 우위성을 보인다는 사실로 요약할 수 있다.
즉 라틴방격모형에서 두개의 블럭인자를 모두 랜덤으로 가정할 때 주효과 τk의 F 및 FR 통계량의 검정력은 상대적으로 낮아지며 두 통계량간의 검정력을 구별하기가 힘들 정도로 동일해 지는 경향을 보인다.
즉 지수분포와 이중지수분포는 물론이고 정규분포와 균일분포에서도 주효과 τ_k의 FR 통계량의 검정력은 F 통계량의 검정력보다 상대적 우위를 보이고 있다. 특히 효과의 크기 c가 커질수록 F 및 FR 통계량의 검정력은 증가하되, 고려된 효과의 중간 크기 부분에서 FR 통계량의 검정력은 F 통계량의 검정력보다 큰 격차의 우위를 보인다. 이와같은 결과는 일반적으로 통계량의 검정력을 약화시키는 상호작용들이 존재하지 않고 블럭인자와 주인자만으로 구성된 라틴방격모형의 특성으로부터 기인함을 유추할 수 있다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	순위변환기법의 응용에 관한 연구의 추세는 어떠한가?	순위자료에 모수적 검정기법을 적용하는 순위변환기법의 응용으로 Hora와 Conover (1984), Hora와 Iman (1988), Kepner와 Robinson (1988)는 랜덤화 블럭모형 및 이원배치법하에서 순위변환을 이용한 주효과 검정통계량은 카이제곱분포로 수렴하며, Fabian (1991), Thompson (1991), Akritas와 Arnold (1994, 2000)는 이원배치법하에서의 상호작용 개념 등의 복잡성으로 말미암아 상호작용효과를 검정하기 위한 이론적 전개의 문제점을 제시하면서 더 많은 정의 및 연구가 수행되어야 한다고 제안하고 있으며, Gorman과 Akritas (2001), Choi (1998, 2008)는 요인증가 및 지분모형에 따른 모수적 통계량과 순위변환 통계량의 점근성을 통한 제1종오류와 검정력 비교를 제시하고 있으며, Akritas 등 (1997), Akritas와 Papadatos (2004)는 비균형요인모형하에서의 순위통계량 및 등분산 가정을 위배하는 일원배치법하에서의 순위통계량을 분석연구하였다. 특히 최근까지의 주요 연구논문들은 요인계획법 이외의 경우에 이론적 전개의 복잡성으로 인한 한계 및 문제점 등을 제시하고 있으며, 추가적으로 다양한 모형으로의 순위변환 적용 및 시뮬레이션 연구 등을 확대하는 추세이다. 즉 순위변환 기법의 큰 장점은 순위로 대체한 자료를 바탕으로 기존의 모수적 검정을 적용하는 간편성 및 편리성이며 주로 실험계획 모형분석 연구에 지속적으로 이용되고 있다.
	라틴방격모형이란 무엇인가?	따라서 본 연구대상의 주된 관심사는 이제까지 기존의 Jang과 Kim (2002), Park과 Kim (2003)의 제한된 요인계획법 모형에서 벗어나 현실적으로 자주 이용될 수 있는 완전확률화블럭모형의 확대된 개념인 3 × 3 라틴방격모형의 순위변환에 따른 검정력 분석을 우선적으로 살펴봄으로써, 순위변환 응용 및 이론적 연구의 지속적 가능성을 검토하여 보고자 한다. 라틴방격모형은 관심대상인 주효과의 모든 처리 수준들이 주어진 두 블럭수준내에서 단지 한번씩만 할당되는 특이한 형태의 모형으로서 주효과 유무를 검정하기 위한 통계량의 연구가 이루어지지 못한 실정이다. 특히 표본크기의 제한에 따른 제약성으로 인하여 검정통계량의 이론적 점근성 전개가 무의미하다고 판단되므로 3 × 3 라틴방격모형의 주효과 유무의 검정을 위하여 모수적 ANOVA F 통계량과 Conover와 Iman (1981)에 의해 일련의 관측된 원자료를 크기순으로 순위대체한 후 모수적 검정을 적용하는 과정으로 정의되는 순위 변환된 ANOVA FR 통계량 사이의 검정력을 정규, 지수, 이중지수, 균일분포 등의 다양한 모집단분포하에서의 자료를 이용한 시뮬레이션을 통하여 비교분석해 보고자 한다.
	순위변환 기법의 장점은 무엇인가?	특히 최근까지의 주요 연구논문들은 요인계획법 이외의 경우에 이론적 전개의 복잡성으로 인한 한계 및 문제점 등을 제시하고 있으며, 추가적으로 다양한 모형으로의 순위변환 적용 및 시뮬레이션 연구 등을 확대하는 추세이다. 즉 순위변환 기법의 큰 장점은 순위로 대체한 자료를 바탕으로 기존의 모수적 검정을 적용하는 간편성 및 편리성이며 주로 실험계획 모형분석 연구에 지속적으로 이용되고 있다.

참고문헌 (16)

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Akritas, M. G. and Papadatos, N. (2004). Heteroscedastic one way ANOVA and lack of fit tests. Journal of the American Statistical Association, 99, 368-382.

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원문보기 상세보기
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Kepner, J. L. and Robinson, D. H. (1988). Nonparametric methods for detecting treatment effects in repeated-measures designs. Journal of the American Statistical Association, 83, 456-461.

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Park, D. K. and Kim, H. S. (2003). A new approach for selecting fractional factorial designs. Journal of Korean Data & Information Science Society, 14, 707-714.
Thompson, G. L. (1991). A note on the rank transform for interactions. Biometrika, 78, 697-701.

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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