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수학적 증명에서의 물리적 논증 : 삼각형의 무게중심

Arguments from Physics in Mathematical Proofs : the Center of Gravity of a Triangle

과학교육연구지 : 경북대학교 과학교육연구소 = Journal of science education, v.34 no.1, 2010년, pp.175 - 184  

김성아 (동국대학교 경주캠퍼스)

초록
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이 논문에서는 Hanna와 Jahnke의 수학적 증명에서의 물리적 논증의 사용에 대한 주장에 동의하면서, 그들의 논문에서 취급된 무게중심의 개념을 이용한 물리적 논증을 통해 삼각형의 무게중심에 대한 증명의 예를 분석하고 보다 현실적인 모델을 제시하였다. 전통적인 수학적 논증과 비교하여 물리적 논증에 있어서 물리적 개념과 모델의 역할을 명백히 드러내고, 또한 물리적 논증을 교실에서 학생들에게 제시하고 활용해야 할 필요성에 대하여 논하였다.

Abstract AI-Helper 아이콘AI-Helper

We agree with Hanna and Jahnke's assertion on the use of arguments from physics in mathematical proofs and analyze their educational example of the use of arguments from physics in the proof of the center of gravity of a triangle. Moreover, we suggest practical models for the center of gravity of a ...

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

  • 결론적으로 본 논문은 학문 내외의 연계성에 대한 교육이 부족한 요즘 현실에서 무게중심에 대하여 교과 내외적으로 통합적 사고를 유도하는 교수학습의 개선 방향을 제안하고 있다.
  • 아울러 무게중심에 관한 중학교 교과서 단원과 국내 문헌을 살펴보고, 이런 전형적인 예를 자세히 분석함으로써 전통적인 수학적 논증과 비교하여 물리적 논증에 있어서 물리적 개념과 모델의 역할을 명백히 드러내고자 한다. 또한, 본 논문에서는 Hanna와 Jahnke가 제안한 가상적인 모델과 달리 학생들이 현실세계 속에서 경험할 수 있는 물리적 모델을 설계하고 이 모델의 활용에 있어 필수적인 주의 사항들도 함께 제시하고자 한다. 이는 직관적인 물리적 논증을 교실에서 학생들에게 제시하여 무게중심의 개념에 대하여 통합적 교수학습을 수행하는데 필요한 지식이 될 것이다.
  • 무게중심의 개념을 이용한 현실적인 다른 모델들을 제시하기 전에, 앞서 김원경(2010)과 최용준(2010)이 소개한 수학적 증명과는 또 다른 간단한 수학적 증명을 제시하여 앞의 HJ모델을 이용한 물리적 논증과 비교하고자 한다. 이 수학적 증명에서 사용할 수학 정리는 삼각형의 넓이에 관한 다음의 정리이다.
  • 본 연구는 문헌연구로, 우선 Hanna와 Jahnke(2002a)의 주장에 동의하면서, 그들의 논문에서 취급된 예들 중 특히 무게중심의 개념을 이용한 물리적 논증을 통해 삼각형의 세 중선이 한 점에서 교차한다는 초등기하의 정리를 증명하는 예를 자세히 분석하고자 한다. 아울러 무게중심에 관한 중학교 교과서 단원과 국내 문헌을 살펴보고, 이런 전형적인 예를 자세히 분석함으로써 전통적인 수학적 논증과 비교하여 물리적 논증에 있어서 물리적 개념과 모델의 역할을 명백히 드러내고자 한다.
  • 본 연구는 문헌연구로, 우선 Hanna와 Jahnke(2002a)의 주장에 동의하면서, 그들의 논문에서 취급된 예들 중 특히 무게중심의 개념을 이용한 물리적 논증을 통해 삼각형의 세 중선이 한 점에서 교차한다는 초등기하의 정리를 증명하는 예를 자세히 분석하고자 한다. 아울러 무게중심에 관한 중학교 교과서 단원과 국내 문헌을 살펴보고, 이런 전형적인 예를 자세히 분석함으로써 전통적인 수학적 논증과 비교하여 물리적 논증에 있어서 물리적 개념과 모델의 역할을 명백히 드러내고자 한다. 또한, 본 논문에서는 Hanna와 Jahnke가 제안한 가상적인 모델과 달리 학생들이 현실세계 속에서 경험할 수 있는 물리적 모델을 설계하고 이 모델의 활용에 있어 필수적인 주의 사항들도 함께 제시하고자 한다.
  • 이 글에서는 물리적 논증을 이용하여 수학의 정리를 증명하는 것의 장점, 전통적인 수학적 증명과의 차이점, 교실 수업에서 이를 성공적으로 수행하기 위해 필요한 요소 등을 파악하기 위해 노력하였다. 이를 위해 작지만 전형적인 한 예로서, 무게중심의 개념과 적절한 모델을 이용하여 삼각형의 세 중선이 한 점에서 교차한다는 기하적 정리를 증명하는 경우를 자세히 살펴보았다.
  • 따라서, 본 연구의 예에서는 무게중심의 개념을 잘 파악하지 못하면, 제안된 물리적 모델이 어떻게 기하적 정리의 증명을 성취하는지 이해하지 못할 수도 있다. 이런 뜻에서, 본 연구에서는 물리적 개념과 모델을 통한 논증에 대하여 분명히 드러내고, 특히 (예비)수학교사들에게 필요한 기초적인 배경 지식을 마련하였다.
  • 이제 임의의 물체의 한 점에 끈을 달아 연직면에서 평형을 이루는 경우에 대해 지레의 원리를 적용해 보자. 물체를 구성하는 수많은 질점들을 mi (i = 1, 2, 3, …)로 표시하고, 이 물체의 무게중심을 원점으로 잡고 각 질점의 위치를 #로 표시하면 ## 가 될 것이다.
  • 전형적인 예로서 삼각형의 중선들이 한 점에서 만난다는 초등기하의 정리를 살펴보자. 무게중심의 개념을 적용하여 이 정리를 증명하기 위해서 Hanna와 Jahnke는 다음과 같은 물리적 모델(이하 HJ모델이라 부름)을 생각한다.
  • 그리하여 위 모델은 HJ모델에서 꼭지점에만 무게가 있는 가상적인 삼각형을 다룰 때 학생들이 갖는 심리적 부담을 덜어 줄 수 있다. 즉, 교실에서 현실세계 속의 삼각형을 모델로 제시할 필요가 있음을 강조하고자 한다.

가설 설정

  • T. 높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같다.
  • 가정 A2를 이용하여 삼각형 ABC의 무게중심을 찾기 위하여 선분 BC와 평행한 임의의 얇은 띠 DE의 무게중심을 찾아보자. 띠 DE의 무게중심은 DE의 중점 F이고, 여기에 띠 DE의 무게가 집중된 것으로 볼 수 있다.
  • 둘째, 이 중점 P를 세 번째 꼭지점 A와 연결한 선은 하나의 중선이다. 그런데 A2에 의해 전체 삼각형의 무게중심은 바로 이 중선 위에 있어야 한다.
  • 셋째, 중선 AP와 중선 CR의 교점을 S'이라 하자.
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질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변
Villiers에 따른 증명의 기능은 무엇인가? 증명은 어떤 정리의 내용이 단순히 경험법칙이 아니라 논리적 귀결임을 확인하는 것이다. Villiers(1990)에 따르면 증명의 기능은 정리에 대한 논리적 검증에만 그치는 것이 아니라, 정리의 내용이 어째서 옳은지에 대한 설명과 통찰의 제공, 수학적 체계로의 구조화, 새로운 수학적 지식의 발견 및 전달 등에 있다고 한다. 특히 중등 수학에서는 형식적 증명보다는 정리의 내용에 대한 이해와 설명을 충분히 제공하는 증명이 더 유익하다고 본다.
수학을 통해 무엇을 배울 수 있는가? 그리스 시대부터 현대에 이르기까지 수학은 인간의 논리적 사고력을 키우는데 가장 적합한 분야로 인정되고 교육되어 왔다. 수학을 통해 계산 능력뿐만 아니라, 기하, 대수, 해석학 등의 기본 개념을 통해 논리적 사고 및 연역적, 추상적 사고를 점차적으로 배우게 된다. 그러나 그리스 시대부터 기하교육의 핵심이었던 유클리드의 원론을 통한 교육은 지나치게 연역적, 형식적이어서 수학에 대한 이해나 흥미를 느끼기도 전에 학생들에게 수학에 대한 좌절감과 혐오감을 주고 수학을 기피하게 하는 원인이 되기도 하였다.
본 연구의 무게중심에 관련된 가정에는 무엇이 있는가? A1. 질점들이 기하적으로 배치(선, 평면 도형, 또는 입체)되어 이루어진 질점계는 단 하나의 무게중심을 갖는다. A2. 하나의 질점계의 무게중심을 찾기 위해서 전체 질점계를 몇 개의 부분계의 조합으로 보고, 먼저 각 부분계의 무게중심을 찾는다. 전체계의 무게 중심은 각 부분계의 무게 중심에 각 부분 계의 전 질량이 놓여 있는 것으로 간주한 질점 계의 무게중심과 같다. A3. 무게중심을 결정하는 데에는 지레의 법칙이 이용된다. 가령, 무게의 비가 1:2인 두 질점의 무게중심은 두 질점을 잇는 선분을 2:1로 분할하는 점이다.
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