[논문]일반화추정방정식(GEE)에 대한 부스트랩의 적용

박종선; 전용문

doi:10.5351/kjas.2011.24.1.207

일반화추정방정식(GEE)에 대한 부스트랩의 적용
Bootstrap Estimation for GEE Models 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.24 no.1, 2011년, pp.207 - 216

초록
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본 논문에서는 일반화추정방정식(GEE)모형에 대한 부스트랩 방법의 적용에 대하여 살펴본다. 다양한 부스트랩 방법들 중 GEE모형에 적용이 가능한 잔차, 쌍 및 점수함수 부스트랩 방법을 가상 및 실제 자료들에 적용한 결과 회귀계수들에 대한 추정치와 표준오차가 점근값들과 차이를 보이는 것으로 나타났다. 따라서 표본수가 크지 않은 경우 부스트랩 방법을 통하여 GEE모형에서의 회귀계수에 대한 추정치화 표준편차를 구하는 것이 효과적임을 알 수 있다.

Abstract ▼ AI-Helper

Bootstrap is a resampling technique to find an estimate of parameters or to evaluate the estimate. This technique has been used in estimating parameters in linear model(LM) and generalized linear model(GLM). In this paper, we explore the possibility of applying Bootstrapping Residuals, Pairs, and an Estimating Equation that are most widely used in LM and GLM to the generalized estimating equation(GEE) algorithm for modelling repeatedly measured regression data sets. We compared three bootstrapping methods with coefficient and standard error estimates of GEE models from one simulated and one real data set. Overall, the estimates obtained from bootstrap methods are quite comparable, except that estimates from bootstrapping pairs are somewhat different from others. We conjecture that the strange behavior of estimates from bootstrapping pairs comes from the inconsistency of those estimates. However, we need a more thorough simulation study to generalize it since those results are coming from only two small data sets.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

GEE모형은 일반화선형모형의 확장이고 회귀모형에 대한 부스트랩의 적용방법은 선형회귀모형과 일반화선형모형에 대해 원리적으로 동일한 방법이 사용되므로 본 절에서는 일반화선형모형에 대한 부스트랩 방법들을 살펴보기로 한다.
본 논문에서는 부스트랩 방법들 중 회귀모형에 자주 사용되는 잔차, 쌍 및 점수함수 부스트랩 방법을 GEE모형을 따르는 가상자료와 반응변수가 반복측정된 실제자료에 적용하고 그 결과를 살펴보았다.
선형모형에 대한 대표적인 세 가지 부스트랩 방법들은 선형모형의 확장인 일반화선형모형에 적용이 가능하며 비슷한 원리로 일반화선형모형의 확장인 GEE모형에도 적용할 수 있다. 본 논문에서는 잔차 및 쌍 부스트랩 방법과 점수함수 부스트랩 방법을 GEE모형을 따르는 시뮬레이션 자료와 실제 자료에 적용하고 그 결과를 정리 하였다.

제안 방법

이 장에서는 GEE모형에 부스트랩 방법들을 다양한 자료들에 적용한 결과가 어떻게 나타나는지를 보기 위하여 모의실험자료와 실제 자료에 적용해 보고 그 결과를 비교하였다. 예제 4.

대상 데이터

분석에 사용된 자료는 Ware 등 (1984)이 사용한 자료의 일부분으로 대기오염이 건강에 미치는 영향에 대한 연구이다. 16명의 어린아이를 대상으로 조사되었으며 9세부터 12세까지 4년동안 반복측정되었다. 종속변수는 어린이의 천식여부를 나타내는 이항변수인 wheeze이다.
예제 4.1: 모의실험에 사용한 자료는 Hardin과 Hilbe (2002, Section 5.2.4)가 사용한 모의실험자료로 종속변수 Y와 세 개의 독립변수 X₁,X₂,X₃를 포함하고 있다. Y는 0, 1로 된 이항변수이며, X₁은 U(0, 1), X₂는 N(0, 1)을 그리고 X₃는 U(5, 10)을 따른다.

데이터처리

3과 같다. 이 결과를 바탕으로 계수의 추정과 표준오차의 추정에 있어서 부스트랩을 적용한 방법과 GEE방법과의 차이를 계수추정치 및 반복추정치들의 평균과 표준오차 그리고 계수들의 유의성 검정을 위한 t-값을 통하여 살펴보고 추정된 회귀계수에 대한 95% 신뢰구간의 상한/하한을 비교하였다. 부스트랩 방법들에 대한 계수추정치는 반복 재표본에 대한 계수추정치들의 평균값이다.

이론/모형

우리의 주된 관심은 부스트랩 방법을 이용하여 회귀계수 추정치의 분산 또는 표준오차을 추정하는 것이며 모든 내용은 일차 근사(first order approximation)에 기준을 두고 전개되었다. 따라서 앞에서 언급한 점수함수의 경우 일차 근사식을 사용하였으며 회귀계수의 추정치도 일단계 근사값을 고려하였다.
Y는 0, 1로 된 이항변수이며, X₁은 U(0, 1), X₂는 N(0, 1)을 그리고 X₃는 U(5, 10)을 따른다. 반복측정으로 인한 내부상관관계가 약 0.4이며 반복측정수는 8이고 관측수가 50이므로 총 표본크기는 400이 되며 교환가능상관을 갖는 이항-로짓(binomial-logit) 모형을 따른다. 각각의 설명변수에 대한 회귀계수는 -0.
일반화선형모형에 대한 잔차 부스트랩은 선형모형의 경우와 달리 각 관측값의 분산이 동일하지 않으므로 이를 표준화 하는 방법에 따라 구분할 수 있다. 본 논문에서는 각 관측치의 표준편차로 표준화한 피어슨의 잔차를 이용하였다. 쌍 부스트랩은 말 그대로 관측치와 설명변수들에 대한 재표본을 이용하는 방법이다.
종합하면 잔차 부스트랩의 경우에는 피어슨 잔차에 대한 재표본을 사용하고 점수함수의 경우에는 #에 대한 표본을, 그리고 마지막으로 쌍 부스트랩의 경우에는 원자료에 대한 재표본을 이용한다. 여기서 점수함수의 경우에는 일반적인 다항분포가 아닌 Wu (1986)의 방법을 일반화선형모형에 확장한 Lele (1991)가 제안한 방법을 예로 들었다.
V는 대각행렬로 i번째 원소 V_i는 i 번째 관측치의 조건부 분산인 E(y_i|x_i)이다. 우리의 주된 관심은 부스트랩 방법을 이용하여 회귀계수 추정치의 분산 또는 표준오차을 추정하는 것이며 모든 내용은 일차 근사(first order approximation)에 기준을 두고 전개되었다. 따라서 앞에서 언급한 점수함수의 경우 일차 근사식을 사용하였으며 회귀계수의 추정치도 일단계 근사값을 고려하였다.

성능/효과

GEE모형에서 추정에 사용된 가상관행렬이 참의 상관행렬과 다르더라도 일치성을 만족하는 것으로 알려져 있으나 가상자료에 대한 적용결과 참의 값과 차이가 있는 것으로 나타났다. 다만, 가상관행렬이 참의 상관행렬과 같은 경우에는 계수추정치들 또한 참의 값에 가까운 값을 보임을 알 수 있었다.
결론적으로 GEE모형은 일반화선형모형의 확장이므로 선형회귀모형 또는 일반화선형모형에 적용할 수 있는 부스트랩 방법들을 적용하는데 큰 문제는 없었으나 부스트랩 표본에 대한 추정치를 구하는 과정에서 적절히 수렴하지 않는 경우가 종종 나타났다. 하지만 등분산이 아닌 경우 편의가 있는 것으로 알려져 있는 쌍 부스트랩 방법을 제외하고 잔차 및 점수함수 부스트랩의 경우에는 GEE 모형에 적용할 경우 다른 회귀모형에서와 같이 효과적으로 계수의 변동에 대한 추정치를 얻을 수 있을 것으로 보인다.
GEE모형에서 추정에 사용된 가상관행렬이 참의 상관행렬과 다르더라도 일치성을 만족하는 것으로 알려져 있으나 가상자료에 대한 적용결과 참의 값과 차이가 있는 것으로 나타났다. 다만, 가상관행렬이 참의 상관행렬과 같은 경우에는 계수추정치들 또한 참의 값에 가까운 값을 보임을 알 수 있었다.
실증분석 결과를 정리해 보면 GEE모형의 적합결과는 가상관행렬에 따라 조금씩 차이를 보이는 것으로 나타났다. 이론적으로 가상관행렬을 다르게 하여도 추정량은 일치성을 만족하는 것으로 알려져 있으나 예제에서는 차이를 보여 표본수가 작은 경우 주의할 필요가 있음을 알 수 있다.
또한 참의 상관과 가상관이 같은 경우 세 방법의 결과에는 큰 차이가 없었으나 그렇지 않은 경우 쌍 부스트랩 방법에 의한 추정치가 다른 방법들과 차이를 보였다. 전체적으로 보면 가정된 가상관 행렬에 따라 계수추정치들에는 차이가 있으나 부스트랩 방법들 간에 많은 차이는 나타나지 않았다. 추정오차의 경우 모든 방법에서 GEE 추정치와 차이가 있었으며 이 예제에서는 대부분 GEE 추정치보다 작은 값을 나타내었다.
전체적으로 보면 가정된 가상관 행렬에 따라 계수추정치들에는 차이가 있으나 부스트랩 방법들 간에 많은 차이는 나타나지 않았다. 추정오차의 경우 모든 방법에서 GEE 추정치와 차이가 있었으며 이 예제에서는 대부분 GEE 추정치보다 작은 값을 나타내었다.
부스트랩 방법들을 적용하여 구해진 계수추정치들은 부스트랩 방법에 따르는 차이는 크지 않았으나 가상관행렬이 참과 다른 경우 쌍 부스트랩 방법으로 추정된 값들은 다른 방법들 및 GEE 추정치와 상이한 결과를 나타내어 GEE 모형에서 쌍 부스트랩을 사용할 경우에 주의가 필요한 것으로 판단된다. 표준오차의 경우에는 부스트랩 방법들로 구해진 추정치들 간에는 큰 차이가 없었으나 부스트랩 방법들과 GEE 추정치 간에는 상당한 차이를 나타내고 있어 표준오차의 경우에는 표본이 작은 경우 GEE 추정치가 과대 또는 과소평가되고 있음을 알 수 있다. 표준오차의 경우에도 쌍 부스트랩 방법의 추정치가 다른 두 방법의 추정치보다 크거나 작은 값을 나타내었다.

후속연구

하지만 등분산이 아닌 경우 편의가 있는 것으로 알려져 있는 쌍 부스트랩 방법을 제외하고 잔차 및 점수함수 부스트랩의 경우에는 GEE 모형에 적용할 경우 다른 회귀모형에서와 같이 효과적으로 계수의 변동에 대한 추정치를 얻을 수 있을 것으로 보인다. 다만, 본 논문에서 언급한 결과들은 하나의 가상자료와 하나의 실제자료에 대한 적용 결과를 바탕으로 한 것이므로 이를 일반화하기 위해서는 더욱 완벽한 모의실험이 필요하다고 하겠다.

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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