행렬 및 벡터공간을 다루는 선형대수학은 사회의 복잡한 현상을 선형화 과정을 거쳐 선형연립방정식이라는 단순한 형태의 수학 문제로 바꾼 후 실제로 해결하는 데 결정적으로 기여한다. 이와 같은 이유로 20세기 중반까지 추상적인 고등수학 과목으로만 여겨지던 선형대수학이 현재는 자연-공학-사회계열 분야 학생의 대부분이 배우는 기본 교과목이 되었다. 본 연구에서는 초기 선형대수학의 발전에 기여한 중국, 일본, 그리고 서양의 수학자들에 대하여 다룬다. 선형대수학은 <산수서>, <구장산술>, 세키 고와, 뫼비우스, 그라스만 실베스터, 케일리 등을 거치면서 비선형적으로 발전해왔다. 우리는 새로 발굴한 내용을 중심으로 초기 선형대수학의 발전과정을 소개한다.
행렬 및 벡터공간을 다루는 선형대수학은 사회의 복잡한 현상을 선형화 과정을 거쳐 선형연립방정식이라는 단순한 형태의 수학 문제로 바꾼 후 실제로 해결하는 데 결정적으로 기여한다. 이와 같은 이유로 20세기 중반까지 추상적인 고등수학 과목으로만 여겨지던 선형대수학이 현재는 자연-공학-사회계열 분야 학생의 대부분이 배우는 기본 교과목이 되었다. 본 연구에서는 초기 선형대수학의 발전에 기여한 중국, 일본, 그리고 서양의 수학자들에 대하여 다룬다. 선형대수학은 <산수서>, <구장산술>, 세키 고와, 뫼비우스, 그라스만 실베스터, 케일리 등을 거치면서 비선형적으로 발전해왔다. 우리는 새로 발굴한 내용을 중심으로 초기 선형대수학의 발전과정을 소개한다.
Until the 1950s, linear algebra was considered only as one of abstract and advanced mathematics subject among in graduate mathematics courses, mainly dealing with module in algebra. Since the 1960s, it has been a main subject in undergraduate mathematics education because matrices has been used all ...
Until the 1950s, linear algebra was considered only as one of abstract and advanced mathematics subject among in graduate mathematics courses, mainly dealing with module in algebra. Since the 1960s, it has been a main subject in undergraduate mathematics education because matrices has been used all over. In Korea, it was considered as a course only for mathematics major students until 1980s. However, now it is a subject for all undergraduate students including natural science, engineering, social science since 1990s. In this paper, we investigate the early history of linear algebra and its development from a historical perspective and mathematicians who made contributions. Secondly, we explain why linear algebra became so popular in college mathematics education in the late 20th century. Contributions of Chinese and H. Grassmann will be extensively examined with many newly discovered facts.
Until the 1950s, linear algebra was considered only as one of abstract and advanced mathematics subject among in graduate mathematics courses, mainly dealing with module in algebra. Since the 1960s, it has been a main subject in undergraduate mathematics education because matrices has been used all over. In Korea, it was considered as a course only for mathematics major students until 1980s. However, now it is a subject for all undergraduate students including natural science, engineering, social science since 1990s. In this paper, we investigate the early history of linear algebra and its development from a historical perspective and mathematicians who made contributions. Secondly, we explain why linear algebra became so popular in college mathematics education in the late 20th century. Contributions of Chinese and H. Grassmann will be extensively examined with many newly discovered facts.
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문제 정의
선형대수학의 탄생과 20세기 후반의 선형대수학 발전과정에 대하여는 저자가 대한수학회 소식지(이상구·강옥기, 1997)에 일부를 소개한 바 있다. 본 논문에서는 이전에 소개되지 않았던 동서양에 걸친 선형대수학의 전체적인 역사와 선형대수학을 만든 인물을 중심으로 소개한다. 특히 선형대수학에 대한 중국의 기여, 뫼비우스(Möbius, 1790-1868)와 그라스만(H.
본 연구에서는 고대 동양의 기여에 보태서 근대 선형대수학의 발전 과정에서 가장 큰 기여를 한 그라스만이 저술한 책의 내용과 그에 대한 평가를 발굴하여 그간 간과 되었던 그라스만의 역할을 상세히 다루었다. 당시까지의 선형대수학과 관련된 거의 모든 주요 내용을 분명하게 이해하고 자신의 내용을 추가하며 1844년 선형대수학 책 2판을 발간한 그라스만의 업적은 시간이 흘러 19세기 말부터 항켈, 클라인, 화이트헤드, 와일과 같은 수학자들에 의하여 인정을 받게 된다.
특히 부르바키 등에 의하여 그라스만의 연구 결과가 재조명되면서 그간의 다양한 연구가 구체적인 수학분야로 체계를 갖춘다. 본 연구에서는 역사적으로 그라스만 이후 선형대수학 이론의 발전은 한 방향이 아니라 여러 분야의 수학전공자들에 의하여 비선형적으로 발전하였음도 확인 하였다.
제안 방법
특히 이 책은 「방정」 을 산반(算盤) 위에 구성한 150 개의 표와 현대 선형대수학 기호를 이용하여 성공적으로 재구성하였다. 그리고 함축적으로 서술된 「방정」 장 원본을 현대 선형대수학의 용어로 라이프니츠(G. W. Leibniz, 1646-1716), 세키 고와(Seki Kowa, 関孝和, 1642-1708), 가우스(J. C. F. Gauss, 1777-1855)와 연결하여 구체적으로 서술하였다. 하트는 이 책에서 방정장의 영부족(贏不足, excess and deficit)을 이용하는 두 개의 미지수를 갖는 두 개의 방정식의 해법과 방정장의 대부분을 정확하게 복원하였으며, n+1개의 미지수를 갖는 n개의 방정식을 복원하여 행렬식 계산(determinantal calculation)의 가장 오래된 기록임을 확인하였다.
따라서 자연스러운 다음 관계로 그간 진행된 행렬식에 관한 연구와 새로 시작된 행렬대수 사이의 관계를 조사하게 되었고, 그래서 나온 첫 번째 중요한 결과가 행렬식의 곱셈에 관한 성질 즉, det(AB) = det(A)·det(B )이다.
여기서 보인 완전히 추상적인 접근은 ‘n-차원 공간’과 ‘교환법칙이 성립하지 않는 곱셈’이라는 새로운 수학적인 아이디어를 제공했다.
그는 <구장산술>의 「방정」 장을 중심으로 서술하면서 선형연립방정식에 대한 고대 중국의 해법을 자세히 기술하고 있다. 특히 이 책은 「방정」 을 산반(算盤) 위에 구성한 150 개의 표와 현대 선형대수학 기호를 이용하여 성공적으로 재구성하였다. 그리고 함축적으로 서술된 「방정」 장 원본을 현대 선형대수학의 용어로 라이프니츠(G.
행렬식의 개념은 일본인 세키 고와가 1683년에 처음 소개했으며,4) 2×2, 3×3, 4×4, 5×5행렬의 행렬식을 구하는 방법을 찾아서 방정식의 해법을 구했다.
대상 데이터
수학교수이면서 동시에 변호사 경력을 가진 실베스터와 케일리의 성격은 매우 달랐다. 42세에 캠브리지대 수학과 교수가 된 케일리는 신중했다. 그의 연구결과는 널리 알려졌으며, 영국과 유럽 대륙 다른 학자들의 연구 내용을 잘 숙지하고 있었다.
이론/모형
그럼에도 불구하고 그라스만은 자신의 방법에 확신을 가지고 책을 다시 쓰기 시작하여 1861년 10월에 수정을 마치고, 1862년 ‘The second Ausdehnungslehre’ 300 권을 모두 자신의 비용으로 인쇄했다. 이 책은 철학적 설명 없이 모두 정의-정리-증명(definition-theorem-proof)형식으로 썼는데(Fearnley-Sander, 1979), 여기서 제시한 내용 전체를 모두 그라스만이 처음으로 발견한 것은 아니지만 당시에 벌써 선형대수학의 거의 모든 주요 내용을 이해하고 정리한 그 완성도는 정말 놀랄만하다. 그가 다룬 선형대수학의 내용을 현대적 용어로 쓰면 다음과 같다.
성능/효과
그러나 기록에 의하면 서양에서는 1693년 라이프니츠가 로피탈(L'Hôpital)에게 보낸 편지에 비로소 처음 소개되었다.5) 라이프니츠는 1700년과 1710년에 발표한 논문에서 소개한 계수행렬에 관한 연구를 통하여, 현재의 크래머(Cramer)공식에 이르는 기본 원리와 라플라스(Laplace) 여인자 전개식이라 불리는 결과의 기본적인 내용을 보였다. 특히 세키 고와는 선형대수학에서의 업적이외에도 뉴턴(Newton)과 동시대에 미적분학의 기본 개념들을 소개한 기록들이 발견되고 연구되면서 동양의 뉴턴으로 재평가되고 있다.
Weyl)이 1918년 상대성 이론을 다루면서 그라스만의 ‘역사적인 업적(epoch making work)’이라고 인용하며 다시 제시할 때까지는 대부분 알려지지 않은 채로 지냈다.8) 그라스만의 선형대수학에 대한 다양하고 깊이 있는 발견은 1910년 이후 행렬과 벡터해석에 널리 사용되기 시작하였다. 그러나 선형대수학에 대한 그라스만의 업적은 그 구체적인 내용이 널리 알려질 때는 이미 독자적으로 연구한 다른 많은 수학자들이 행렬의 표준형(canonical form) 등 다양한 연구를 활발히 하고 있었기에 그라스만의 결과를 인용하지는 못했다.
B.C.E.)2) 기록에는 두 개의 미지수를 갖는 연립방정식의 해법이 보다 이른 BC 2세기 이전에 이미 중국에서 사용되었다는 것을 확인해준다.
Gauss, 1777-1855)와 연결하여 구체적으로 서술하였다. 하트는 이 책에서 방정장의 영부족(贏不足, excess and deficit)을 이용하는 두 개의 미지수를 갖는 두 개의 방정식의 해법과 방정장의 대부분을 정확하게 복원하였으며, n+1개의 미지수를 갖는 n개의 방정식을 복원하여 행렬식 계산(determinantal calculation)의 가장 오래된 기록임을 확인하였다. 이는 세키나 라이프니츠의 17세기 기록보다 훨씬 앞선 것이다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
선형대수학의 핵심적인 내용은 무엇인가?
선형대수학의 핵심적인 내용은 선형연립방정식에 대한 다양한 해법이다. 고대 바빌로니아인들도 기원전 4세기경에 선형연립방정식으로 이어지는 문제들을 연구하였다.
선형연립방정식의 연구 중 행렬과 행렬식의 개념에서 더 나중에 소개된 개념은 무엇인가?
행렬과 행렬식의 연구는 모두 선형연립방정식의 연구에서 비롯되었다. 흥미로운 것은 행렬의 개념이 행렬식의 개념보다 훨씬 나중에 소개되었다는 것이다. 행렬식의 개념은 일본인 세키 고와가 1683년에 처음 소개했으며, 4) 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4, 5 × 5행렬의 행렬식을 구하는 방법을 찾아서 방정식의 해법을 구했다.
선형대수학이 다루는 문제는 무엇인가?
행렬 및 벡터공간을 다루는 선형대수학은 사회의 복잡한 현상을 선형화 과정을 거쳐 선형연립방정식이라는 단순한 형태의 수학 문제로 바꾼 후 실제로 해결하는 데 결정적으로 기여한다. 이와 같은 이유로 20세기 중반까지 추상적인 고등수학 과목으로만 여겨지던 선형대수학이 현재는 자연-공학-사회계열 분야 학생의 대부분이 배우는 기본 교과목이 되었다.
참고문헌 (14)
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