[논문]튜링의 업적이 지닌 철학적 함의 -'멈춤정리'를 중심으로-

박창균

튜링의 업적이 지닌 철학적 함의 -'멈춤정리'를 중심으로-
Philosophical Implication of Turing's Work -Concentrated on Halting Theorem- 원문보기

한국수학사학회지 = The Korean journal for history of mathematics, v.25 no.3, 2012년, pp.15 - 27

초록
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이 글의 목적은 튜링이 태어난 지 100주년을 맞이하여 튜링의 삶을 살펴보고 그의 업적 중 특히 '멈춤정리' 에 주목하여 철학적 함의를 궁구하는 것이다. 튜링은 멈춤문제가 해결불가능하다는 것을 증명함으로써 힐베르트의 결정문제를 부정적으로 해결했다. 본고에서는 멈춤문제의 해결불가능성이 이성의 한계를 함축한다고 파악하고 인식이나 행위에 있어서 여백을 가지는 것이 필요하다는 것을 주장한다.

Abstract ▼ AI-Helper

This paper aims to examine Alan Turing's life at the centenary of his birth and to discuss a philosophical implication of his work by concentrating on halting theorem particularly. Turing negatively solved Hilbert's decision problem by proving impossibility of solving halting problem. In this paper I claim that the impossibility implies limits of reason, and accordingly that the marginality in cognition and/or in action should be recognized.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

이 글은 멈춤정리에 주목하여 이를 한계의 맥락에서 파악하려는 것이다. 따라서 멈춤정리가 무엇인지 알아보기로 하자. 멈춤정리란 멈춤문제에 대한 답이다.
따라서 본고에서는 우선 튜링의 삶을 개관한 후 튜링의 업적 중 특히 멈춤정리에 주목한다. 멈춤정리가 이성의 한계를 함축하는 것이라는 전제아래 한계를 보여준 여러 학문적 결과를 소개하고, 특히 문화 속에 나타난 ‘한계의 철학’을 탐색한다.
본고는 주로 그의 멈춤정리에 주목하여 불완전성정리와의 관계를 소개하고, 애로우의 ‘불가능성정리’, 하이젠베르크의 ‘불확정성원리’등 인류 지성사에서 ‘한계’를 도출한 성과들을 제시한 후 이러한 이론들이 실천적으로 함의하는 바가 무엇인지 살펴보려는 것이다.
둘째 예에서 활짝 웃는 모나리자였다면 신비한 미소의 명화가 되기는 어려웠을 것임을 알 수 있다. 이제 이러한 한계의 철학을 인터넷이 발달된 세태에 적용해 보자.

제안 방법

멈춤정리가 이성의 한계를 함축하는 것이라는 전제아래 한계를 보여준 여러 학문적 결과를 소개하고, 특히 문화 속에 나타난 ‘한계의 철학’을 탐색한다.
이러한 선택의 합리성 문제를 극명하게 노출한 것은 1991년 파울로스가 제시한 전원당선 모델이다. 파울로스는 이 모델에서 다섯 사람 모두가 각각 단기투표방식, 상위 2위까지 결선투표방식, 토너먼트 결선투표방식, 순위평점방식, 라운드 로빈 토너먼트 방식 등에 의해 승자임을 주장할 수 있는 모델을 만들었다. 더욱 심각한 것은 민주주의라는 제도 자체가 완전하게 실현되는 것은 불가능하다는 것이다.

대상 데이터

부모가 인도에 있는 관계로 그는 형인 존과 함께 영국에 있는 한 가정에서 양육되었다. 여섯 살에 들어간 학교인 헤이즐허스트(Hazelhurst)를 졸업한 후 1926년 공립학교인 셔본고등학교(Sherborne School)에 입학했다. 고등학교 시절 튜링은 어려운 수학문제를 푸느라고 기초 공부를 소홀히 한다는 지적도 받았지만 그의 지적 호기심과 문제에 대한 집중력은 튜링이 미래에 성취할 업적을 위한 잠재력이 수면위로 약간 드러난 것에 불과했다.
튜링은 1912년 6월 23일 영국 런던에 있는 패링턴의 한 병원에서 태어났다. 튜링은 인도에서 공무원으로 일했던 아버지 줄리어스 매시슨 튜링과 어머니 에셀 사라 튜링의 둘째 아들이었다.
튜링은 1912년 6월 23일에 런던에서 태어나 만 42세를 다 채우지 못한 1954년 6월 7일 젊은 나이에 자살로 생을 마감하였다. 20세기의 두 번에 걸친 세계대전이 그의 생애 중에 있었는데 특히 독일해군에 대한 암호해독으로 기여했어야 했던 제 2차 세계대전을 그의 학문의 황금기에 겪어야 했다.
튜링은 1912년 6월 23일 영국 런던에 있는 패링턴의 한 병원에서 태어났다. 튜링은 인도에서 공무원으로 일했던 아버지 줄리어스 매시슨 튜링과 어머니 에셀 사라 튜링의 둘째 아들이었다. 부모가 인도에 있는 관계로 그는 형인 존과 함께 영국에 있는 한 가정에서 양육되었다.

성능/효과

특히 자본주의의 위기가 운위되고 있는 오늘날 시사하는 바가 크다고 생각한다. 세 번째 경우인 도피성 제도는 살인한 자는 반드시 죽임을 당해야 하는데 고의적이지 않은 억울한 경우 구제할 여지를 남겨 복수자의 추적으로부터 보호하려는 것이다. 남김이 없이 이루어지는 기계적이고 단정적인 판단이나 처리만이 이루어진다면 인간 사회는 유지되기 어려울 것이다.
그의 불완전성 정리는 페아노 산술체계가 모순이 없다면 불완전하다는 것과 그 체계의 무모순성은 그 체계 내에서 증명할 수 없다는 것이다. 인간이 가진 가장 엄밀한 지식인 수학에서 참이지만 증명할 수 없는 것이 존재한다는 것을 보인 불완전성 정리는 증명의 세계가 진리의 세계를 포괄할 수 없음을 보였다는 점에서 지적인 충격이 컸다. 괴델의 정리가 큰 봉우리라면 사실 튜링의 멈춤정리나 채이틴(Chaitin)의 정리는 인접한 작은 봉우리이다.
따라서 만일 증명가능한 문제와 불가능한 문제를 구별할 방법이 존재한다면 증명 불가능한 문제를 피해가는 길이 있는 셈인데 튜링은 이것을 유한한 단계 내에서 판정된다는 보장이 없음을 보인 셈이다. 튜링은 힐베르트의 결정문제가 해결불가능하다는 것을 멈춤문제가 해결 불가능하다는 것을 증명함으로써 보였다. 결정문제란 어떤 형식 체계에서 한 명제의 진위여부가 명확한 방법에 의해 결정될 수 있는가 하는 문제이다.

후속연구

튜링은 1936년 봄 힐베르트가 제시했던 결정문제를 부정적으로 해결했는데 이 결과인 논문 “계산가능수와 결정문제에 대한 응용에 관하여”는 이듬해 1월 <런던수학회보>에 게재된다. 이 논문에서 제시된 튜링기계, 계산가능성, 보편기계 등의 개념은 향후 컴퓨터 시대의 서막을 알리는 것이었다. 1936년에 미국으로 건너가 프린스턴 대학교에서 알론조 처치의 지도아래 공부를 계속하고 1938년 가을에 다시 런던으로 돌아왔다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	튜링의 업적은 어떻게 평가받고 있는가?	그 세 분야는 수학과 자연과학, 그리고 전산학이다. 물론 이때 전산학은 아직 정립되기 이전 상태였지만 그는 컴퓨터의 이론적 토대를 제공한 사람이고 또한 인공지능의 창시자로 일컬어진다. 수학에서는 확률론, 정수론, 군론 등을 연구했으며, 자연과학에서는 생물학과 화학 그리고 물리학에 이르기까지 그의 관심은 광범위했고 특히 그는 수리생물학을 개척한 사람으로 평가받기도 한다. 순수수학과 응용수학이 구별이 없이 통합되어 있었던 18세기의 수학자들처럼 튜링에게 수학의 순수와 응용의 구분은 무의미했고 비록 학문이 더욱 세분화된 20세기 초였지만 그의 학문적 작업은 오늘날 식으로 말하자면 학문적 통섭이 자연스레 이루어진 경우이다.
	튜링테스트의 목적은 무엇인가?	튜링테스트는 기계가 얼마나 인간과 유사하게 대화할 수 있는 지를 기준으로 기계의 지능 여부를 판별하려는 것이다. 튜링이 이 테스트를 생각하게 된 데에는 1922년 튜링이 선물로 받은 브루스터(Brewster)의 저서 『모든 어린이가 알아야 할 자연의 신비』가 큰 영향을 준 것으로 보인다.
	멈춤문제란 무엇인가?	멈춤정리란 멈춤문제에 대한 답이다. 멈춤문제란 임의의 알고리듬이 유한번의 단계 후에 멈추는지 아닌지를 결정하는 알고리듬의 존재를 묻는 것인데 튜링이 이 문제를 처음 알게 된 것은 1934년 위상수학자인 뉴먼의 수학기초론에 대한 강의에서였다고 한다. 튜링의 친구 갠디는 튜링이 그랜체스터 초원의 풀밭에 누워 있을 때 이 문제에 관한 핵심 아이디어가 떠올랐다고 자기에게 말했다고 술회하였다.

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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