레벨셋 기법과 무요소법을 결합한 위상 및 형상 최적설계 기법을 개발하여 선형 탄성문제에 적용하였다. 설계민감도는 애드조인트법을 사용하여 효율적으로 구하였다. 해밀턴-자코비 방정식을 업-윈드 기법을 이용하여 수치적으로 풀었으며, 구조물의 경계는 레벨셋 함수를 이용하여 암시적으로 표현하였다. 구조물의 응답과 설계민감도를 얻기 위하여 암시적 함수를 사용하여 명시적 경계를 생성하였다. 재생 커널 기법에 기초하여 얻어진 전역 절점 기저함수를 사용하여 연속체지배방정식의 변위장을 이산화하였다. 따라서 질점들을 연속체 영역의 어느 곳이든 위치시킬 수 있으며, 이는 통해 명시적 경계를 생성하는 것이 가능하며, 결과적으로 정확한 설계를 얻을 수 있다. 개발된 방법은 제한 조건이 있는 최적설계 문제에 대하여 라그랑지안범함수를 정의한다. 이는 경계의 변화를 통하여 허용 부피 제한조건을 만족시키면서 컴플라이언스를 최소화한다. 최적설계 과정 동안 라그랑지안 범함수의 최적화조건을 만족시킴으로써 해밀턴-자코비 방정식을 풀기 위한 속도장을 얻는다. 기존의 형상 최적설계 기법에 비하여, 본 방법론은 위상과 형상의 변화를 쉽게 얻어낼 수 있다.
레벨셋 기법과 무요소법을 결합한 위상 및 형상 최적설계 기법을 개발하여 선형 탄성문제에 적용하였다. 설계민감도는 애드조인트법을 사용하여 효율적으로 구하였다. 해밀턴-자코비 방정식을 업-윈드 기법을 이용하여 수치적으로 풀었으며, 구조물의 경계는 레벨셋 함수를 이용하여 암시적으로 표현하였다. 구조물의 응답과 설계민감도를 얻기 위하여 암시적 함수를 사용하여 명시적 경계를 생성하였다. 재생 커널 기법에 기초하여 얻어진 전역 절점 기저함수를 사용하여 연속체 지배방정식의 변위장을 이산화하였다. 따라서 질점들을 연속체 영역의 어느 곳이든 위치시킬 수 있으며, 이는 통해 명시적 경계를 생성하는 것이 가능하며, 결과적으로 정확한 설계를 얻을 수 있다. 개발된 방법은 제한 조건이 있는 최적설계 문제에 대하여 라그랑지안 범함수를 정의한다. 이는 경계의 변화를 통하여 허용 부피 제한조건을 만족시키면서 컴플라이언스를 최소화한다. 최적설계 과정 동안 라그랑지안 범함수의 최적화조건을 만족시킴으로써 해밀턴-자코비 방정식을 풀기 위한 속도장을 얻는다. 기존의 형상 최적설계 기법에 비하여, 본 방법론은 위상과 형상의 변화를 쉽게 얻어낼 수 있다.
Using the level set and the meshfree methods, we develop a topological shape optimization method applied to linear elasticity problems. Design gradients are computed using an efficient adjoint design sensitivity analysis(DSA) method. The boundaries are represented by an implicit moving boundary(IMB)...
Using the level set and the meshfree methods, we develop a topological shape optimization method applied to linear elasticity problems. Design gradients are computed using an efficient adjoint design sensitivity analysis(DSA) method. The boundaries are represented by an implicit moving boundary(IMB) embedded in the level set function obtainable from the "Hamilton-Jacobi type" equation with the "Up-wind scheme". Then, using the implicit function, explicit boundaries are generated to obtain the response and sensitivity of the structures. Global nodal shape function derived on a basis of the reproducing kernel(RK) method is employed to discretize the displacement field in the governing continuum equation. Thus, the material points can be located everywhere in the continuum domain, which enables to generate the explicit boundaries and leads to a precise design result. The developed method defines a Lagrangian functional for the constrained optimization. It minimizes the compliance, satisfying the constraint of allowable volume through the variations of boundary. During the optimization, the velocity to integrate the Hamilton-Jacobi equation is obtained from the optimality condition for the Lagrangian functional. Compared with the conventional shape optimization method, the developed one can easily represent the topological shape variations.
Using the level set and the meshfree methods, we develop a topological shape optimization method applied to linear elasticity problems. Design gradients are computed using an efficient adjoint design sensitivity analysis(DSA) method. The boundaries are represented by an implicit moving boundary(IMB) embedded in the level set function obtainable from the "Hamilton-Jacobi type" equation with the "Up-wind scheme". Then, using the implicit function, explicit boundaries are generated to obtain the response and sensitivity of the structures. Global nodal shape function derived on a basis of the reproducing kernel(RK) method is employed to discretize the displacement field in the governing continuum equation. Thus, the material points can be located everywhere in the continuum domain, which enables to generate the explicit boundaries and leads to a precise design result. The developed method defines a Lagrangian functional for the constrained optimization. It minimizes the compliance, satisfying the constraint of allowable volume through the variations of boundary. During the optimization, the velocity to integrate the Hamilton-Jacobi equation is obtained from the optimality condition for the Lagrangian functional. Compared with the conventional shape optimization method, the developed one can easily represent the topological shape variations.
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문제 정의
본 논문에서 형상 최적설계의 목적은 하중을 받는 구조물의 컴플라이언스를 최소화하는 형상을 찾는 것이다.
가설 설정
, 2012). 구조 경계를 레벨셋 방법을 이용하여 표현하였으며, 해석영역 내에서 물질은 균질하다고 가정하였고, 최적화 조건을 만족시키기 위하여 영역 내 물질의 분포가 아닌 경계가 변화하게 된다.
제안 방법
레벨셋 방법과 무요소법을 활용한 선형탄성 구조물의 형상 최적설계 기법을 개발하였다. 구조물의 경계를 암시적으로 표현하기 위한 레벨셋 방법론을 활용하여 레벨셋 기반 변분 방정식을 구성하였으며 재생 커널 방법을 이용하여 연속체 변분 방정식의 해를 구하였다. 암시적으로 움직이는 경계가 사용되었기 때문에 형상의 변화를 표현하기가 용이하며 무요소법에서의 점들은 최적설계 과정 동안 정확한 응답이 필요한 지점에 임의로 더해지거나 제거될 수 있다.
Setian(2000)은 경계의 해상도에 관한 연구를 수행하였으며 요소가 없는 복잡한 경계를 갖는 선형 탄성-정적 문제(Linear elasto-static problem)을 풀기 위하여 명시적 경계 함유방법(Explicit immersed boundary)을 도입하였다. 또한, 이 논문에서는 물질의 제거와 추가에 대한 기법이 사용되었다. 제거율은 새로운 홀 주변의 응력 분포와 경계 운동의 속도를 결정한다.
레벨셋 방법과 무요소법을 활용한 선형탄성 구조물의 형상 최적설계 기법을 개발하였다. 구조물의 경계를 암시적으로 표현하기 위한 레벨셋 방법론을 활용하여 레벨셋 기반 변분 방정식을 구성하였으며 재생 커널 방법을 이용하여 연속체 변분 방정식의 해를 구하였다.
대상 데이터
3이다. 모델의 크기는 길이가 1.8m이고, 넓이가 0.6m이며 두께는 0.01m이다. 유한요소 모델은 3,196개의 요소와 3,325개의 절점으로 이루어져 있다.
이론/모형
레벨셋 함수를 매개변수 τ에 대하여 전미분(Material derivative)을 취하면 해밀턴-자코비 형태의 방정식(Hamilton-Jacobi type equation)을 얻게 된다.
선형 및 비선형 해석분야에서 다양한 위상 최적설계 기법이 개발되어 고체역학, 열전도문제, 고유치문제, 음향문제 등에 널리 사용되어 왔다. 본 연구에서는 연속체 변분방정식(Continuum variational equation)을 풀기 위하여 무요소 기법(Meshfree methods; Lancaster et al., 1981; Belytschko et al., 1996) 중의 하나인 재생 커널 기법(RK; Reproducing kernel method)을 사용하였다. RK 기법(Chen et al.
또한 무요소법을 사용하였기 때문에 최적설계 과정 동안의 형상변화로 인한 재 매개화가 필요하지 않다. 설계변수가 많은 위상 최적설계 기법에서의 설계민감도는 연속체 기반의 애드조인트 기법을 이용하여 효율적으로 계산하였다. 최적화 과정에서 해밀턴-자코비 방정식을 풀기 위한 설계 속도장은 라그랑지 안의 쿤-터커 최적설계 조건을 통해서 얻을 수 있다.
(x)과 식 (31)의 초기 조건을 활용하여 1차 미분 방정식을 풀면 레벨셋 함수 Φ(x)를 변경할 수 있다. 수치적 안정성을 위하여 다음의 업-윈드 기법(Up-wind scheme)을 사용하였다.
성능/효과
최적화 과정에서 해밀턴-자코비 방정식을 풀기 위한 설계 속도장은 라그랑지 안의 쿤-터커 최적설계 조건을 통해서 얻을 수 있다. 수치적 예제를 통하여 개발된 방법론이 정확한 최적설계 결과를 얻을 수 있음을 확인하였다. 또한 본 방법론은 최적화 과정에서 새로운 구멍을 생성할 수 없기 때문에 충분한 숫자의 초기 구멍을 사용하는 것이 중요하다.
후속연구
따라서 허용 재료량의 제한조건을 만족시키면서 컴플라이언스를 감소시키는 방향으로의 최적설계가 보장될 수 있다.
최적화 과정 동안에 생성되는 함수 Φ(x)의 급수는 위상 최적화 문제의 감소하는 급수를 나타낸다. 본 방법론은 위상변화를 표현할 수 없을 뿐 아니라 국부 최소값으로 부드럽게 수렴하기 때문에 초기 위상에 의존적이라는 한계점을 가지고 있다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
위상 최적설계 기법이란 무엇인가?
위상 최적설계(Topology Optimization) 기법은 설계자가 주어진 재료를 이용하여 최적의 부재 배치를 찾을 수 있는 방법론이다. 선형 및 비선형 해석분야에서 다양한 위상 최적설계 기법이 개발되어 고체역학, 열전도문제, 고유치문제, 음향문제 등에 널리 사용되어 왔다.
위상 최적설계 기법은 어떤 분야에서 사용되고 있는가?
위상 최적설계(Topology Optimization) 기법은 설계자가 주어진 재료를 이용하여 최적의 부재 배치를 찾을 수 있는 방법론이다. 선형 및 비선형 해석분야에서 다양한 위상 최적설계 기법이 개발되어 고체역학, 열전도문제, 고유치문제, 음향문제 등에 널리 사용되어 왔다. 본 연구에서는 연속체 변분방정식(Continuum variational equation)을 풀기 위하여 무요소 기법(Meshfree methods; Lancaster et al.
성능함수의 설계민감도를 구할 효율적인 방법으로 애드조인트 변수법이 알려진 이유는 무엇인가?
위상 최적설계 기법은 많은 수의 설계변수를 동반하기 때문에 매우 효율적인 방법으로 성능함수의 설계민감도를 구해야 한다. 애드조인트 변수법(AVM)이 설계변수가 많고 성능함수의 수가 적은 최적설계 문제에 있어 효율적인 방법임이 알려져 있다. 이는 애드조인트 변수법(Haug et al., 1986)에서 설계민감도를 구할 때 선택적인 방법을 취하기 때문인 것으로 파악된다.
참고문헌 (9)
Allaire, G., Jouve, F., Toader, A. (2002) A Level-set Method for Shape Optimization, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 334, pp.1125-1130.
Belytschko, T., Krogauz, Y., Organ, D., Fleming, M., Krysl, P. (1996) Meshless Methods: An Overview and Recent Developments, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 139, pp.3-47.
Haug, E.J., Choi, K.K., Komkov, V. (1986) Design Sensitivity Analysis of Structural Systems, Academic Press, New York.
Kim, M.-G., Hashimoto, H., Abe, K., Cho, S. (2012) Level Set Based Topological Shape Optimization of Phononic Crystals for Sound Barriers, Computational Structural Engineering Institute of Korea, 25(6), pp.549-558.
Osher, S., Sethian, J.A. (1988) Front Propagating with Curvature Dependent Speed: Algorithms Based on Hamilton-Jacobi Formulations, Journal of Computational Physics, 79, pp.12-49.
Sethian, J.A., Wiegmann, A. (2000) Structural Boundary Design via Level Set and Immersed Interface Methods, Journal of Computational Physics, 163, pp.489-528.
Wang, M.Y., Wang, X., Guo, D. (2003) A Level Set Method for Structural Topology Optimization, Computational Methods in Applied Mechanics and Engineering, 192, pp.227-246.
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