[논문]위상민감도를 이용한 선형구조물의 레벨셋 기반 형상 최적설계

윤민호; 하승현; 김민근; 조선호

doi:10.7734/coseik.2014.27.1.9

초록
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레벨셋 기법과 위상민감도를 이용하여 선형 탄성 구조물에 대하여, 초기 설계형상에 의존성이 없는 위상 및 형상 최적설계 기법을 개발하였다. 레벨셋 기법에서는 복잡한 위상 형상변화를 쉽게 다루기 위해 초기 영역은 고정한 채 레벨셋 함수로 표현되는 암시적 이동경계로 경계를 표현한다. 해밀턴-자코비(H-J) 방정식과 수치적으로 강건한 기법인 'up-wind scheme'은 컴플라이언스 목적함수를 최소화시키고 허용체적 제약조건을 만족시키면서, 초기 암시적 경계를 법선 속도장에 따라 최적의 형상으로 이끌어 낸다. 점근적인 정규화 개념에 근거하여, 구멍의 반지름을 0으로 접근시켜 형상 미분의 극한을 취한 위상민감도를 고려하였다. 최적조건으로부터 유도된 라그란지안의 감소 방향을 이용하여 H-J 방정식을 갱신하기 위한 속도장을 결정하였다. 개발한 방법에서는 위상민감도로부터 얻어지는 지표를 이용하여 구멍을 언제든지 어디에서나 생성가능하기 때문에 초기 구멍이 최적 형상을 얻기 위해 요구되지 않는다는 사실을 확인하였다. 또한 효율적인 최적화 과정을 위해서는 구멍 생성을 위한 조정변수의 적절한 선택이 중요함을 확인하였다.

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Using a level set method and topological derivatives, a topological shape optimization method that is independent of an initial design is developed for linearly elastic structures. In the level set method, the initial domain is kept fixed and its boundary is represented by an implicit moving boundar...

Using a level set method and topological derivatives, a topological shape optimization method that is independent of an initial design is developed for linearly elastic structures. In the level set method, the initial domain is kept fixed and its boundary is represented by an implicit moving boundary embedded in the level set function, which facilitates to handle complicated topological shape changes. The "Hamilton-Jacobi(H-J)" equation and computationally robust numerical technique of "up-wind scheme" lead the initial implicit boundary to an optimal one according to the normal velocity field while minimizing the objective function of compliance and satisfying the constraint of allowable volume. Based on the asymptotic regularization concept, the topological derivative is considered as the limit of shape derivative as the radius of hole approaches to zero. The required velocity field to update the H-J equation is determined from the descent direction of Lagrangian derived from optimality conditions. It turns out that the initial holes are not required to get the optimal result since the developed method can create holes whenever and wherever necessary using indicators obtained from the topological derivatives. It is demonstrated that the proper choice of control parameters for nucleation is crucial for efficient optimization process.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

Sokolowski 등(1999)은 미소 구멍이 생성되었을 때의 임의의 형상 범함수에 대한 위상 미분을 정의하였으며, Céa 등(2000)은 형상 및 위상 구배를 이용하여 최적화 조건을 유도하였고, Novotny 등(2000)은 유한한 크기의 구멍을 점근적으로 0으로 접근시켜 위상 미분을 정의하였다. 따라서 본 논문에서는 이러한 위상 미분을 이용하여 초기 형상의 내부 구멍 유무와 관계없이 최적화 중간에서 구멍 생성이 가능한 최적화 연구를 진행하였으며 이에 대한 적절한 해를 구하였다.
영역 Ω에서 탄성 문제에 대한 평형식을 고려해 보자.
위상 및 형상 최적설계의 목적은 주어진 재료 체적량 요구사항을 만족시키면서 구조물의 컴플라이언스를 최소화하는 최적의 레이아웃을 얻는 것이다. 수치 모델은 양 끝단이 단순지지된 평판 모델이며 가로, 세로 1,800mm×600mm, 두께는 10mm, 영률은 2GPa, 포아송 비는 0.
위상 및 형상 최적설계의 목적은 주어진 하중에서 시스템의 컴플라이언스를 최소화하는 최적의 레이아웃(Layout)을 찾는 것이다. 최적설계 이전의 영역과 경계를 생각할 때 위 상 및 형상 최적설계 문제는 다음과 같이 표현된다.

제안 방법

레벨셋 기법과 위상민감도를 이용하여 선형 구조물에 대한 위상 및 형상 최적설계 기법을 개발하였다. 초기 영역에서 암시적 함수에 의해 이동 경계를 표현하였기 때문에 위상과 형상의 변화를 표현하기에 용이하였으며 뿐만 아니라 최적화 과정에서 발생되는 급격한 형상 변화 후에도 재 매개화할 필요성이 없었다.
이동경계의 암시적 표현을 위해서 레벨셋 기법을 이용하며, 레벨셋 모델은 3차원 공간에 있는 스칼라 함수 φ: Rd→R의 등위면으로서 0 레벨에서 암시적 형태로 경계를 묘사한다.
필수적인 설계민감도는 애조인 설계민감도 해석을 통하여 효율적으로 계산하였다. 점근적인 정규화 개념에 근거하여 구멍의 반지름을 0으로 접근시켜 형상 미분의 극한값으로 하는 위상민감도를 개발하였다. 최적화 과정에서 해밀턴 자코비 방정식에 쓰이는 설계속도장은 라그란지안 함수의 쿤-터커 최적조건에 의해 구하였다.
초기 영역에서 암시적 함수에 의해 이동 경계를 표현하였기 때문에 위상과 형상의 변화를 표현하기에 용이하였으며 뿐만 아니라 최적화 과정에서 발생되는 급격한 형상 변화 후에도 재 매개화할 필요성이 없었다. 필수적인 설계민감도는 애조인 설계민감도 해석을 통하여 효율적으로 계산하였다. 점근적인 정규화 개념에 근거하여 구멍의 반지름을 0으로 접근시켜 형상 미분의 극한값으로 하는 위상민감도를 개발하였다.

대상 데이터

구조물은 Px = Py = 2.43×107 N의 면내 분포하중를 받고 있으며, Fig. 3(B)는 유한차분 민감도를 얻기 위한 1/4 유공판 모델을 보여주고 있다.

이론/모형

점근적인 정규화 개념에 근거하여 구멍의 반지름을 0으로 접근시켜 형상 미분의 극한값으로 하는 위상민감도를 개발하였다. 최적화 과정에서 해밀턴 자코비 방정식에 쓰이는 설계속도장은 라그란지안 함수의 쿤-터커 최적조건에 의해 구하였다. 개발된 위상 설계 민감도 해석 기법의 수치적 검증은 해석적 민감도와 유한 차분 민감도와의 비교를 통해 수행하였으며 높은 일치성을 확인할 수 있었다.

성능/효과

최적화 과정에서 해밀턴 자코비 방정식에 쓰이는 설계속도장은 라그란지안 함수의 쿤-터커 최적조건에 의해 구하였다. 개발된 위상 설계 민감도 해석 기법의 수치적 검증은 해석적 민감도와 유한 차분 민감도와의 비교를 통해 수행하였으며 높은 일치성을 확인할 수 있었다. 위상민감도는 설계변수에 대해 매우 비선형적인 특징을 가지고 있으며, 이러한 위상민감도를 통해 최적 설계 도중에 구멍을 생성할 수 있으므로 설계영역에서 초기 구멍이 필수적이지 않음을 확인할 수 있었다.
개발된 위상 설계 민감도 해석 기법의 수치적 검증은 해석적 민감도와 유한 차분 민감도와의 비교를 통해 수행하였으며 높은 일치성을 확인할 수 있었다. 위상민감도는 설계변수에 대해 매우 비선형적인 특징을 가지고 있으며, 이러한 위상민감도를 통해 최적 설계 도중에 구멍을 생성할 수 있으므로 설계영역에서 초기 구멍이 필수적이지 않음을 확인할 수 있었다. 또한 위상 도 함수를 도입한 최적화 과정의 효율성을 반복설계 횟수 n_opt를 통해 검증할 수 있었다.
일단 위상변화가 생기게 되면, 즉 구멍이 생성이 되면 연속적인 형상 변화로 인하여 다른 설계 변화가 일어나게 된다. 이에 따라 위상민감도를 이용한 레벨셋 기반 최적화 기법(Case B)이 기존의 레벨셋 기반 최적화 기법(Case A)보다 더욱 빠르게 수렴된 결과를 도출하였다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	up-wind scheme은 무엇을 이끌어내는가?	레벨셋 기법에서는 복잡한 위상 형상변화를 쉽게 다루기 위해 초기 영역은 고정한 채 레벨셋 함수로 표현되는 암시적 이동경계로 경계를 표현한다. 해밀턴-자코비(H-J) 방정식과 수치적으로 강건한 기법인 'up-wind scheme'은 컴플라이언스 목적함수를 최소화시키고 허용체적 제약조건을 만족시키면서, 초기 암시적 경계를 법선 속도장에 따라 최적의 형상으로 이끌어 낸다. 점근적인 정규화 개념에 근거하여, 구멍의 반지름을 0으로 접근시켜 형상 미분의 극한을 취한 위상민감도를 고려하였다.
	레벨셋 방법의 장점은?	형상 최적설계에서 레벨셋(Level set) 방법은 암시적 이 동경계(Implicit moving boundary)를 변화시켜서 고정된 격자에 복잡한 형상을 표현할 수 있는 장점을 가지고 있다. Osher 등(1988)은 평균 곡률에 근거한 자유 경계면의 움직임 방법을 고안하였다.
	레벨셋 기반 형상 최적설계에서는 최적화 과정에서의 구멍 생성이 용이하지 않다는 특징을 해결하기 위한 연구는?	그러나 레벨셋 기반 형상 최적설계에서는 최적화 과정에서의 구멍 생성이 용이하지 않다는 특징이 있다. 이를 해결하기 위한 다양한 선행 연구들이 진행된 바 있다. Sokolowski 등(1999)은 미소 구멍이 생성되었을 때의 임의의 형상 범함수에 대한 위상 미분을 정의하였으며, Céa 등(2000)은 형상 및 위상 구배를 이용하여 최적화 조건을 유도하였고, Novotny 등(2000)은 유한한 크기의 구멍을 점근적으로 0으로 접근시켜 위상 미분을 정의하였다. 따라서 본 논문에서는 이러한 위상 미분을 이용하여 초기 형 상의 내부 구멍 유무와 관계없이 최적화 중간에서 구멍 생성 이 가능한 최적화 연구를 진행하였으며 이에 대한 적절한 해 를 구하였다.

참고문헌 (12)

Ahn, S.H., Cho, S. (2010) Level Set Based Topological Shape Optimization of Heat Conduction Problems with Design-dependent Convection Boundary, Numerical Heat Transfer Part B: Fundamentals, 58(5), pp.304-322.

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Allaire, G., Jouve, F., Toader, A. (2004) Structural Optimization using Sensitivity Analysis and a Level-set Method, Journal of Computational Physics, 194, pp.363-393.

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Cea, J., Garreau, S., Guillaume, P., Masmoudi, M. (2000) The Shape and Topological Optimization Connection, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 188, pp.713-726.

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Cho, S., Ha, S.H., Park, C.Y. (2006) Topological Shape Optimization of Power Flow Problems at High Frequencies using Level Set Approach, International Journal of Solids and Structures, 43, pp.172-192.

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Ha, S.H., Cho, S. (2005) Topological Shape Optimization of Heat Conduction Problems using Level Set Method, Numerical Heat Transfer Part B: Fundamentals, 48, pp.67-88.

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Ha, S.H., Cho, S. (2008) Level Set Based Topological Shape Optimization of Geometrically Nonlienar Structures using Unstructured Mesh, Computer and Structures, 86, pp.1447-1455.

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Hashimoto H., Kim, M.-G., Abe K.,, Cho, S. (2013) A Level Set Based Shape Optimization Method for Periodic Sound Barriers Composed of Elastic Scatterers, Journal of Sound and Vibration, 332, pp.5283-5301.

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Kim, M.-G., Ha, S.H., Cho, S. (2012) Level Set Based Topological Shape Optimization of Hyper-Elastic Nonlinear Structures using Topological Derivatives, Computational Structural Engineering Institute of Korea, 25(6), pp.559-567.

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Kwak, J.H., Cho, S. (2005) Topological Shape Optimization for Geometrically Nonlinear Structures using Level Set Method, Computers and Structures, 83, pp.2257-2268.

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Novotny, A.A., Feijoo, R.A., Tarroco, E., Padra. C. (2000) Topological Sensitivity Analysis, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 188, pp.713-726.

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Osher, S., Sethian, J.A. (1988) Front Propagating with Curvature Dependent Speed: Algorithms based on Hamilton-Jacobi Formulations, Journal of Computational Physics, 79, pp.12-49.

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Sokolowski, J., Zochowski, A. (1999) On Topological Derivative in Shape Optimization, SIAM Journal of Control and Optimization, 37, pp.1251-1272.

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