우리나라 초등 수학 교과서와 미국 EM 교과서 비교 - 도형의 합동을 중심으로 - A Comparison of the Textbooks for Elementary Mathematics Between Korea and U.S.A about Congruence of Figures원문보기
본 연구에서는 2007 개정 교육과정에 따른 우리나라 초등학교 수학 교과서와 EM 교육과정에 따른 미국의 초등학교 수학 교과서를 합동 학습 내용에 한정하여 비교하였다. 그 결과로 우리나라 교과서의 도형 및 합동 단원 개발과 교수 학습 방법에 도움을 줄 수 있는 시사점은 다음과 같다. 첫째, 합동을 정의할 때 다각형을 구성하는 선분, 각과 같은 기본도형의 합동을 제시하거나 다각형으로 합동을 정의한 후 선분, 각 등의 합동과 관련한 활동 등의 내용이 필요해 보인다. 둘째, 학생들에게 컴퍼스가 길이를 옮길 때에도 사용된다는 것을 알게 할 필요가 있다. 셋째, 합동의 활용으로 미국 EM 교과서에서 제시한 테셀레이션은 우리나라 교과서 개발에 참고해 봄 직하다.
본 연구에서는 2007 개정 교육과정에 따른 우리나라 초등학교 수학 교과서와 EM 교육과정에 따른 미국의 초등학교 수학 교과서를 합동 학습 내용에 한정하여 비교하였다. 그 결과로 우리나라 교과서의 도형 및 합동 단원 개발과 교수 학습 방법에 도움을 줄 수 있는 시사점은 다음과 같다. 첫째, 합동을 정의할 때 다각형을 구성하는 선분, 각과 같은 기본도형의 합동을 제시하거나 다각형으로 합동을 정의한 후 선분, 각 등의 합동과 관련한 활동 등의 내용이 필요해 보인다. 둘째, 학생들에게 컴퍼스가 길이를 옮길 때에도 사용된다는 것을 알게 할 필요가 있다. 셋째, 합동의 활용으로 미국 EM 교과서에서 제시한 테셀레이션은 우리나라 교과서 개발에 참고해 봄 직하다.
In this study, an implication has been drawn for the textbook development and teaching and learning process as a congruence of a figure is compared and analyzed between Korean elementary mathematics textbooks and American elementary math textbooks. Based on the result of comparison and analysis in c...
In this study, an implication has been drawn for the textbook development and teaching and learning process as a congruence of a figure is compared and analyzed between Korean elementary mathematics textbooks and American elementary math textbooks. Based on the result of comparison and analysis in congruence contents between Korean and EM textbooks, some applications for the development of figure and congruence chapters in Korean textbooks are as below. First of all, in term of congruence, activities related to congruence need to be introduced after the concept of congruence is defined either with illustrations of fundamental figures such as a segment and angle or with examples of polygon. Second, it is required to assist students to realize that compasses can be used to copy length. In Korean textbooks, compasses are being introduced as a tool to draw circles, which causes children to have difficulty in drawing triangles. Last, for the implication of congruence, tessellation suggested in American Everyday Mathematics textbooks is worth being applied to the development of Korean textbooks.
In this study, an implication has been drawn for the textbook development and teaching and learning process as a congruence of a figure is compared and analyzed between Korean elementary mathematics textbooks and American elementary math textbooks. Based on the result of comparison and analysis in congruence contents between Korean and EM textbooks, some applications for the development of figure and congruence chapters in Korean textbooks are as below. First of all, in term of congruence, activities related to congruence need to be introduced after the concept of congruence is defined either with illustrations of fundamental figures such as a segment and angle or with examples of polygon. Second, it is required to assist students to realize that compasses can be used to copy length. In Korean textbooks, compasses are being introduced as a tool to draw circles, which causes children to have difficulty in drawing triangles. Last, for the implication of congruence, tessellation suggested in American Everyday Mathematics textbooks is worth being applied to the development of Korean textbooks.
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문제 정의
본 연구의 목적은 우리나라와 미국의 초등학교 수학 교과서에 나타난 도형의 합동을 비교·분석하여 교과서 개발 및 교수·학습 방법에의 시사점을 도출하는 것이다.
우리나라 초등학교 수학과 교육과정과 교과서의 내용에 관한 분석 연구나 지도 방법에 대한 연구에서도 초등학교 5학년의 합동 학습 내용에 초점을 맞춘 연구를 찾기는 쉽지 않다. 이에 본 연구에서는 우리나라의 초등학교 5학년에서 다루는 합동 학습 내용을 분석하고, 그 학습 내용을 미국의 교과서에서 다루는 합동 학습 내용과 비교한다. 이러한 비교를 통해 우리나라 교과서에서 다루는 합동 지도 방법의 적절성을 검토할 수 있다.
우리나라 수학 교과서는 차시 전개에 앞서 수학 교과서의 단원 표지 배경으로 퍼즐 맞추는 모습을 실어 손에 들고 있는 것과 맞추어야 할 퍼즐의 모양과 크기가 같음을 발견하게 하여 합동을 생각해 보는 상황을 의도하였다. 이후 생각열기에서 다양한 다각형 중 모양과 크기가 같은 도형을 알 수 있는 방법을 생각해보며 모양과 크기가 같은 두 도형이 있음을 짐작해 보게 한다. ‘왜 모양과 크기가 같다고 생각하는지 말해보시오, 생각을 확인할 수 있는 방법을 이야기해 보시오.
제안 방법
먼저 지도시기와 지도내용의 적절성을 판단하고 단원 및 차시 구성에의 시사점을 찾기 위해 우리나라와 미국에서는 도형의 합동에 대해 어느 시기에, 어떤 내용을 가르치는지 단원 및 차시를 비교·분석하였다. 두 번째로 합동 학습 내용과 방법의 자세한 비교를 위해 각 교과서에 나타나 있는 합동과 관련된 내용 요소를 선정하여 요소별로 비교하였다. 합동과 관련된 내용 요소는 ‘도형의 정의’, ‘도구의 사용’, ‘합동의 정의 및 성질’, ‘합동인 도형의 작도’, ‘합동의 활용’으로 구분하였다.
또, 합동이 다각형뿐만 아니라 선분, 직선 등의 도형에도 적용되는 개념이기 때문에 두 교과서가 이러한 도형을 어떻게 정의하고 있는지, 작도에 필요한 도구에 대해 어떻게 다루고 있는지에 대한 비교·분석도 필요하다. 따라서 본 연구는 도형의 정의, 도구의 사용, 합동의 정의 및 성질, 합동인 도형의 작도, 합동의 활용의 5가지 내용 요소를 선정하여 비교하였다.
우리나라와 미국 EM의 다양한 교과서 중 위의 조건에 충족하는 교과서는 우리나라 교과서의 경우 ‘수학’(이하, 수학책)이며, 미국 EM 교과서의 경우 정규 수업 시간에 주로 사용하는 교과서는 Student Math Journal(이하, SMJ)과 Student Reference Book(이하, SRB)이고, 차시 전개의 흐름이 잘 드러난 교과서는 Teacher's Lesson Guide(이하, TLG)이다. 따라서 학생들이 수업시간에 사용하는 교과서와 교사가 지도에 참고하는 교과서의 측면에서 우리나라와 미국의 각 교과서를 병렬비교가 가능하도록 우리나라 교과서는 수학책, 수학익힘책 그리고 교사용 지도서를, 미국 EM 교과서는 SMJ와 SRB, 그리고 TLG를 분석하였다.
합동과 관련된 내용 요소는 ‘도형의 정의’, ‘도구의 사용’, ‘합동의 정의 및 성질’, ‘합동인 도형의 작도’, ‘합동의 활용’으로 구분하였다. 마지막으로 합동과 관련한 수업의 전체적인 흐름 분석을 위해 내용 전개 방법을 비교하였다.
먼저 지도시기와 지도내용의 적절성을 판단하고 단원 및 차시 구성에의 시사점을 찾기 위해 우리나라와 미국에서는 도형의 합동에 대해 어느 시기에, 어떤 내용을 가르치는지 단원 및 차시를 비교·분석하였다.
이에 따라본 연구에 적용할 교과서 비교·분석틀을 마련한 후, 우리나라와 미국 EM 교과서 합동 단원의 세부 내용을 비교·분석하였다.
우리나라와 달리 삼각형을 복제하는 방법이 교과서에 제시되지 않고 지도서에서 ‘일반적인 작도 방법’으로 우리나라 교과서에서 제시한 세 가지 방법에 대해 교사들에게 안내하고 있다. 이후 세 선분의 길이를 측정하고 각도기를 제외하여 삼각형을 복제하는 방법을 생각해보게 하여 우리나라의 세 선분의 길이가 주어진 삼각형과 합동인 삼각형을 그리는 방법에 해당하는 활동을 하게 된다. 마지막으로, 사용하는 도구를 컴퍼스와 직선자로 한정하여 길이가 주어지지 않은 삼각형을 복제해 본 후 짝이 그린 삼각형을 복제하는 짝 활동을 하면서 차시가 종료된다.
미국 EM 교과서는 4학년에서 선분을 복제하는 방법을 익히면서 복제한 선분 CD는 선분 AB와 길이가 같고, 선분 CD와 선분 AB는 ‘합동’이라는 것을 제시한다. 이후 원에 내접하는 정육각형을 작도하고 이 정육각형을 모양이 같은 삼각형 6개로 나눈 후 각 삼각형의 변의 길이가 같음을 컴퍼스로 확인한다. 이 차시에서 학생들은 선분의 합동을 학습하고, 작도에서 컴퍼스와 직선자를 사용한다는 것, 직선자는 길이 측정의 용도가 아니라 직선을 그리는 용도인 것, 컴퍼스는 길이를 옮기는 데 이용한다는 것을 알게 된다.
이후 테셀레이션을 이루려면 다각형 내각의 합이 360°가 되어야 함을 이해하고 사각형을 분류한 내용을 보고 사각형들의 포함관계를 서술해 볼 수 있게 하였다.
테셀레이션은 크기와 모양이 같은 도형으로 틈이나 포개짐 없이 평면을 완전히 덮는 것으로, 크기와 모양이 같은 도형을 사용하기 때문에 합동과 관련이 있는 소재라 할 수 있다. 학생들은 테셀레이션의 정의를 학습하고 합동인 정다각형으로 덮인 테셀레이션인 정다각형 테셀레이션(regular tessellation)을 직접 그려보며 테셀레이션을 이룰 수 있는 정다각형의 종류와 이유를 파악한다. 6학년에서는 테셀레이션의 난이도를 높여 두 개 이상의 합동인 정다각형으로 덮인 준정다각형 테셀레이션(semiregular tessellation)을 학습하고 예술 영역과 결합하여 나만의 테셀레이션을 꾸며볼 수 있도록 하고 있다.
합동과 관련된 내용 요소는 ‘도형의 정의’, ‘도구의 사용’, ‘합동의 정의 및 성질’, ‘합동인 도형의 작도’, ‘합동의 활용’으로 구분하였다.
이론/모형
본 연구에서는 우리나라와 미국의 합동 학습 내용의 비교·분석을 과 같은 비교·분석틀에 따라 진행하였다.
성능/효과
마지막으로, 사용하는 도구를 컴퍼스와 직선자로 한정하여 길이가 주어지지 않은 삼각형을 복제해 본 후 짝이 그린 삼각형을 복제하는 짝 활동을 하면서 차시가 종료된다. 7차시에서 다각형의 성질을 파악한 후 8차시에서 테셀레이션을 학습하면서 테셀레이션이 한 가지 이상의 합동인 도형으로 이루어졌다는 것, 정다각형 테셀레이션은 합동인 정다각형으로 이루어진다는 것을 파악한다. 이후 테셀레이션을 이루려면 다각형 내각의 합이 360°가 되어야 함을 이해하고 사각형을 분류한 내용을 보고 사각형들의 포함관계를 서술해 볼 수 있게 하였다.
넷째, 우리나라 교과서는 ‘다각형의 합동’의 측면에서 합동을 정의하고, ‘대응변의 길이가 같다, 대응각의 크기가 같다.
다섯째, 합동인 도형의 작도에서 우리나라 교과서에서는 변의 길이가 제시된 삼각형만을 작도하고 있는 반면, 미국 EM 교과서는 변의 길이가 제시되지 않는 삼각형을 먼저 작도하게 하고 있다. 변의 길이가 제시되지 않은 삼각형과 합동인 삼각형을 작도할 경우, 먼저 점을 찍고 컴퍼스로 길이를 옮겨 한 선분을 완성한 후, 각 끝점에서 나머지 두 변의 길이를 옮겼을 때 교차하는 점을 꼭짓점으로 각 끝점까지 곧게 이어 완성하는 단계를 거친다.
둘째, 우리나라 교과서는 선분과 직선의 정의에서 ‘도형’이라는 용어를 사용하지 않는 반면, 미국 EM 교과서는 점, 선분, 반직선, 직선, 각, 평행선 등에 대한 설명에‘figure’이라는 단어를 사용하였다.
셋째, 합동의 활용으로 미국 EM 교과서에서 제시한 테셀레이션은 우리나라 교과서 개발에 참고해 봄 직하다. 현재 우리나라 교육은 궁극적 목적이 통합된 전인격체적 성장이며, 학생들이 실생활에 부딪치는 여러 가지 문제들은 모든 교과와 상호적으로 관련되어 있다는 측면에서 교육과정을 재구성하여 운영하고 있다.
셋째, 합동인 도형의 작도에 사용하는 도구인 컴퍼스와 자의 용도에도 두 나라는 차이를 보였다. 우리나라 교과서에서는 눈금 있는 자를 사용하여 길이를 옮길 수 있도록 제시한 반면, 미국 EM 교과서는 눈금자와 직선자를 구분하여 작도에서는 직선자를 사용하도록 안내하고 있다.
여섯째, 합동의 활용으로는 우리나라 교과서에서는 직사각형 모양의 색종이를 접는 상황, 탱그램의 일곱 조각으로 합동인 도형을 만드는 상황을 제시하였고, 미국 EM 교과서는 ‘테셀레이션’을 제시한다는 차이점을 발견할 수 있었다.
일곱째, 합동 내용의 전개에서 우리나라 교과서는 수학적 의사소통능력 향상을 위한 활동이 많이 제시되고, 미국 EM 교과서는 선분의 합동과 컴퍼스, 직선자의 도구 사용에 대한 학습을 선행한 후 합동인 삼각형을 작도하도록 하고 있다는 특징을 발견할 수 있었다. 또, 우리나라 교과서는 합동인 삼각형을 그리는 방법으로 세 가지(세 변의 길이가 주어진 삼각형/두 변의 길이와 그 사이의 각의 크기가 주어진 삼각형/한 변의 길이와 양 끝 각의 크기가 주어진 삼각형)를 명시적으로 제시하고 있다.
후속연구
둘째, 학생들에게 컴퍼스가 길이를 옮길 때에도 사용된다는 것을 알게 할 필요가 있다. 우리나라 교과서는 3학년에서 원을 그리는 도구로 컴퍼스를 다룬 후, 컴퍼스에 대한 추가 학습 없이 5학년 합동 단원에서 길이를 옮기는 도구로 컴퍼스를 사용하게 된다.
도형의 합동도 이와 같은 이유에서 ‘다각형의 합동’으로 내용을 한정하여 제시된 것으로 보인다. 하지만 이로 인해 발생하는 교과서 상의 문제점과 학생들이 형성할 수 있는 잘못된 인식을 고려한다면 새 교과서는 이를 보완할 수 있는 방향으로 개발되어야 할 것이다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
도형의 합동을 우리나라 교과서에서는 어느 파트에서 집중적으로 다루고 있는가?
도형의 합동에 대해 우리나라 교과서는 5학년 1학기 5단원에서 집중적으로 다루고 있다. 단원의 내용을 살펴보면 다양한 다각형 중 모양과 크기가 같은 도형을 알 수 있는 방법을 생각해보며 주어진 도형에서 합동인 도형을 찾고 합동의 개념을 익힌다.
수학 교과서는 어떤 자료인가?
수학과 교육과정에는 학생들이 배워야 할 내용과 그것을 지도하기 위한 교수·학습 방법 등이 원론적으로 제시되어 있는 반면에, 수학 교과서에는 학습 내용과 그 학습 방법이 체계 적으로 제시되어 있다. 수학 교과서는 수학교육의 기본 방향과 이념을 실현하는 실질적인 도구로, 교육과정과 그것이 실제로 전개되는 교수·학습 과정을 연결하여 주는 학습 자료이며(박희자, 정은실, 2010), 수학교육의 실제를 객관적으로 보여주는 자료이다(박교식, 2012).
수학교육이 학습자로 하여금 효율적이고 효과적인 학습이 이루어 질 수 있도록 하기 위해 존재하는 것은 무엇인가?
학교에서 이루어지는 수학교육은 학습자로 하여금 효율적이고 효과적인 학습이 이루어 질 수 있도록 제공되어야 한다. 이를 위해 수학과 교육과정과 수학 교과서가 존재한다. 수학과 교육과정에는 학생들이 배워야 할 내용과 그것을 지도하기 위한 교수·학습 방법 등이 원론적으로 제시되어 있는 반면에, 수학 교과서에는 학습 내용과 그 학습 방법이 체계 적으로 제시되어 있다.
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