In almost all of the organizations, the cost for acquiring and maintaining the inventory takes a considerable portion of the management budget, and thus a certain constraint is set upon the budget itself. The previous studies on inventory control for each item that aimed to improve the fill rate, ba...
In almost all of the organizations, the cost for acquiring and maintaining the inventory takes a considerable portion of the management budget, and thus a certain constraint is set upon the budget itself. The previous studies on inventory control for each item that aimed to improve the fill rate, backorder, and the expenditure on inventory are fitting for the commercially-operated SCM, but show some discrepancies when they are applied to the spare parts for repairing disabled systems. Therefore, many studies on systematic approach concept considering spare parts of various kinds simultaneously have been conducted to achieve effective performance for the inventory control at a lower cost, and primarily, METRIC series models can be named. However, the past studies were limited when dealing with the probability distributions for representing the situation on demand and transportation of the parts, with the (S-1, S) inventory control policy, and so on. To address these shortcomings, the Continuous Time Markov Chain (CTMC) model, which considers the phase-type distributions and the (s, Q) inventory control policies to best describe the real-world situations inclusively, is presented in this study. Additionally, by considering the cost versus the system availability, the optimization of the inventory level, based on this model, is also covered.
In almost all of the organizations, the cost for acquiring and maintaining the inventory takes a considerable portion of the management budget, and thus a certain constraint is set upon the budget itself. The previous studies on inventory control for each item that aimed to improve the fill rate, backorder, and the expenditure on inventory are fitting for the commercially-operated SCM, but show some discrepancies when they are applied to the spare parts for repairing disabled systems. Therefore, many studies on systematic approach concept considering spare parts of various kinds simultaneously have been conducted to achieve effective performance for the inventory control at a lower cost, and primarily, METRIC series models can be named. However, the past studies were limited when dealing with the probability distributions for representing the situation on demand and transportation of the parts, with the (S-1, S) inventory control policy, and so on. To address these shortcomings, the Continuous Time Markov Chain (CTMC) model, which considers the phase-type distributions and the (s, Q) inventory control policies to best describe the real-world situations inclusively, is presented in this study. Additionally, by considering the cost versus the system availability, the optimization of the inventory level, based on this model, is also covered.
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문제 정의
하지만 기존의 연구들은 재고관리 정책과 부품의 고장발생, 재공급 환경에 대한 확률적 묘사에 있어 제한적이었다. 따라서 본 연구에서는 보다 현실적인 재고관리 환경을 묘사하기 위해 단계형 확률 분포를 고려하는 CTMC 기반의 확률모형을 제안 하였다. 단, METRIC 모형과 같이 다단계의 공급망이 아닌 시스템 운영/정비하는 사용자와 최인접한 공급원의 1계층 재고모형으로 고려하였다.
본 연구에서는 복수의 시스템을 운용하고 있는 상황 하에서 시스템의 가용도를 보장하기 위해 시스템 고장 발생에 대비한 수리 부품의 최적 재고 수준을 산정하는 모형을 제시하였다. 이러한 연구는 시스템적 접근법 개념의 재고관리를 바탕으로 하고 있으며, Sherbrooke[18]의 METRIC 모형을 시작으로 SCM의 효율화 또는 시스템 가용도 차원의 성과를 보장하기 위해 많은 연구가 수행되어 왔다.
가설 설정
이때, 1회 주문량(θi)는 경제적 주문량(EOQ, Economical Order Quantity), Lot Size 등 정책적으로 결정된 수량으로 가정하며, 1회 주문량(θ)은 단가가 6 이상인 부품은 1개로, 5 이하인 부품은 모두 5개로 지정하였다.
이에 따라 시스템적 접근법(System approach)의 개념에서 부품의 적정 재고수준을 결정하는 연구의 시작은 Sherbrooke[18]의 METRIC(Multi-Echelon Technique for Recoverable Item Control) 모형이다. METRIC 모형은 (S-1, S) 재고관리 정책이 적용되는 복구성 품목(Repairable item)을 대상으로 하고 있으며, 부품의 수요는 복합 포아송 확률분포를 따르고 폐품(Condemn)은 발생하지 않는 것으로 가정하였다. 이후 Muckstadt[17]는 METRIC 모형에서 부품의 계층을 고려한 MOD-METRIC 모형을 제안하였다.
① 부품별 고장은 상호 독립적으로 발생하며, 결함 부품을 교체하는 시간, 즉, 정비시간은 고려하지 않는다.
이때 기대 가동대수가 동일하므로 부품별 수요도 동일한 것으로 고려하였다. 실험은 기대 가동대수가 50대일 때, 시스템의 총 대수를 55대부터 5대씩 증가시켜 75대까지 운용 되고 있는 상황을 가정하여 수행하였다. 실험결과는 <표 4>와 같았으며, 시스템의 총 대수를 증가시켜 목표 가용도를 낮출 때, 재고수준이 현격히 감소되는 것을 알 수 있다.
제안 방법
다음은 시스템 50대를 운용하고 있는 상황에서 목표하는 시스템의 기대 가용도에 따른 최적 재고 수준에 대해 수치실험을 수행하였다. 시스템을 구성하는 수리 부품은 <표 2>의 24종 부품을 모두 적용하였으며, 기대 가용도 목표를 10%부터 98% 까지 1%씩 증가시키며 실험을 수행하였다.
따라서 본 연구에서는 보다 현실적인 재고관리 환경을 묘사하기 위해 단계형 확률 분포를 고려하는 CTMC 기반의 확률모형을 제안 하였다. 단, METRIC 모형과 같이 다단계의 공급망이 아닌 시스템 운영/정비하는 사용자와 최인접한 공급원의 1계층 재고모형으로 고려하였다. 또한, 이러한 재고관리 모형을 바탕으로 시스템 가용도와 재고수준 비용을 최적화하는 문제를 다루었으며, 24종의 수리 부품에 대한 BOM을 임의적으로 생성하여 수치실험을 수행하였다.
따라서 본 연구에서는 시스템을 구성하는 각 부품의 재고관리 상황을 보다 현실적으로 묘사하기 위해 수요발생 및 재고보충에 대한 불확실적 상황을 단계형 분포(PH-type distribution)로 고려하고, 재고관리 정책은 (S-1, S)을 포함하여 보다 일반화 된(s, Q) 정책을 묘사하는 연속시간 마코프 체인(CTMC, Continuous Time Markov Chain) 기반의 재고관리 확률모형을 제시하였다. 단, 공급망은 시스템을 운영/정비하는 사용자와 최인접 공급원을 고려하여 1계층(One-echelon) 공급망을 대상으로 하였다.
하지만 해당 부품의 재고를 보유하고 있지 않다면 부품이 공급될 때까지 시스템의 정비는 이루어질 수 없다. 따라서 본 장에서는 제 2장에서 도출된 부품별 재고량 확률분포를 이용하여 시스템의 가용도와 재고 수준의 총 비용을 고려하여 부품별 재고수준을 최적화한다. 즉, 목표하는 시스템의 가용도를 보장하기 위한 최소 비용의 부품별 재고수준, 또는 비용의 제약 하에서 시스템의 가용도를 최대화하기 위한 부품별 재고수준을 결정한다.
또한, 군의 무기체계 또는 제품을 생산하는 공장 등 시스템의 목적에 따라 특정 대수가 가동상태를 유지해야 하는 시스템 운용조건이 있을 수 있다. 따라서 총 시스템의 대수에 따라 목표 가용도(ART)를 달리하면서, 특정 대수가 가동상태를 유지해야하는 경우에 대한 실험을 수행하였다. 이때 기대 가동대수가 동일하므로 부품별 수요도 동일한 것으로 고려하였다.
단, METRIC 모형과 같이 다단계의 공급망이 아닌 시스템 운영/정비하는 사용자와 최인접한 공급원의 1계층 재고모형으로 고려하였다. 또한, 이러한 재고관리 모형을 바탕으로 시스템 가용도와 재고수준 비용을 최적화하는 문제를 다루었으며, 24종의 수리 부품에 대한 BOM을 임의적으로 생성하여 수치실험을 수행하였다. 수치실험에서는 미국 LMI에서 개발한 AAM, ASM 모형의 시스템 기대 가용도 산출 방법의 오차에 대해 수치적 검증 결과를 제시하였다.
먼저 AAM, ASM에서 부품별 기대 충족률의 곱으로 시스템의 기대 가용도를 산정하는 방법의 오류에 대해 살펴본다. 물론 이론적으로 무리가 있는 가정임을 알 수 있으나, 독자들의 이해를 돕기 위해 수치적 검증을 수행하였다.
먼저 AAM, ASM에서 부품별 기대 충족률의 곱으로 시스템의 기대 가용도를 산정하는 방법의 오류에 대해 살펴본다. 물론 이론적으로 무리가 있는 가정임을 알 수 있으나, 독자들의 이해를 돕기 위해 수치적 검증을 수행하였다. 수치적 검증을 위해 시스템 10대가 운용되고 있는 상황에서 수리 부품은 <표 2>의 1번과 2번 부품만을 적용하였다.
본 장에서는 부품별 재고관리 상황을 묘사하는 연속시간 마코프 체인(CTMC) 모형을 제시한다. 부품별 재고관리 정책은 재주문점(s)에 도달하면 경제적 주문량(EOQ, Economical Order Quantity) 또는 Lot size 등을 고려한 1회 주문량(θ)을 발주하여 최대 재고수준 Q(s+θ)까지 보충하는 (s, Q)로 고려한다.
따라서 재주문점(s, Reorder point) 은 최고 재고수준(Q)에서 1회 주문량(θ)을 뺀 s = Q-θ가 된다. 부품별 수요발생 및 수송시간 분포는 Erlang 분포로 고려하였다. 이때, Ni와 Mi는 Erlang 분포의 형상모수(Shape parameter), λi와 μi는 척도 모수(Scale Parameter)이다.
또한, 이러한 재고관리 모형을 바탕으로 시스템 가용도와 재고수준 비용을 최적화하는 문제를 다루었으며, 24종의 수리 부품에 대한 BOM을 임의적으로 생성하여 수치실험을 수행하였다. 수치실험에서는 미국 LMI에서 개발한 AAM, ASM 모형의 시스템 기대 가용도 산출 방법의 오차에 대해 수치적 검증 결과를 제시하였다. 수치실험을 통해 도출된 결과는 기업, 군(Military) 등에서 수리 부품의 재고를 유지하는 궁극적인 목적인 시스템의 가용도 성과를 기반 으로 시스템 운영의 경제성, 효율성 등을 판단하는 정보로 활용될 수 있다.
수치실험은 와 같이 시스템 정비에 사용되는 24종의 부품 정보(BOM, Bill of material)를 임의적으로 생성하여 수행하였다.
따라서 알고리즘의 계산량을 감소시키기 위해 초기해(Initial condition)는 식 (12)에서 각 부품의 기대 충족률 PBO,i(BO = 0)가 시스템의 목표 기대 가용도(ART)가 되는 최소의 재고 수준(Qi)으로 설정하였다. 이후 비용 대비 시스템 가용도 향상 효과가 큰 부품을 선정하여 재고수준을 1개씩 증가시키면서 시스템의 목표 기대 가용도(ART)를 충족할 때까지 반복적으로 계산한다. 비용 대비 시스템의 가용도 향상 효과 측정은 신뢰도 최적화 (Reliability optimization) 분야의 Importance Measure 개념[10]을 도입하여 식 (13)의 부품별 기대 후불량을 이용하여 식 (19)와 같이 적용하였다.
연속시간 마코프 체인(CTMC)으로 재고관리 모형을 설계하기 위해 전이율행렬 구성한다. 전이율 행렬은 재고량, 주문량의 수송상태와 수요발생에 대한 각각의 상태(State)를 정의하는 3계층으로 구분하였으며, 각각 Level(재고량), Sublevel(수송상 태) 및 Phase(수요발생)으로 정의하였다. Level의 수준은 -K부터 Q까지로 정의하였다.
대상 데이터
수치적 검증을 위해 시스템 10대가 운용되고 있는 상황에서 수리 부품은 의 1번과 2번 부품만을 적용하였다.
시스템을 구성하는 수리 부품은 의 24종 부품을 모두 적용하였으며, 기대 가용도 목표를 10%부터 98% 까지 1%씩 증가시키며 실험을 수행하였다.
이론/모형
이후 비용 대비 시스템 가용도 향상 효과가 큰 부품을 선정하여 재고수준을 1개씩 증가시키면서 시스템의 목표 기대 가용도(ART)를 충족할 때까지 반복적으로 계산한다. 비용 대비 시스템의 가용도 향상 효과 측정은 신뢰도 최적화 (Reliability optimization) 분야의 Importance Measure 개념[10]을 도입하여 식 (13)의 부품별 기대 후불량을 이용하여 식 (19)와 같이 적용하였다. 즉, 알고리즘의 반복 계산 시 Max(Ii)인 부품을 선택하여 재고수준을 1개씩 증가시키는 방법이다.
이때, Ni와 Mi는 Erlang 분포의 형상모수(Shape parameter), λi와 μi는 척도 모수(Scale Parameter)이다. <그림 3>의 알고리즘은 MathWorks사의 MATLAB R2010a를 이용하여 구현하였다.
MOD-METRIC의 단점을 보완하기 위해 Slay[19]가 제시한 Vari-METRIC 모형은 수요의 확률분포로 가정된 포아송 분포의 특성을 보완하였다. 즉, 평균(Mean)과 분산(Variance)이 동일한 포아송 분포의 비현실성을 해결하기 위해 기대 후불량 산정시 평균 대 분산비(VMR, Variance to Mean Ratio)를 고려한 음이항 분포(Negative-binomial distribution)를 적용하였다. 또한, METRIC 계열의 모형들은 재보급기간, 즉, 재고보충을 위해 주문한 수량(1개)이 도착하는 시간을 상수(Constant)로 고려하고 있다.
최적화 문제의 최적해(Optimal solution)을 탐색하기 위해 김흥섭 등[4]이 제시한 알고리즘(Algorithm)을 적용하였다. 이때, 부품별 재고수준, 즉, 최적해를 탐색하기 위한 잠재해(Potential solution)의 범위는 무한대(∞)이다.
이에 따라 안정상태확률을 도출하기 위한 행렬기하법(MGM, Matrix Geometric Method)의 다양한 수치적 알고리즘(Numerical algorithm)들이 연구되어 왔으며, 대표적인 알고리즘으로는 Linear Progression Algorithm(LPA), Modified Boundary Algorithm(MBA), Logarithmic Reduction Algorithm(LRA) 등이 있다[13]. 하지만 본 연구에서의 전이율행렬 Q는 상태공간이 유한(Finite)함에 따라 LPA, MBA, LRA 등의 알고리즘보다 계산량이 적고 용이한 손휘민, 윤봉규[5]가 제시한 수치해법을 적용하였다. 손휘민, 윤봉규[5]는 전이율행렬 Q의 마지막 열(Row)의 모든 원소를 1로 치환한 행렬 Q*를 식 (8)과 같이 정의하고, Q*의 역행렬(Inverse matrix) Q*-1가 존재함을 증명하였다.
성능/효과
단, 본 연구에서는 연속형 확률분포를 기준으로 전개하였으나, 이산형(Discrete) 확률분포로 고려할 경우에는 전이확률행렬(TPM, Transition Probability Matrix) 구성 조건을 적용하여 전환할 수 있다. 결론적으로, 본 연구에서는 기존 연구들보다 현실적인 재고관리 상황을 묘사하는 CTMC 기반의 재고관리 확률모형을 바탕으로 시스템의 목표 가용도를 달성하기 위한 최소 비용의 부품별 재고수준 또는 비용의 제약 하에서 최대 가용도를 보장하기 위한 부품별 재고수준을 결정하는 최적화 문제를 다루었다.
향후 연구방향으로는 본 연구의 1계층 재고모형을 기반으로 METRIC 계열의 모형과 같이 다단계 재고모형으로의 확장된 재고관리 확률모형에 대한 연구와 많은 수리 부품을 갖는 시스템에 대한 문제에서 최적 재고수준에 대한 해(Solution)의 품질을 보장하면서 계산시간을 단축할 수 있는 알고리즘이다. 본 연구에서 적용한 알고리즘은 최적해(Optimal solution)를 제공하나, 높은 가용도에서 계산 시간이 다소 지연되는 현상이 나타났다. 또한, 본연구에서 고려하고 있지 않은 정비시간을 고려하는 연구이다.
실험결과는 와 같았으며, 시스템의 총 대수를 증가시켜 목표 가용도를 낮출 때, 재고수준이 현격히 감소되는 것을 알 수 있다.
<그림 5>는 재고수준 비용의 증가 대비 달성 가능한 가용도의 변화를 보여주고 있으며, <그림 6>은 현재의 가용도 수준에서 1%를 향상시키기 위해 추가적인 투자가 필요한 비용, 즉, (△비용)/(△가용도)의 변화를 보여주고 있다. 실험결과에서 시스템의 기대 가용도가 약 90% 미만에서는 투자 비용 대비 가용도 향상 효과가 비례적이지만, 90% 이상 수준에서는 급격히 투자 비용이 상승하는 것을 볼 수 있다. 이러한 결과를 바탕으로 시스템 운영유지비용을 고려한 경제적 가용도 수준을 판단하고, 시스템 목적에 따라 운용할 시스템의 대수를 결정할 수 있다.
수치적 검증을 위해 시스템 10대가 운용되고 있는 상황에서 수리 부품은 <표 2>의 1번과 2번 부품만을 적용하였다. 이때, 시스템의 기대 가용도 목표 60%를 만족하기 위한 부품별 최적 재고수준을 산출한 결과, 1번 부품은 2개, 2번 부품은 3개의 재고를 유지해야 하는 것으로 나타났으며, 식 (10)부터 식 (14)까지에 따라 산정된 기대 가용도는 62.75%로 나타났다. <그림 4>는 부품별 최적 재고수준에서의 재고량 확률 분포를 보여주고 있으며, 음(-)의 재고량은 후불로 인해 불가동된 시스템의 대수를 의미한다.
후속연구
수치실험에서는 미국 LMI에서 개발한 AAM, ASM 모형의 시스템 기대 가용도 산출 방법의 오차에 대해 수치적 검증 결과를 제시하였다. 수치실험을 통해 도출된 결과는 기업, 군(Military) 등에서 수리 부품의 재고를 유지하는 궁극적인 목적인 시스템의 가용도 성과를 기반 으로 시스템 운영의 경제성, 효율성 등을 판단하는 정보로 활용될 수 있다.
또한, 본연구에서 고려하고 있지 않은 정비시간을 고려하는 연구이다. 즉, 고장 유형에 따른 소요 부품의 공급상황과 정비시간을 모두 고려한다면 실제 시스템을 운용하고 있는 현장에서 나타나는 시스템 가용도를 예측할 수 있으며, 그에 따라 보다 경제적이고 효율적으로 시스템을 운용할 수 있는 적절한 조치를 강구할 수 있을 것이다.
향후 연구방향으로는 본 연구의 1계층 재고모형을 기반으로 METRIC 계열의 모형과 같이 다단계 재고모형으로의 확장된 재고관리 확률모형에 대한 연구와 많은 수리 부품을 갖는 시스템에 대한 문제에서 최적 재고수준에 대한 해(Solution)의 품질을 보장하면서 계산시간을 단축할 수 있는 알고리즘이다. 본 연구에서 적용한 알고리즘은 최적해(Optimal solution)를 제공하나, 높은 가용도에서 계산 시간이 다소 지연되는 현상이 나타났다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
시스템의 가용도와 연계한 수리 부품 재고수준의 최적화가 고려할 수 있는 두 가지 상황은 무엇인가?
시스템의 가용도와 연계한 수리 부품 재고수준의 최적화는 두 가지의 상황을 고려할 수 있다. 첫째는 시스템의 목표하는 가용 대수가 정해진 경우, 즉, 목표 가용도를 유지하기 위한 최소 비용의 재고수준을 결정하는 문제이며, 두 번째는 정해진 예산(Budget), 즉, 비용의 제약 내에서 최대의 가용 도를 유지하기 위한 부품별 재고수준을 결정하는 문제이다. 단, 본 연구에서의 재고수준에 대한 비용은 시스템 가용도를 유지하기 위해 수리 부품의 재고를 보유하고 있거나 발주 중에 있어야하는 비용이며, 연간 등 특정 기간의 시스템을 정비하기 위한 부품 교환에 따른 비용을 의미하지 않는다.
재고량의 상태 전이의 두 번째 상황은 무엇인가?
재고량(Level)의 상태 전이의 두 번째 상황은 발주한 부품이 도착하여 주문량(θ)만큼 증가하는 경우이다. 이러한 상황은 Sublevel의 상태가 M에서 1로 전이하는 경우에 한해 가능하므로 β와 같은 (M×M)의 확률행렬을 정의할 수 있으며, 이때 Phase의 상태 전이는 없다.
안정상태확률이란 무엇인가?
상태확률이 초기 상태의 영향을 받지 않고 시스템이 안정화되었을 때의 상태확률을 안정상태확률 (Π, Steady-state probability)이라 부른다. 이때 안정상태에서 시간의 변화에 따른 상태확률의 변화율이 0이라는 점을 이용하여 평형방정식(Balance equation)을 세우며 모든 상태에 대한 안정상태확률의 합이 1.
참고문헌 (19)
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