[논문]미분 개념의 이해에 관한 수업 사례 - 공학적 도구를 활용한 역사 발생적 과정을 토대로 -

황혜정; 김미향

문제 정의

따라서 교사들은 미분 개념의 유용성과 가치 함양을 뒷받침할 다양하고 풍부한 자료들을 마련하여 제공할 필요가 있는데, 이를 교사의 몫으로만 돌리기보다는 시도교육청 및 국가 수준의 교육 관련 기관으로부터 제공받을 수 있는 방안이나 정책도 필요할 것으로 판단된다. 그럼으로써 교사를 주축으로 학습자로 하여금 미분 학습에 보다 적극적으로 참여토록하고 미분 개념에 대한 견고한 이해를 토대로 미분 개념의 유용성과 가치를 인식할 수 있기를 기대하며, 본 연구가 이러한 인식과 노력을 이끄는 시발점이 되기를 바라는 바이다.
셋째, 단순히 공식을 적용하기보다는 정의를 정확히 사용하여 문제를 다룸으로써 비정형화된 문제를 해결할 수 있도록 하였다. 넷째, 수업 도입 또는 정리 부분에 미분 개념이 실생활에 활용되는 구체적인 예와 역사 발생적 과정을 읽기 자료(가령, 음원과 미분, 경제와 미분, 인터체인지와 미분 등)로 제시하고자 하였는데, 이는 학습자가 미분 개념이 왜 중요한지, 어느 분야에 활용되는지, 그리고 역사적으로 어떤 과정을 거쳐 발달해 왔는지 등 수학적 가치를 인식하는데 도움을 주고자 함이다.
정연준(2010)은 미분계수의 역사 발생적 과정에 대한 고찰을 통해 미분계수는 순간적인 운동 현상에 대한 이해를 기반으로 하고 있으며 이러한 부분이 적절히 드러나지 못한다면 미분계수는 미분법 공식을 유도하는 과정 혹은 순간 속도를 계산하는 수단 이상의 것이 되기 어렵다고 하였다. 따라서 미분계수 지도에서 순간속도와 운동 상황의 제시방식을 개선할 필요가 있으며, 그 방안으로 미분계수의 역사 발생적 과정을 학생들의 이해 수준에 맞추고 실제 상황에서 수업 진행이 가능할 정도로 정리하여 가르치는 방법을 제시하였다. 또, 강향임(2013)은 미분계수는 그 형성 과정에서 대수적, 기하학적, 운동학적 관점을 포함하면서 발달해 왔으므로 학생들에게 이렇게 다양한 관점을 서로 구분지어 그 차이를 분명히 하는 것 보다는 통합된 관점에서 상호관련지어 제시하는 것이 보다 효율적일 것이라고 하며 그 방안 중 하나로 공학적 도구의 활용을 제안하였다.
본 연구에서 이해의 대상은 미분 개념이며 이해의 주체는 미분 개념의 학습을 앞둔 학습자인데, 일반적으로 학습자가 어떤 인식론적 장애 및 오류가 있는지는 앞서 언급한 여러 선행 연구에서 논의된 바 있으며, 이해의 과정은 학습자 내부에서 일어나는 심리적 현상으로 해석학적 고찰이 요구된다. 따라서 본 연구에서는 의미 충실한 교수ㆍ학습 결과는 해당 교수ㆍ학습의 목표 달성으로부터 도래되는 것으로 간주하고 미분 개념을 이해한다는 것의 의미를 이해의 결과에 초점을 두어 살펴보고자 한다.
이를 위하여 본 연구에서는 우선적으로 선행 연구를 통해 ‘이해’의 의미를 가늠하고 미분 개념을 이해한다는 것이 무엇인지 탐색하고자 하였으며, 그 결과에 맞춰 역사 발생적 원리 및 공학적 도구를 활용하여 미분계수와 도함수에 해당하는 미분 내용의 이해를 돕기 위한 수업지도 안을 마련하고자 하였다. 또, G광역시의 S고등학교 1학년에 재학 중인 총 68명의 학생들을 대상으로 통제집단 설계(Posttest Only Control Group Design)를 적용하여 실험수업을 실시하고자 하였다. 이때, 검사 도구는 ‘학습이해도’와 ‘학습만족도’ 영역으로 나누어 구성하였으며, ‘SPSS 21.
본 연구는 미분 개념의 올바른 이해를 도모하기 위한 것으로, 이를 위해 설계된 실험수업의 효과를 알아보고자 사후검사 통제집단 설계(Posttest Only Control Group Design)를 적용하였다. 이때, 실험 결과는 실험집단과 비교집단 간의 유의미한 차이가 있는지 여부를 알아보기 위해 t-검증을 이용하였다.
본 연구에서는 2009 개정에 따른 ‘미적분Ⅰ’ 과목에서 ‘다항함수의 미분법’ 영역의 성취기준들을 참고하여 평균변화율, 미분계수의 정의, 미분계수 구하기, 미분계수의 기하학적 의미(접선), 미분가능성과 연속성, 도함수의 정의, 도함수 구하기, 도함수의 그래프 개형에 관한 내용을 다루었다.
또한, 우리나라 2015 개정에 따른 수학과 교육과정에서도 공학적 도구의 활용을 권장하는 ‘정보처리’ 역량을 새롭게 강조하고 있다(교육부, 2015). 본 연구에서는 미분 개념의 이해를 도모하기 위한 수단으로 GeoGebra라는 공학적 도구를 활용하였는데, GeoGebra의 특징은 대수적 표현과 기하학적 대상이 서로 연결되어 있다는 점이다.²⁾
한편, 강향임(2013)은 고등학교 2학년 문과반 여학생 2명을 대상으로 발생적 모델링을 활용한 미적분 개념의 구성 과정을 분석한 사례연구에서 GeoGebra를 활용하였으며, 이와 같은 공학의 활용은 함수와 도함수의 관계를 시각적으로 나타낼 수 있고 정적분의 값을 즉각적으로 계산할 수 있으며 접선을 역동적으로 구성할 수 있도록 돕는다고 하였다. 본 연구에서는 이상의 선행 연구 결과를 참고하여, GeoGebra를 활용한 시각화 도구를 마련하여 학생들로 하여금 직접적으로 보다 수월하게 미분 개념의 수업 상황에 참여할 수 있는 기회를 제공하고자 하였다.
우선, 본 연구에서는 강향임(2012)의 미분계수 개념의 역사 발생적 과정을 토대로 와 같이 학습 순서 및 내용을 구현하여 실험수업에 적용하고자 하였다.
이때, 검사 도구는 ‘학습이해도’와 ‘학습만족도’ 영역으로 나누어 구성하였으며, ‘SPSS 21.0 Ver’를 사용하여 사후검사 결과를 분석하고, 그 결과에 근거하여 미분 개념의 이해를 높이기 위한 몇몇 지도 방안을 제시하고자 하였다.
한 마디로 정리하면, 우정호ㆍ민세영(2002)은 교사가 수학적 사고의 본질에 자연스럽게 접근하여 학습자의 수학 학습 과정을 더 잘 이해하고, 이를 실제 지도에 반영하기 위한 시도가 역사 발생적 학습ㆍ지도 원리라고 하였다. 이러한 맥락에서 본 연구에서는 미분 개념의 이해를 도모하기 위한 수업 지도 방안을 마련하기 위하여 미분 개념의 역사 발생적 과정을 토대로 미분 개념의 학습 내용을 구현해 보고자 하였다.
이를 위하여 본 연구에서는 우선적으로 선행 연구를 통해 ‘이해’의 의미를 가늠하고 미분 개념을 이해한다는 것이 무엇인지 탐색하고자 하였으며, 그 결과에 맞춰 역사 발생적 원리 및 공학적 도구를 활용하여 미분계수와 도함수에 해당하는 미분 내용의 이해를 돕기 위한 수업지도 안을 마련하고자 하였다.
이상으로 살펴본 이해의 결과 요소의 특징을 토대로 미분 개념을 이해한다는 것의 의미를 와 같이 정리하고, 본 연구에서는 이에 근거하여 수업지도안을 마련하였다.
또한, 이러한 연구들은 미분 내용을 학습하는데 있어서 학습자에게서 나타나는 오류, 교재 구성, 지도 방법 등의 문제점을 지적하고 이의 해결 방안들을 제시하는데 중점을 두어 온 것에 반해, 실험수업을 통한 분석 연구는 그다지 활발히 이뤄지지는 않았다. 이에 따라, 본 연구에서는 학습자가 미분 개념을 올바르게 이해하도록 돕기 위한 수업 자료 및 지도서를 마련하고, 이를 활용하여 실험수업 적용 및 분석을 실시하고자 하였다.
한편, 4번 문항은 대수표현과 기하표현 사이의 연결성을 이해하고 이의 호환이 잘 이루어져야 쉽게 해결할 수 있는 물음으로, 이 문항을 통해 평균변화율과 할선의 기울기, 미분계수와 접선의 기울기 사이의 관계를 알고 있는지 여부를 확인하고자 하였다. 그 결과, 두 집단 간의 정답률 차이가 17.

제안 방법

두 집단의 학습이해도와 학습만족도의 검사 결과 사이의 상관관계를 살펴보는 데 있어서, 학습만족도는 ‘학습의 가치’와 ‘인지적 내용 학습’의 하위 영역으로 나눠져 있으므로 학습이해도와 ‘학습의 가치’ 영역의 상관관계, 학습이해도와 ‘인지적 내용 학습’ 영역의 상관관계로 나누어 살펴보았다.
우선, 본 연구에서는 강향임(2012)의 미분계수 개념의 역사 발생적 과정을 토대로 <표 III-4>와 같이 학습 순서 및 내용을 구현하여 실험수업에 적용하고자 하였다. 둘째, 미분 개념과 관련된 구체적인 상황을 시각적으로 제시하여 직관적인 이해를 돕고자 GeoGebra를 사용하였다.
둘째, 미분 개념을 도입하여 수업하는 상황에서 GeoGebra와 같은 공학적 도구를 활용함으로써 미분 개념을 이해하는데 수월함과 효율적인 측면이 부과되도록 한다.
43으로 크게 나타났기 때문으로 보인다. 따라서 본 연구에서는 사전검사(기말고사 점수)결과를 기준으로 실험집단과 비교집단을 각각 상(30%, 10명), 중 (40%, 14명), 하(30%, 10명) 세 그룹으로 나누어 그룹별로 두 집단의 검사 결과를 t-검증하였다. 검증 결과는 <표 IV-3>에서 알 수 있는 바와 같이 상과 중 그룹의 유의확률이 각각 0.
우선, 학습이해도의 검사 도구는 총 8개의 서술형 유형의 문항으로 구성되었으며, 이 문항들은 본 연구의 공동연구자인 교사가 개발 하고, 두 차례에 걸쳐 동료 수학교사 5명과의 검토 협의회를 통해 수정ㆍ보완하였다. <표 III-6 참조> 문항별 채점은 문제해결 과정에 오류가 없고 답이 맞으면 정답으로 간주하고, 문제해결 과정에 오류가 있거나 답이 틀리면 오답처리 하였다.
본 연구는 G광역시에 소재하고 있는 S고등학교 1학년 학생들을 대상으로, 2학기 기말고사 성적을 기준으로 학급 평균과 표준편차가 유사한 남ㆍ여 두 개 반을 성별과 인원수를 고려하여 실험집단과 비교집단으로 나누었다. 두 집단은 <표 III-1>에서와 같이 t-검증(p>0.
본 연구에서는 실험수업 전에 학습자들이 사용할 각각의 컴퓨터에 GeoGebra 프로그램을 이용하여 ‘시각화 도구’3)를 마련하였다.
본 연구에서의 사후검사는 미분 개념을 이해하는 데에 실험수업이 도움이 되었는지를 알아보기 위한 것으로서, 검사 도구는 크게 두 가지 영역으로 구분하여 실시하였다. 첫째는 수업 후 학습자의 미분 개념 이해 정도를 알아보는 ‘학습이해도’ 이고, 둘째는 미분 개념의 가치와 실험수업이 미분 개념을 이해하는데 도움이 되었는지 학습자가 인지한 정도를 알아보는 ‘학습만족도’ 이다.
그런데, 이러한 정의적 영역에 해당하는 역량을 실제로 교과서를 포함한 교수ㆍ학습 자료에 구체적으로 구현하거나 수업 상황에서 적절히 드러나도록 지도하는 것은 쉽지 않다. 본 연구의 경우, 실생활에 적용된 미분 개념을 소개하여 미분 학습의 필요성을 인식하도록 이끄는 읽기자료(가령, 음원과 미분, 경제와 미분, 인터체인지와 미분 등)를 마련하여 실험수업을 하였다. 그 결과 미분 개념의 필요성과 유용성에 대한 인식이 미분 개념의 올바른 이해에 긍정적인 영향을 미친 것으로 판단된다.
셋째, 학생들의 학업 성취 수준을 고려하여 그에 부합하는 공학적 도구의 활용, 문항의 난이도 등을 차별화하여 미분 수업을 진행하도록 한다.
한편, 학습 만족도에 대해서는 실험집단과 비교집단의 문항별 반응 결과를 비교하고, t-검증을 통해 두 집단의 검사 결과에 유의미한 차이가 있는지를 살펴보고, 또한 학습만족도의 두 하위 영역인 ‘학습의 가치’, ‘인지적 내용 학습’간의 검사 결과 사이의 상관관계를 살펴보았다. 아울러, 학습이해도와 학습만족도의 검사 결과 사이의 상관관계를 살펴보았다.
첫째는 수업 후 학습자의 미분 개념 이해 정도를 알아보는 ‘학습이해도’ 이고, 둘째는 미분 개념의 가치와 실험수업이 미분 개념을 이해하는데 도움이 되었는지 학습자가 인지한 정도를 알아보는 ‘학습만족도’ 이다. 우선, 학습이해도의 검사 도구는 총 8개의 서술형 유형의 문항으로 구성되었으며, 이 문항들은 본 연구의 공동연구자인 교사가 개발 하고, 두 차례에 걸쳐 동료 수학교사 5명과의 검토 협의회를 통해 수정ㆍ보완하였다. <표 III-6 참조> 문항별 채점은 문제해결 과정에 오류가 없고 답이 맞으면 정답으로 간주하고, 문제해결 과정에 오류가 있거나 답이 틀리면 오답처리 하였다.
이상을 종합하여 의 수업 내용 및 활동 계획에 따라 수업지도안을 마련하였으며, 본고에서는 지면 관계상 두 번째 차시의 것만을 에 제시하였다.
전반적으로, 학습이해도에 관한 검사 도구는 미분 개념(평균변화율, 미분계수, 접선, 미분가능성, 도함수)을 정확히 이해하고 정의를 이용하여 주어진 문제를 해결할 수 있는 문항에 중점을 두었다. 본 연구 결과, 실험집단의 정답률이 비교집단의 것에 비해 13.
7%씩 더 높은 것으로 나타났다. 즉, 실험수업에서는 연구자인 교사가 미분계수를 역사 발생적 과정에 따른 내용 전개 순서대로 수업을 진행하고, 미분개념의 근간이 되는 평균변화율과 순간변화율 개념의 이해를 돕기 위해 과속단속카메라의 원리에 관한 읽기 자료를 제시하였다. 이러한 수업 활동이 순간변화율(미분계수)의 개념을 이해하는데 긍정적인 영향을 미쳤을 것으로 예측된다.
첫째, 미분 수업에서 현실 또는 발생 맥락을 수반하는 실례를 통하여 미분 개념을 다룸으로써 미분계수, 도함수, 미분가능성과 같은 미분 내용을 바르게 이해할 수 있도록 한다.

데이터처리

본 연구에서는 사후검사 결과를 분석하기 위해 ‘SPSS 21.0 Ver’를 사용하였으며 통계분석 방법으로 t-검증, 신뢰도분석, 상관분석을 사용하였다.
0 Ver’를 사용하였으며 통계분석 방법으로 t-검증, 신뢰도분석, 상관분석을 사용하였다. 사후검사 결과에 따라 학습이해도에서 실험 집단과 비교집단의 문항별 정답률을 비교하여 살펴보고, t-검증을 통해 두 집단의 검사 결과에 유의미한 차이가 있는지 살펴보았다. 한편, 학습 만족도에 대해서는 실험집단과 비교집단의 문항별 반응 결과를 비교하고, t-검증을 통해 두 집단의 검사 결과에 유의미한 차이가 있는지를 살펴보고, 또한 학습만족도의 두 하위 영역인 ‘학습의 가치’, ‘인지적 내용 학습’간의 검사 결과 사이의 상관관계를 살펴보았다.
실험집단과 비교집단의 검사 결과를 두 개의 하위 영역별로 t-검증하였다. 검증 결과는 <표 IV-5>에 나타난 바와 같이 ‘학습의 가치’와 ‘인지적 내용 학습’ 영역에서의 유의확률이 각각 동일하게 0.
본 연구는 미분 개념의 올바른 이해를 도모하기 위한 것으로, 이를 위해 설계된 실험수업의 효과를 알아보고자 사후검사 통제집단 설계(Posttest Only Control Group Design)를 적용하였다. 이때, 실험 결과는 실험집단과 비교집단 간의 유의미한 차이가 있는지 여부를 알아보기 위해 t-검증을 이용하였다.
한편, 학습 만족도에 대해서는 실험집단과 비교집단의 문항별 반응 결과를 비교하고, t-검증을 통해 두 집단의 검사 결과에 유의미한 차이가 있는지를 살펴보고, 또한 학습만족도의 두 하위 영역인 ‘학습의 가치’, ‘인지적 내용 학습’간의 검사 결과 사이의 상관관계를 살펴보았다.

이론/모형

세 번째 단계는 해석기하학의 관점에서의 접선에 관한 것으로, 17세기 초 데카르트(Descartes)와 페르마(Fermat)에 의한 해석기하학의 도입으로 곡선의 접선을 구하는 다양한 방법들이 발견되기 시작하였다. 데카르트는 곡선의 접선을 작도하는 방법으로 원 정리(Circle Method)를 사용하였고, 페르마는 최초로 극값의 아이디어를 이용하여 최댓값, 최솟값을 구하고자 하였으며 가(假) 동등 원리를 이용하여 곡선의 극대점 및 극소점과 접선의 기울기를 구하였다. 페르마의 가 동등 원리는 무한소 측면에서 극값 및 접선의 기울기를 구하는 과정이 충분히 설명되지 못했다는 점에서 한계가 있으나 변수의 근방값에 대한 아이디어는 무한소 해석의 근본으로 미분 개념의 초기 형태가 정리되었다는 점에서 의의를 찾을 수 있다.
둘째, 학습만족도의 검사 도구는 Nehari와 Bender(1978)가 구안한 수업의 ‘유의미 평가 척도(Course Valuing Inventory)’4)를 사용하였는데, 본 연구에서는 학습자가 느끼는 학습 경험의 유의미성과 가치 정도를 묻는 ‘학습의 가치’와 학습자가 스스로 인지하는 학습 내용의 습득 정도를 묻는 ‘인지적 내용 학습’ 영역만을 선정하였다.
실험집단은 Giambrone(1983)의 이해의 결과에 관한 네 가지 요소(의미, 사용, 기원, 결과)에 근거하여 설계된 실험수업 일정에 따라 4차시 분량의 수업을 받았다. 비교집단은 2009 개정에 따른 교과서(김창동 외, 2015)에 전개된 순서에 따라 전통적인 강의식 수업 방법으로 4차시 분량의 수업을 받았다.

성능/효과

검증 결과는 에 나타난 바와 같이 ‘학습의 가치’와 ‘인지적 내용 학습’ 영역에서의 유의확률이 각각 동일하게 0.000으로 유의수준 0.01에서 유의미한 차이가 있는 것으로 나타났다.
검증 결과는 에서 알 수 있는 바와 같이 상과 중 그룹의 유의확률이 각각 0.016, 0.027로 유의수준 0.05에서 두 집단 간에 유의미한 차이가 있음으로 나타났다.
결과적으로, 연구 대상자는 실험집단 34명(남17명, 여17명), 비교집단 34명(남17명, 여17명)으로 총 68명이며, 이들은 실험수업 이전에 2009 개정 교육과정에 따른 ‘미적분Ⅰ’ 과목의 ‘함수의 극한과 연속’ 영역까지 학습을 마친 상태였다.
6% 더 높게 나타났는데 이는 한 마디로 실험집단이 비교집단에 비해 전반적으로 미분 개념에 대한 이해도가 더 높은 것으로 볼 수 있다. 구체적인 예로, 미분계수의 정의를 물은 3번 문항과 순간변화율(미분계수)의 개념을 올바르게 이해하고 있는지를 물은 5번 문항에 대한 실험집단의 정답률이 비교집단의 것보다 각각 20.6%, 14.7%씩 더 높은 것으로 나타났다. 즉, 실험수업에서는 연구자인 교사가 미분계수를 역사 발생적 과정에 따른 내용 전개 순서대로 수업을 진행하고, 미분개념의 근간이 되는 평균변화율과 순간변화율 개념의 이해를 돕기 위해 과속단속카메라의 원리에 관한 읽기 자료를 제시하였다.
한편, 4번 문항은 대수표현과 기하표현 사이의 연결성을 이해하고 이의 호환이 잘 이루어져야 쉽게 해결할 수 있는 물음으로, 이 문항을 통해 평균변화율과 할선의 기울기, 미분계수와 접선의 기울기 사이의 관계를 알고 있는지 여부를 확인하고자 하였다. 그 결과, 두 집단 간의 정답률 차이가 17.7%로 비교적 크게 나타난 것으로 미뤄볼 때, 실험집단에서 대수표현과 기하표현의 연결이 더 잘 이루어졌음을 확인할 수 있다. 이때, 실험집단의 70.
이정곤(2012)은 자연과학대학 수학과에 재학 중인 1학년 여학생 2명을 대상으로 GeoGebra를 활용하여 자연로그 그래프를 이해하는 과정을 관찰하였다. 그 결과, 학생들 스스로 인지적 갈등과 오개념을 수정하고 자연로그를 보다 명확하게 이해하여 올바른 개념을 형성하는 것을 확인하였다. 또, 정가람(2013)은 고등학교 2학년 학생 4명을 대상으로 GeoGebra를 활용하여 구분구적법을 지도한 결과, 학생들은 수학적 시각화를 통하여 보다 명확하게 구분구적법을 이해하고 문제해결 과정에서도 쉽게 원리를 파악하여 문제에 대하여 가능한 한 많은 양의 아이디어를 산출하는 유창성을 보임을 확인하였다.
그러나 두 집단의 t-검증 결과, 상과 중 수준의 그룹에서는 실험수업이 학습자에게 미분 개념을 이해하는데 보다 도움을 준 것으로 나타났으나 하 수준의 그룹에서는 실험집단과 비교집단 사이의 t-검증 (p>0.05) 결과, 유의미한 차이가 없는 것으로 나타났다.
여기서, [그림 IV-4]와 같이 실험집단의 대부분의 학생들은 주어진 함수의 그래프에 여러 개의 임의의 접선을 그려보고 그 기울기의 변화 정도를 관찰하여 그 결과로 도함수의 개형을 예측하였다. 끝으로, 5번 문항은 주어진 문제 상황에서 x=a에서의 순간변화율이 a²+3a임을 이해해야 해결할 수 있는 물음으로 두 집단 간의 정답률의 차이는 14.7%로 나타났다. 이 문항을 통해 학습자가 순간변화율(미분계수)의 개념 이해를 토대로 주어진 응용문제를 해결할 수 있는지 여부를 확인하고자 하였는데, 실험집단의 67.
넷째, 미분 수업 상황에서 다양하고 풍부한 읽기자료를 제공함으로써 미분 개념의 유용성과 가치를 인식할 수 있게 이끌도록 한다.
5%의 응답자들이 [그림 IV-1]과 같이 형식적으로 미분계수의 정의를 정확히 서술하였다. 또, 6-(2)번 문항도 정답률의 차이가 20.6%로 3번 문항과 함께 두 집단 간의 차이가 가장 크게 나타난 것으로, 실험집단의 61.8%가 [그림 IV-2]와 같이 함수의 연속성의 정의와 미분가능성의 정의를 정확히 사용하여 문제를 해결하였다. 반면에, 이 문항은 함수의 연속성과 미분가능성을 조사하는 물음에 관한 것으로, 실험집단과 비교집단의 정답률이 각각 61.
또, 본 연구에서의 학습만족도의 두 하위 영역인 ‘학습의 가치’와 ‘인지적 내용 학습’의 상관관계를 분석한 결과, 실험집단과 비교집단 모두 상관계수가 0.97 이상으로 매우 높은 상관관계를 나타냈다.
마찬가지로 ‘인지적 내용 학습’ 영역에서도 두 집단 모두 긍정적인 반응을 보였으며, 실험집단의 평균이 3.23으로 비교집단(평균 2.86)보다 0.36 높은 평균치를 보였다.
본 연구 결과, 실험집단과 비교집단 모두 남학생의 경우 학습이해도와 학습만족도 사이에 높은 상관관계를 보였으며, 여학생의 경우 학습이 해도 결과를 기준으로 하여 상ㆍ중ㆍ하 수준의 그룹으로 나누었을 때, 하 그룹의 학생들을 제외하고 상과 중 수준의 그룹 학생들에게서는 학습 이해도 결과에 상관없이 모두 학습만족도가 높게 나타났다. 즉, 학습이해도와 학습만족도 사이의 상관분석 결과, 실험집단과 비교집단 모두 성별에 관계없이 양의 상관관계가 있는 것으로 나타났다.
전반적으로, 학습이해도에 관한 검사 도구는 미분 개념(평균변화율, 미분계수, 접선, 미분가능성, 도함수)을 정확히 이해하고 정의를 이용하여 주어진 문제를 해결할 수 있는 문항에 중점을 두었다. 본 연구 결과, 실험집단의 정답률이 비교집단의 것에 비해 13.6% 더 높게 나타났는데 이는 한 마디로 실험집단이 비교집단에 비해 전반적으로 미분 개념에 대한 이해도가 더 높은 것으로 볼 수 있다. 구체적인 예로, 미분계수의 정의를 물은 3번 문항과 순간변화율(미분계수)의 개념을 올바르게 이해하고 있는지를 물은 5번 문항에 대한 실험집단의 정답률이 비교집단의 것보다 각각 20.
본 연구 결과, 평균변화율의 기하학적 의미인 할선과 미분계수의 기하학적 의미인 접선과 관련된 4번 문항과 도함수의 그래프 개형을 고르는 7번 문항에서 실험집단의 정답률이 비교집단의 것보다 각각 17.7%, 14.8%씩 더 높게 나타났다. 이는 실험집단이 비교집단에 비해 평균변화율과 순간변화율(미분계수)의 대수 표현과 그에 대응하는 할선과 접선의 기하 표현의 연결이 비교적 양호한 것으로 간주할 수 있다.
본 연구 결과, 학습이해도에서 성별에 관계없이 모든 문항에서 실험집단의 정답률이 비교집단의 정답률보다 높게 나타났다. 그러나 두 집단의 t-검증 결과, 상과 중 수준의 그룹에서는 실험수업이 학습자에게 미분 개념을 이해하는데 보다 도움을 준 것으로 나타났으나 하 수준의 그룹에서는 실험집단과 비교집단 사이의 t-검증 (p>0.
즉, 실험수업이 학습자들에게 미분개념의 가치를 인식하는데 도움을 주었고, 또한 미분 개념을 이해하고 습득하는데 긍정적인 효과가 있었다고 볼 수 있다. 성별로 나누어 살펴보아도 두 개의 하위 영역에서 남학생과 여학생 모두 유의확률이 각각 동일하게 0.000으로 유의수준 0.01에서 실험집단의 학습만족도가 더 높은 것으로 나타났다. 따라서 성별에 관계없이 실험수업이 학습만족도 영역에서 효과가 있었다고 볼 수 있겠다.
셋째, ‘기원’은 개념이 발생된 문맥, 방법, 이유를 아는 것으로 그 개념이 다른 개념 또는 원리, 법칙의 결과가 되는 것을 아는 것도 포함한다.
셋째, 단순히 공식을 적용하기보다는 정의를 정확히 사용하여 문제를 다룸으로써 비정형화된 문제를 해결할 수 있도록 하였다. 넷째, 수업 도입 또는 정리 부분에 미분 개념이 실생활에 활용되는 구체적인 예와 역사 발생적 과정을 읽기 자료(가령, 음원과 미분, 경제와 미분, 인터체인지와 미분 등)로 제시하고자 하였는데, 이는 학습자가 미분 개념이 왜 중요한지, 어느 분야에 활용되는지, 그리고 역사적으로 어떤 과정을 거쳐 발달해 왔는지 등 수학적 가치를 인식하는데 도움을 주고자 함이다.
실험집단과 비교집단의 검사 결과(정답 수)에 대한 t-검증 결과를 살펴보면 에 나타난 바와 같이 유의확률이 0.091로 유의수준 0.05 에서 통계적으로 두 집단 간에는 유의미한 차이가 없는 것으로 나타났다.
실험집단과 비교집단의 문항별 반응 결과를 살펴보면, 에 나타난 바와 같이 학습만족도의 모든 문항에서 실험집단이 비교집단에 비해 상대적으로 보다 긍정적인 반응을 보였다.
실험집단과 비교집단의 학습이해도의 문항별 정답률을 살펴보면, 과 같이 모든 문항 에서 실험집단의 정답률이 비교집단의 정답률보다 높게 나타났다.
실험집단과 비교집단의 학습이해도의 문항별 정답률을 살펴보면, <표 IV-1>과 같이 모든 문항 에서 실험집단의 정답률이 비교집단의 정답률보다 높게 나타났다. 실험집단의 정답률은 평균 71.5%로 비교집단의 정답률(평균 57.9%)보다 13.6% 더 높게 나타났으며, 성별로 나누어 살펴보면 남학생의 경우 실험집단의 정답률 평균이 72.9%로 비교집단의 정답률(평균 57.1%)보다 15.8% 더 높고, 여학생의 경우에도 실험집단의 정답률이 평균 70.0%로 비교집단의 정답률(평균 58.8%)보다 11.2% 더 높게 나타났다. 학습이해도 검사에서 실험집단과 비교집단이 구체적으로 어떤 차이를 보였는지 알아보기 위하여 두 집단간 정답률의 차이가 큰 문항을 중심으로 문항의 내용 요소 및 평가목표와 실험집단의 대표적인 정답 반응의 사례를 살펴보면 다음과 같다.
7%로 나타났다. 이 문항을 통해 학습자가 순간변화율(미분계수)의 개념 이해를 토대로 주어진 응용문제를 해결할 수 있는지 여부를 확인하고자 하였는데, 실험집단의 67.6%가 [그림 IV-5]와 같이 순간변화율의 식 x²+3x에 x=5를 대입하여 문제를 원만히 해결하였다.
454보다 상대적으로 높은 것으로 나타났다. 이때, 남학생의 경우 두 집단의 유의 확률이 각각 동일하게 0.002로 유의수준 0.01에서 양의 상관관계를 보였으나, 여학생의 경우에는 유의확률이 각각 0.066, 0.067로 유의수준 0.01에서 상관관계가 없는 것으로 나타났다.
이종희(1999)는 수학적 개념을 이해한다는 것은 그 개념의 정의 뿐 아니라 그 개념의 다양한 표현을 알고 표현의 변형 및 표현 사이의 번역이 가능해야 한다고 하였다. 이처럼, 본 연구에서 GeoGebra 프로그램의 역동적인 시각적 기능을 통해 직관적인 이해가 가능하도록 함으로서 대수 표현과 기하 표현 사이의 연계가 잘 이루어졌으며, 이와 같은 활동이 미분 개념을 바르게 이해하는데 도움을 준 것으로 볼 수 있다. 결국, Tall & Vinner(1981)의 주장처럼, 복잡하고 추상적인 수학적 아이디어나 개념에 대해 구체적이고 직관적인 조작을 통하여 학습자는 자신의 개념 이미지를 보다 충분히 그리고 풍부히 구축하게 되어 올바른 개념 형성에 도움이 될 것이다.
970 이상으로 강한 양의 상관관계를 보였다. 즉, 미분개념의 가치를 인식한 정도가 높은 학생일수록 수업을 통해 미분 개념에 대한 이해 정도와 학습한 내용의 습득 정도가 높은 것으로 나타났다.
44 높은 평균치를 보였다. 즉, 성별에 관계없이 실험집단이 비교집단보다 상대적으로 더 높은 학습만족도를 보였다.
01에서 유의미한 차이가 있는 것으로 나타났다. 즉, 실험수업이 학습자들에게 미분개념의 가치를 인식하는데 도움을 주었고, 또한 미분 개념을 이해하고 습득하는데 긍정적인 효과가 있었다고 볼 수 있다. 성별로 나누어 살펴보아도 두 개의 하위 영역에서 남학생과 여학생 모두 유의확률이 각각 동일하게 0.
본 연구 결과, 실험집단과 비교집단 모두 남학생의 경우 학습이해도와 학습만족도 사이에 높은 상관관계를 보였으며, 여학생의 경우 학습이 해도 결과를 기준으로 하여 상ㆍ중ㆍ하 수준의 그룹으로 나누었을 때, 하 그룹의 학생들을 제외하고 상과 중 수준의 그룹 학생들에게서는 학습 이해도 결과에 상관없이 모두 학습만족도가 높게 나타났다. 즉, 학습이해도와 학습만족도 사이의 상관분석 결과, 실험집단과 비교집단 모두 성별에 관계없이 양의 상관관계가 있는 것으로 나타났다. 또, 본 연구에서의 학습만족도의 두 하위 영역인 ‘학습의 가치’와 ‘인지적 내용 학습’의 상관관계를 분석한 결과, 실험집단과 비교집단 모두 상관계수가 0.
특히, 6-(1)번과 6-(2)번 문항의 경우 주어진 함수의 연속성과 미분가능성을 조사하는 것으로 평가 목표가 동일함에도 불구하고 6-(1)번 문항은 두 집단 간 정답률의 차이가 적게 나타난 반면, 6-(2) 문항은 정답률의 차이가 가장 크게 나타났다. 이는 6-(1)번 문항이 학습자에게 익숙한 물음인 반면 6-(2)번 문항은 6-(1)번 문항과 마찬 가지로 이차함수가 주어졌지만 절댓값이 포함되어 있고 예제나 문제를 통해 경험하였던 익숙한 유형의 물음이 아니었기 때문으로 판단된다.
특히, 여학생의 경우 남학생에 비해 상대적으로 학습만족도 검사 결과가 높게 나타났음에도 불구하고, 학습이해도와의 상관관계는 없는 것으로 나타났다. 이는 여학생의 학습만족도의 검사 결과에 따르면, 학습이해도의 검사 결과를 상ㆍ중ㆍ하 그룹으로 나누어 살펴보았을 때 상과 중 그룹 학생들의 학습만족도가 두 그룹 모두 별 차이 없이 비교적 높게 나타났기 때문으로 보인다.
하위 영역별로 살펴보면, 우선 ‘학습의 가치’ 영역에서는 두 집단 모두 긍정적인 반응을 보였으며, 실험집단의 평균이 3.26으로 비교집단(평균 2.86)보다 0.41 높은 평균치를 보였다.
학습자에게 가장 많이 나타난 오류 유형은 필수적인 원리ㆍ법칙ㆍ사실ㆍ개념에 대한 지식 부족과 정의와 정리의 부적절한 사용으로 나타났으며 이는 미분 개념에 대한 온전한 이해가 수반되지 않은 학습의 결과라 할 수 있다. 이러한 오류 예방 내지 처방을 위한 적절한 방안을 모색하기 위해서는 미분 개념을 이해한다는 것이 무엇인지를 살펴볼 필요가 있다.
한편, 실험집단과 비교집단의 정답률의 차이가 적게 나타난 문항을 살펴보면 1번 문항의 경우 두 집단 간의 정답률의 차이가 5.9%이고, 2번 문항과 6-(1)번 문항의 경우에는 정답률의 차가 각각 동일하게 8.8%로 나타났다. 이 문항들은 두 집단 모두 해당 문항에서 묻는 개념(접선과 미분계수)을 설명할 때 다룬 교과서의 예제나 문제와 비슷한 유형으로 학생들에게 익숙한 내용의 물음에 속한다.
이러한 수업 활동이 순간변화율(미분계수)의 개념을 이해하는데 긍정적인 영향을 미쳤을 것으로 예측된다. 한편, 함수의 연속성과 미분가능성의 정의를 정확히 알고 이를 이용하여 문제를 해결할 수 있는 지를 물은 6-(2)번 문항에서 실험집단이 비교집단에 비해 20.6% 더 높은 정답률을 보였다. 이는 해당 문항의 물음 내용이 수업 시간에 다루거나 교과서에 일반적으로 제시되지 않은 문항이라는 점을 감안해 볼 때, 학생들은 비록 평소 다루지 않는 문항일지라도 미분계수에 관해 바르게 이해한다면, 이를 토대로 해당 문항을 비교적 쉽게 해결할 것으로 상정해 볼 수 있다.

후속연구

0 Ver’를 사용하여 사후검사 결과를 분석하고, 그 결과에 근거하여 미분 개념의 이해를 높이기 위한 몇몇 지도 방안을 제시하고자 하였다. 궁극적으로 본 연구에서 제안하는 지도 방안이 미분을 효율적으로 지도하는데 보탬이 되기를 기대한다.
따라서 교사들은 미분 개념의 유용성과 가치 함양을 뒷받침할 다양하고 풍부한 자료들을 마련하여 제공할 필요가 있는데, 이를 교사의 몫으로만 돌리기보다는 시도교육청 및 국가 수준의 교육 관련 기관으로부터 제공받을 수 있는 방안이나 정책도 필요할 것으로 판단된다. 그럼으로써 교사를 주축으로 학습자로 하여금 미분 학습에 보다 적극적으로 참여토록하고 미분 개념에 대한 견고한 이해를 토대로 미분 개념의 유용성과 가치를 인식할 수 있기를 기대하며, 본 연구가 이러한 인식과 노력을 이끄는 시발점이 되기를 바라는 바이다.
특히, 2015 개정에 따른 수학과 교육과정에서 ‘정보 처리’를 하나의 핵심역량으로 선정하여 강조하고 있는 만큼, 미분 등의 수학 내용을 다루는 데 적절하고 용이한 공학적 도구는 무엇인지, 이를 어떻게 활용해야 하는지 등에 관한 관심 및 탐색을 늦추지 말아야 할 것이다. 따라서 후속 연구를 통해 미분 등의 수학 내용에서 개념 이해와 문제해결을 위한 다양한 시각화 도구를 개발하여 실험수업 적용 및 분석을 실시해 봄으로써 공학적 도구 활용의 유용성과 효율성 등을 탐색해 볼 필요가 있다.
본 연구에서는 미분계수와 도함수의 정의에 대한 학습자의 이해 정도를 가늠하는 데 중점을 두었는데, 이를 근간으로 도함수의 활용까지 포함하여 미분 전반에 관한 수업을 진행한다면 미분 개념에 관한 이해를 강화하는데에 보다 구체적이고 유용한 정보를 얻을 수 있을 것이다. 또한, 역사 발생적 원리에 근거하여 미분과 관련된 수학사 고찰을 통해 미분 개념의 발생 과정에서 등장하는 다양한 문제 상황들을 학습자의 환경에 적합하게 재구성하여 학생들로 하여금 이를 직접 해결해 보는 경험을 제공한다면 미분 개념을 보다 충실히 이해하는데 보탬이 될 것이다.
본 연구에서는 미분계수와 도함수의 정의에 대한 학습자의 이해 정도를 가늠하는 데 중점을 두었는데, 이를 근간으로 도함수의 활용까지 포함하여 미분 전반에 관한 수업을 진행한다면 미분 개념에 관한 이해를 강화하는데에 보다 구체적이고 유용한 정보를 얻을 수 있을 것이다. 또한, 역사 발생적 원리에 근거하여 미분과 관련된 수학사 고찰을 통해 미분 개념의 발생 과정에서 등장하는 다양한 문제 상황들을 학습자의 환경에 적합하게 재구성하여 학생들로 하여금 이를 직접 해결해 보는 경험을 제공한다면 미분 개념을 보다 충실히 이해하는데 보탬이 될 것이다.
특히, 2015 개정에 따른 수학과 교육과정에서 ‘정보 처리’를 하나의 핵심역량으로 선정하여 강조하고 있는 만큼, 미분 등의 수학 내용을 다루는 데 적절하고 용이한 공학적 도구는 무엇인지, 이를 어떻게 활용해야 하는지 등에 관한 관심 및 탐색을 늦추지 말아야 할 것이다.
지금까지 미분 개념의 오류 유형 자체를 분석한 선행 연구들은 비교적 활발히 수행된 편이지만, 학생들의 학업 성취 수준에 따른 미분 개념의 오류 유형을 분석한 연구는 흔치 않다. 하 수준 학생들의 미분 개념의 이해를 증진시키기 위해서는 무엇보다 그들의 현 학습 상태를 정확히 파악하고, 학업 성취 수준에 따른 하 수준의 학생들이 미분 개념을 이해하는데 있어서 실제로 어떤 어려움을 겪고 있는지, 그 원인은 무엇인지 등을 다루는 연구가 뒤따라야 할 것이다.

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	미분에 관한 주요 문제점은 무엇인가?	미분에 관한 주요 문제점으로 미분 개념이 공식처럼 다루어져 기초적 지식이 결여되어 있으며, 정형화된 계산 및 활용 문제를 해결하는 데에는 익숙하지만 비정형의 새로운 문제를 해결하는데 있어서는 그렇지 못함이 지적되고 있다. 선행 연구들은 주로 학습자 오류, 교재 구성, 지도 방법 등에 관심을 두고 이의 해결 방안을 제시하는데 중점을 두어 온 반면, 실험수업을 통한 양 질적 연구는 그다지 활발히 이뤄지지 않아 왔다.
	우리나라의 수학과 교육과정은 무엇을 강조하는가?	우리나라의 수학과 교육과정은 수 십 년에 걸쳐 개정되어 오면서 미적분 학습의 중요성과 역할이 지속적으로 강조되어 왔다. 이현주ㆍ류중현ㆍ조완영(2015)은 미분 개념의 중요성을 강조하며, 미분은 초등학교의 규칙성, 중학교의 함수, 고등학교의 함수의 극한과 연속을 통합하여 심화시킨 내용으로 수학뿐만 아니라 다양한 분야 에서 응용되는 도구적 지식이며 사회 및 자연 현상을 이해하고 분석하는데 이용되는 가장 핵심적인 내용 중 하나라고 하였다.
	사후검사 통제집단 설계를 적용할 때 실험 결과를 알아보기 위해 무엇을 이용하였는가?	본 연구는 미분 개념의 올바른 이해를 도모하기 위한 것으로, 이를 위해 설계된 실험수업의 효과를 알아보고자 사후검사 통제집단 설계 (Posttest Only Control Group Design)를 적용하였다. 이때, 실험 결과는 실험집단과 비교집단 간의 유의미한 차이가 있는지 여부를 알아보기 위해 t-검증을 이용하였다.

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