통계적 추정에 관한 예비 수학교사들과 고등학생들의 오개념 비교 분석 A Comparative Study on Misconception about Statistical Estimation that Future Math Teachers and High School Students have원문보기
본 연구에서는 선행연구를 바탕으로 통계적 추정에서 반드시 알아야 할 개념으로 '신뢰구간 및 신뢰도의 의미, 표본평균의 분포와 모평균 추정의 연결, 신뢰구간을 구성하는 요소간의 관계' 3개를 추출하였다. 이를 바탕으로 예비 수학교사들과 고등학생들의 통계적 추정에 대한 태도는 어떠한지, 예비 수학 교사들과 고등학생들의 통계적 추정에 관한 오개념의 인식에 차이가 있는지에 대한 연구문제를 설정하였다. 그 결과 첫째, 통계적 추정 단원에서는 신뢰구간 등을 계산하는 방법 뿐 아니라 그 결과의 의미를 문맥 안에서 해석하는 것 또한 강조되어야 한다. 둘째, 모평균의 추정 단원에서는 주변에서 흔히 볼 수 있는 뉴스나 신문 자료에 나타난 모평균 추정 결과를 해석하는 방법 또한 지도되어야 한다. 셋째, 통계적 추정 단원에서 학생들이 흔히 갖는 오개념에 관한 지식, 통계적 추정의 개념을 효과적으로 지도할 수 있는 방안 등에 대한 현직교사나 예비교사를 대상으로 한 전문성 신장 프로그램이 요구된다는 결론과 시사점을 얻었다.
본 연구에서는 선행연구를 바탕으로 통계적 추정에서 반드시 알아야 할 개념으로 '신뢰구간 및 신뢰도의 의미, 표본평균의 분포와 모평균 추정의 연결, 신뢰구간을 구성하는 요소간의 관계' 3개를 추출하였다. 이를 바탕으로 예비 수학교사들과 고등학생들의 통계적 추정에 대한 태도는 어떠한지, 예비 수학 교사들과 고등학생들의 통계적 추정에 관한 오개념의 인식에 차이가 있는지에 대한 연구문제를 설정하였다. 그 결과 첫째, 통계적 추정 단원에서는 신뢰구간 등을 계산하는 방법 뿐 아니라 그 결과의 의미를 문맥 안에서 해석하는 것 또한 강조되어야 한다. 둘째, 모평균의 추정 단원에서는 주변에서 흔히 볼 수 있는 뉴스나 신문 자료에 나타난 모평균 추정 결과를 해석하는 방법 또한 지도되어야 한다. 셋째, 통계적 추정 단원에서 학생들이 흔히 갖는 오개념에 관한 지식, 통계적 추정의 개념을 효과적으로 지도할 수 있는 방안 등에 대한 현직교사나 예비교사를 대상으로 한 전문성 신장 프로그램이 요구된다는 결론과 시사점을 얻었다.
In this paper, three main concepts are chosen for this statistical estimation study, based on previous studies: confidence interval and reliability, sampling distribution of mean and population mean estimation, and relationships between elements of confidence interval. The main objectives of this st...
In this paper, three main concepts are chosen for this statistical estimation study, based on previous studies: confidence interval and reliability, sampling distribution of mean and population mean estimation, and relationships between elements of confidence interval. The main objectives of this study are as follows: 1. How are the attitudes that future math teachers and high school students have to ward the statistical estimation? 2. Is there some difference in the awareness of misconceptions about the statistical estimation that future math teachers and high school students have? A study result shows that both groups have difficulties in understanding statistical concepts and their meaning used in Unit Statistical Estimation. They tend to wrongly think that the meaning of reliability is the same as that of probability. They also have difficulties in understanding sample variance in the sampling distribution of mean, which makes it impossible to connect with population mean estimation. It is shown that relationships between elements consisting of confidence interval are not consistent.
In this paper, three main concepts are chosen for this statistical estimation study, based on previous studies: confidence interval and reliability, sampling distribution of mean and population mean estimation, and relationships between elements of confidence interval. The main objectives of this study are as follows: 1. How are the attitudes that future math teachers and high school students have to ward the statistical estimation? 2. Is there some difference in the awareness of misconceptions about the statistical estimation that future math teachers and high school students have? A study result shows that both groups have difficulties in understanding statistical concepts and their meaning used in Unit Statistical Estimation. They tend to wrongly think that the meaning of reliability is the same as that of probability. They also have difficulties in understanding sample variance in the sampling distribution of mean, which makes it impossible to connect with population mean estimation. It is shown that relationships between elements consisting of confidence interval are not consistent.
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문제 정의
따라서 본 연구에서는 통계적 추정에서 반드시 알아야 할 세 가지 개념 ‘신뢰구간 및 신뢰도의 의미, 표본평균의 분포와 모평균 추정의 연결, 신뢰구간을 구성하는 요소간의 관계’를 우선 설정하였다. 그러면서 이를 바탕으로 예비 수학교사들과 인문계 고등학생들의 통계적 추정에 대한 태도와 통계적 추정에 관한 오개념의 인식에 차이가 있는가를 살펴보고자 하였다.
또한 교사들의 통계적 추정지도의 문제점에 관한 문제 제기는 여러 번 있었으나 교사들의 이해 정도와 학생들의 이해도에 대한 관계에 초점을 맞춰 진행한 비교 연구도 많이 이루어지지 않았다. 본 연구에서는 대학교 수학교육과 학생(예비교사)들과, 고등학교 3학년 학생들을 대상으로 모평균의 추정에 관한 학생들의 오개념을 조사하여 비교 분석해 보았다.
이에 본 연구에서는 통계적 추정에 대한 예비 수학교사들과 고등학생들이 가지고 있는 오개념을 조사한 후 비교 분석하고, 이를 바탕으로 통계적 추정에 관한 정확한 이해와 올바른 시각을 갖도록 시사점을 제시하고자 한다.
제안 방법
넷째, 신뢰구간을 구성하는 요소간의 관계를 이해하고 있는지를 알아보기 위해 신뢰구간에 대한 용어를 다르게 표현하여 발문하였다. 그 결과 모평균을 표본평균으로 바뀌어 발문하였을 때 잘 구분하지 못하는 모습을 보였다.
둘째, 선행 연구와 문헌연구를 통해 통계적 추정 단원에서 가장 중요한 개념을 ‘신뢰구간의 의미, 표본평균과 모평균의 구분, 신뢰구간의 해석’ 이렇게 세 가지로 추출하였다.
따라서 본 연구에서는 통계적 추정에서 반드시 알아야 할 세 가지 개념 ‘신뢰구간 및 신뢰도의 의미, 표본평균의 분포와 모평균 추정의 연결, 신뢰구간을 구성하는 요소간의 관계’를 우선 설정하였다.
요인분석을 통해 예비 수학교사 점수 Q1와 Q2를 묶고 고등학생 점수 Q1와 Q2를 묶어서 비교를 해보았다().
둘째, 선행 연구와 문헌연구를 통해 통계적 추정 단원에서 가장 중요한 개념을 ‘신뢰구간의 의미, 표본평균과 모평균의 구분, 신뢰구간의 해석’ 이렇게 세 가지로 추출하였다. 이를 기초로 학생들이 가진 오개념과 그 원인을 알아보기 위해 9문항의 검사 문항(기초 조사 3문항, 이해도 조사 6문항)을 개발하였으며, 관련 해당 전문가의 타당성 검증 단계를 거쳤다.
첫째, 본 연구에서는 통계적 추정 단원을 학습한 전북의 C고등학교 3학년 학생들과 D 대학 수학교육과 예비 수학교사들을 대상으로 검사를 실시하여 예비 수학교사들과 고등학생들이 가진 오개념을 분석하였다.
대상 데이터
본 연구의 대상은 A도 B시에 소재한 C고등학교 3학년 63명과 D대학교 수학교육과 61명 총 124명의 학생과 예비 수학교사들이다. C고등학교는 인문계 남자 고등학교로 지역 내에서 성적과 교육 환경이 중간 정도 수준에 해당하는 학교이다.
데이터처리
신뢰구간을 구하는데 쓰이는 용어들이 가지고 있는 의미를 이해하고 있는지 확인하기 위해 다양한 조건들을 변화를 주었다. 그것들이 나타내고 있는 의미를 이해하고 있는지 확인하기 위해 ③, ⑥, ⑦ 을 묶어서 T-test를 하였다. 그 결과 두 집단의 차이는 없는 것으로 나타났다.
기초조사는 예비 수학교사와 고등학생 간에 확률과 통계과목의 내용요소에 대한 학생들의 체감난이도와 통계적 추정 단원의 난도가 높다고 판단한 이유, 그리고 교수·학습 과정에서의 검토·보완 요구사항을 알아보기 위한 것으로, 예비 수학교사와 고등학생에 대한 대응표본에 의한 T-test(양측검정)를 사용하여 응답 내용을 분석하였다.
모평균과 표본평균을 구분해서 사용할 수 있는지 확인하기 위해 ②와 ④ 묶어서 T-test를 하였다. 그 결과 두 집단이 차이가 있는 것으로 나타났다.
본 연구에서는 연구문제를 해결하기 위하여 Microsoft Office Excel 2013과 IBM SPSS Statistics 20을 이용하여 분석하였다.
셋째, T-test를 사용해 비교 분석하여 예비 수학교사와 고등학생의 인식도에 차이가 발생하는지 그 여부를 확인하였다.
신뢰도의 의미를 일관되게 이해하지 못하고 있는 학생들도 많다는 것을 알 수 있다. 신뢰구간의 의미를 물어본 ①과 ⑤ 묶어서 T-test를 하였다. 그 결과 두 집단 모두 신뢰구간의 의미에 대해 일관성은 어느 정도 유지하며 인식하고 있었으나 두 집단 사이에는 차이는 있는 것으로 나타났다(<표 Ⅳ-29>, <표 Ⅳ-30>).
이해도 조사는 예비 수학교사와 고등학생들의 통계적 추정에 관한 오개념의 인식에 차이가 있는지 알아보기 위한 것으로, 예비 수학교사들과 고등학생에 대한 대응표본에 의한 T-test(양측검정)를 사용하였다.
성능/효과
1%로 높게 나타난 결과로 해석된다. (3)은 표준화변수는 p-value가 0.05보다 크게 나타나 두 집단 간에 차이가 없는 것으로 나타났는데 정답률을 보면 양쪽 모두 매우 낮았다. 또한 무응답이 많아 두 집단 모두 정확히 내용을 이해하지를 못하고 있는 비율이 높음을 알 수 있다.
3) 자료에 근거한 추론, 예측, 논의를 전개하고 평가할 수 있다. 4) 승률과 확률의 기본 개념을 이해하고 적용할 수 있다는 것으로 설정하고 있다. 따라서 학교 통계교육에서 학생들이 직접 경험하고 있는 실제적 상황의 모델에서 자료의 맥락과 특성에 따라 그리고 숨겨진 자료의 정보를 탐구, 분석하는 탐색적 자료분석의 지도방법을 통해 학생들이 정보의 가치를 높여주는 통계의 유용성을 깨닫도록 하는 것이 중요하다.
그 결과 두 집단 모두 신뢰구간의 의미에 대해 일관성은 어느 정도 유지하며 인식하고 있었으나 두 집단 사이에는 차이는 있는 것으로 나타났다(, ).
넷째, 신뢰구간을 구성하는 요소간의 관계를 이해하고 있는지를 알아보기 위해 신뢰구간에 대한 용어를 다르게 표현하여 발문하였다. 그 결과 모평균을 표본평균으로 바뀌어 발문하였을 때 잘 구분하지 못하는 모습을 보였다. 이는 위 세 번째 결론인 표본평균의 분포와 모평균의 추정의 연결에도 영향을 끼쳤겠지만, 모분산과 표본분산의 관계 이해에도 어려움을 겪는 것으로 보인다.
그 결과 첫째, 예비 수학교사들과 고등학생들은 통계 학습과정에서 통계적 추정에 해당되는 모평균의 추정과 모비율의 추정을 가장 어렵게 느끼는 것으로 나타났다. 그 이유로 개념과 용어의 뜻을 정확하게 이해하지 못해서라고 답하고 있다.
두 집단 간 T-test를 진행한 결과 ③, ⑥, ⑦에 대해서 예비 수학교사들은 일관성을 유지하지 못하고 있는 것으로 나타났으나, 고등학생은 어느 정도는 일관성은 유지하고 있는 것으로 나타났다(, , ).
두 집단의 비교분석 결과 확률과 통계 단원의 학습 요소에 대한 난이도 인식에 관해서는 큰 차이가 없으며(), 두 집단 중 많은 학생들이 통계적 추정을 다른 단원보다 더 어려워하고 있음을 확인할 수 있다.
둘째, 신뢰구간 및 신뢰도의 의미를 이해하고 있는지 묻는 문항에서 예비 수학교사들과 고등학생 모두 정답률이 30%대로 매우 낮았다. 신뢰도 95%의 신뢰구간은 같은 추출법으로 n번 반복 추출하여 얻어지는 n개의 구간들 중 95%가 모평균을 포함하고, 이 때 추출을 통해 얻은 하나의 구간을 말하는 데 반해 대부분이 신뢰도의 의미를 신뢰구간이 모평균을 포함할 확률이 0.
또한 두 집단은 모두 표본평균과 모평균의 의미에 대해서 일관성은 유지하고 있는 것으로 나타났다(, ).
①과 비교해 봤을 때 ⑤는 유사 문항이었으나 정답 비율이 줄었다. 분석 결과 ①과 ⑤를 동시에 맞힌 예비 수학교사는 29명(47.5%), 고등학생은 12명(19.0%)에 불과했다. 신뢰도의 의미를 일관되게 이해하지 못하고 있는 학생들도 많다는 것을 알 수 있다.
셋째, 표본평균의 분포와 모평균 추정의 연결에서는 E(x̄)의 값은 대체적으로 두 집단 모두 잘 구하였으나 표본평균의 분산에 대해서는 예비 수학교사와 고등학생의 정답률에 차이가 있어 V(x̄)의 T-test 결과에도 유의미한 차이가 있는 것으로 나타났다. V(x̄)에 대한 이해의 차이는 앞서 언급한 바와 같이 표본평균이 모평균의 불편추정량(unbiased estimator)인 것처럼 표본분산 S2도 모분산 σ2의 불편추정량이다.
둘째, 신뢰구간 및 신뢰도의 의미를 이해하고 있는지 묻는 문항에서 예비 수학교사들과 고등학생 모두 정답률이 30%대로 매우 낮았다. 신뢰도 95%의 신뢰구간은 같은 추출법으로 n번 반복 추출하여 얻어지는 n개의 구간들 중 95%가 모평균을 포함하고, 이 때 추출을 통해 얻은 하나의 구간을 말하는 데 반해 대부분이 신뢰도의 의미를 신뢰구간이 모평균을 포함할 확률이 0.95라고 선택하였다. 신뢰도의 의미를 빈도적인 것이 아닌 확률적인 것으로 이해하고 있어 정확히 인식하고 있지 못함을 반증한다.
<표 Ⅳ-2>에서 볼 수 있듯이 통계적 추정에 해당하는 모평균의 추정과 모비율의 추정 단원이 쉽다고 응답한 예비 수학교사와 고등학생 두 집단은 각각 3.3%, 4.9%; 1.6%, 0.0%로 다른 단원에 비해 매우 낮았고, 어렵다고 느낀 단원은 두 집단 모두 모평균의 추정 39.3%, 34.4%와 모비율의 추정이 각각 55.7%, 39.3%로 가장 높은 비율로 나타났다. 두 집단의 비교분석 결과 확률과 통계 단원의 학습 요소에 대한 난이도 인식에 관해서는 큰 차이가 없으며(<표 Ⅳ-3>), 두 집단 중 많은 학생들이 통계적 추정을 다른 단원보다 더 어려워하고 있음을 확인할 수 있다.
첫째, 통계적 추정 단원에서는 신뢰구간 등을 계산하는 방법 뿐 아니라 그 결과의 의미를 문맥 안에서 해석하는 것 또한 강조해야 한다. 수학과 교육과정에서 학습내용 성취 기준으로 ‘모평균을 추정 하고, 그 결과를 해석할 수 있다.
후속연구
둘째, 모평균의 추정 단원에서는 주변에서 흔히 볼 수 있는 뉴스나 신문 자료에 나타난 모평균 추정 결과를 해석하는 방법도 지도되어야 할 것이다. 이는 신문 기사에서 흔히 사용하는 신뢰수준, 표본 오차 등의 용어에 대한 이해는 민주시민으로서 갖춰야할 필수적인 지식이나, 수학이 아닌 타 과목에서는 배울 기회가 없기 때문이다.
학생들은 이에 대한 절차적 지식만 외워도 아무런 문제가 없기 때문에 모평균의 추정에 관한 자신의 오개념을 직면할 기회를 갖지 못한다. 따라서 모평균의 추정 단원을 학습할 때는 반드시 추정 결과의 해석을 지도하도록 하고, 단원의 평가에 있어서도 추정 결과를 해석할 수 있는지 여부를 평가의 필수 요소로 고려해야 할 것이다.
본 연구에서는 선행연구를 바탕으로 한 몇 가지 용어에 대해서만 이해도를 확인하였다. 이를 바탕으로 후속 연구를 통해 현실 맥락이 있는 통계 자료를 이용해 통계의 귀납적 특성과 유용성에 초점을 맞추어 학습할 수 있는 지도방안이나 학습자료가 개발된다면, 실제 통계적 추정 결과에 대해 신중하고 정확한 시각을 갖는데 도움을 주어 고등학교 확률과 통계과목의 통계적 추정 단원의 연구 발전에 도움이 될 것으로 기대된다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
Freudenthal(1973)은 통계교육을 어떻게 해야한다고 주장했는가?
여기서 자료를 적절히 가공하고 가치를 높일 수 있도록 학교수학에서 지도할 수 있는 단원이 ‘통계’이다. 통계교육에 있어 Moore(1992)는 통계적 자료의 맥락에 따라 자료의 의미가 해석되고 자료의 특성에 따라 분석방법이 결정된다며, 통계 실제와 자료분석으로부터의 통계교육을 주장하였고, Freudenthal(1973)은 기계적인 통계치의 계산보다는 실제적인 자료를 수집하여 이를 표현하고 처리하는 경험을 통해 통계의 기본적인 원리를 이해하도록 함으로써 자료에 대한 비판적인 추론능력을 개발하여야 한다고 주장하였다. 또한, Curcio(1989)는 자료의 분석, 비교, 추론을 ‘자료를 살펴라, 자료 사이를 살펴라, 그리고 자료너머를 살펴라’는 세 가지 관점으로 학교에서의 통계교육을 주장하였다.
통계의 목적은 무엇인가?
통계는 역사적으로 국가의 징세와 징병을 위해 자연스럽게 출발한 수학적 개념으로, 주어진 데이터를 계량하여 보다 합리적으로 처리할 수 있는 능력을 기르는데 목적을 두고 있다. 그러나 고등학교 교육과정에서는 이 내용영역이 매우 이론적으로 다루어지고 있어 본래 교육의 목적과 다소 거리가 있으며, 그로인해 학생들에게 가장 어려운 수학 분야 중 하나로 인식되어 있다.
통계가 고등학교 교육과정에서 어떻게 다루어 지고 있고 그로인해 학생들은 어떻게 통계를 인식하고 있는가?
통계는 역사적으로 국가의 징세와 징병을 위해 자연스럽게 출발한 수학적 개념으로, 주어진 데이터를 계량하여 보다 합리적으로 처리할 수 있는 능력을 기르는데 목적을 두고 있다. 그러나 고등학교 교육과정에서는 이 내용영역이 매우 이론적으로 다루어지고 있어 본래 교육의 목적과 다소 거리가 있으며, 그로인해 학생들에게 가장 어려운 수학 분야 중 하나로 인식되어 있다. 특히, 일상에서 접하는 통계 자료는 대부분 전수조사자료가 아닌 표본자료이기에 이를 정확하게 해석하고 예측하기 위한 통계적 추정의 원리를 이해해야 하는데 이 부분을 학생들은 쉽게 받아들이지 못한다.
참고문헌 (23)
교육부 (2015). 수학과 교육과정. 교육부 고시 제2015-74호 [별책 8].
김원경, 문소영, 변지영 (2006). 수학교사의 확률과 통계에 대한 지식과 신념. 시리즈A, 45(4), 381-406.
김원경, 이혜진 (1992). 고등학생의 확률.통계 단원에 대한 인식 및 학습 실태 조사. , 31(1). 23-34.
김응환, 이석훈 (2007). 통계교육. 서울: 경문사.
김지혜 (2012). '통계적 추정' 단원에서 학생들이 범하는 오류분석과 그 원인 분석. 석사학위 논문. 서울시립대학교 교육대학원, 서울.
김채연 (2014). 모평균의 추정에 관한 학생들의 오개념 분석 및 Geogebra 학습자료 개발. 석사학위 논문. 한국교원대학교 대학원, 청주.
문소영 (2005). 7차 고등학교 수학과 교육과정에서 확률과 통계단원에 대한 인식 및 학습 실태분석. 석사학위 논문. 한국교원대학교 대학원, 청주.
민진원 (2010). 통계적 추정의 지도에 관한 연구. 석사학위 논문. 서울대학교 대학원, 서울.
박선희 (1992). 고등학교 확률 통계 수업을 위한 Cai 프로그램의 설계와 개발. 이화교육논총, 3, 229-239.
백명기 (2008). 고등학교 확률.통계 단원의 개념분석 및 지도방법 연구. 석사학위 논문. 창원대학교 교육대학원, 창원.
송성수 (2010). 통계적 개념에 대한 학생들의 오류 유형 및 교과서 분석. 석사학위 논문. 고려대학교 대학원, 서울.
윤현진, 박선용, 김서령, 이영하 (2009). 수학과 교육 내용 개선 방안 연구. 서울: 한국교육과정평가원.
이영하 (1992). 고등학교 확률 통계 교육의 현황과 개선방향에 관하여. 청람수학교육, 2, 71-92.
이영하, 신수영 (2011). 초.중.고등학교 확률과 통계 단원에 나타난 표본개념에 대한 분석. 수학교육학연구, 21(4), 327-344.
Australian Education Council and Curriculum Corporation (1992). National Report on Schooling in Australia 1991, Curriculum Corporation for the Australian Education Council.
Chance, B., Mas, R., & Garfield, J. (2004). Reasoning about sampling distribitions. In D. Ben-Zbi & J. Garfield(Eds.), The challenge of developing statistical literacy, reasoning and thinking(pp. 295-323). Springer Netherlands.
Curcio, F. R. (1989). Developing Graph Comprehension, NCTM, Reston, VA.
Lipson, K. (2002) The role of computer based technology in developing understanding of the sampling distribution, Proceedings of the 6th International Conference on Teaching Statistics. [CDROM] Voorburg, The Netherlands: International Statistics Institute. [http://www.stat.auckland.ac.nz,-iase,publications,1,6c1_lips.pdf]
Moore, D. S. (1992). What is statistics? In D. C. Hoaglin & D. S. Moore (Eds.), Perspectives on contemporary statistics, The Mathematical Association of America.
NCTM (2000). Principles and Standards for School Mathematics, The National Council of Teachers of Mathematics, Inc.
Filder, F. (2006). From statistical significance to effect estimation: Statistical reform in psychology, medicine and ecology, University of Melbourne, Department of History and Philosophy of Science.
Freudenthal H. (1973). Mathematics as an Educational Task, D. Reidel Publishing Company.
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