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Journal of the Korean Society of Mathematical Education. Series C : Education of primary school mathematics, v.21 no.3, 2018년, pp.289 - 307
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Although mixed calculation of natural numbers is important in that it completes arithmetic calculation of natural numbers in elementary school, few studies have been conducted regarding its instruction methods. Given this, this study analyzed Korean mathematics textbooks (from the fifth textbooks to...
| 핵심어 | 질문 | 논문에서 추출한 답변 |
|---|---|---|
| 한국, 싱가포르, 일본의 교과서를 분석한 결과는 어떠한가? | 한국, 싱가포르, 일본의 교과서를 분석한 결과, 국외 교과서도 자연수의 혼합 계산 관련 단원에서 괄호와 연산 순서를 강조하고 있으나 싱가포르와 일본은 독립적인 단원으로 지도하는 것이 아니므로 우리나라에 비 해 상대적으로 적은 분량을 지도한다는 것을 확인하였다. 또한 이와 더불어 나라별로 의미 있는 차이점을 확인할 수 있었다. 이와 같은 결과를 바탕으로 자연수의 혼합 계산을 지도하는 방안 및 차기 교과서의 관련 단원 개발과 관련하여 구체적인 시사점을 논의하면 다음과 같다. | |
| 자연수의 혼합 계산을 이해한다는 것은 무엇이 필요로 하는가? | 자연수의 혼합 계산을 이해한다는 것은 연산 순서에 대한 이해, 각 연산에 대한 개념적 의미의 이해, 연산과 연산의 관계에 대한 논리적 사고, 연산이 적용되는 상황에 대한 폭넓은 개념적 이해, 혼합 계산과 실생활과의 관계에 대한 이해 등을 필요로 한다(백선수 외, 2008). 이에 근거하여 선행 연구를 고찰한 결과, 자연수의 혼합 계산 지도에 관한 선행 연구는 크게 괄호 지도에 관한 연구와 연산 순서 지도에 관한 연구로 구분할 수 있다. | |
| 자연수의 혼합 계산을 지도하는 방안 및 차기 교과서의 관련 단원 개발과 관련하여 구체적인 시사점은 어떠한가? | 첫째, 자연수의 혼합 계산과 관련한 학습 내용의 통합 및 경감을 통해 학습 부담을 완화할 필요가 있다. 2009 개정 수학 교과서에서는 학습량 감소의 취지에 따라 한 학기에 8개 단원에서 6개 단원으로 조정하는 과정에서 7차 수학 교과서와 2007 개정 수학 교과서에 제시된 ‘자연수의 혼합 계산’과 ‘규칙 찾기’의 두 단원이 하나의 단원으로 합쳐졌다(한국과학창의재단, 2015). 그러나 이러한 취지가 자연수의 혼합 계산과 관련한 학습량의 감소로 이어지지는 않은 것으로 보인다. 하나의 예로, 2007 개정 수학 교과서부터 <덧셈, 뺄셈, 곱셈의 혼합 계산>과 <덧셈, 뺄셈, 나눗셈의 혼합 계산>을 분절적으로 제시하는 차시 구성이 유지되고 있었다. 우리나라와 달리 국외 교과서는 이를 통합하여 제시한다. 곱셈의 계산이 나눗셈의 계산에 선행한다고 인식하는 연산 순서와 관련한 오개념이 있으므로 (Dupree, 2016), 현재 두 차시로 분리된 학습 내용을 함께 제시하여 <덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 혼합 계산>에서 연산 순서를 통합적으로 인식할 수 있도록 지도할 필요가 있다. 또한, 우리나라는 연산 순서의 규칙을 각 차시마다 제시하여 5번 제시하고 있으나 싱가포르는 3번, 일본은 2번 제시하고 있는데 이 또한 학습 내용의 분량 차이에 기인한다. 더불어, 괄호와 관련한 학습 내용이 다소 반복되어 제시되고 있는 것도 학습량 감소의 취지에 부합하지 않는 것으로 보인다. 2009 개정 수학 교과서에서는 계산 순서를 조금 더 명확하게 이해시키고자 각 차시마다 괄호를 제시하며, 조금 더 복잡한 식에서 괄호 차시를 별도로 한 차시를 정하여 괄호의 의미를 정확하게 이해할 수 있도록 구성하였으나(한국과학창의재단, 2015), 괄호 지도와 관련하여 교육과정별 교과서마다 일관된 흐름이 없었으므로 학습량 감소의 취지를 반영할 필요가 있다. 이와 같이 학습 내용의 통합 및 경감을 고려한다면 자연수의 혼합 계산을 하나의 단원으로 구성하고 있는 실정을 재고할 필요가 있다. 싱가포르와 일본의 경우 ‘자연수의 혼합 계산’을 대단원의 소단원 중 하나로 제시하고 있다는 점도 주목할 필요가 있다. 둘째, 괄호 도입 및 연산 순서를 지도할 때 실생활 맥락을 적절하게 활용할 필요가 있다. 괄호 도입과 관련하여, 2009 개정 수학 교과서는 괄호 사용에 대한 표현을 실생활 맥락과 관련 없이 직접적으로 제시하고 있으므로 이를 통해서는 학생들이 괄호의 필요성을 인식하기가 어렵다. 괄호의 개념 형성과 그 필요성을 부각하기 위해서는 실생활 맥락이 유용하다(김창수, 강정기, 2016). 일본 교과서처럼 실생활 맥락을 제시하고 학생의 계산 방식에 따라 괄호가 있는 혼합 계산과 괄호가 없는 혼합 계산을 함께 제시하되, 2009 개정 수학 교과서처럼 괄호에 의해 달라지는 계산 결과를 비교하게 하는 지도 방법이 유지될 필요가 있다(이대현 외, 2016). 또한 연산 순서의 제시와 관련하여, 실생활 맥락의 문제 상황은 혼합 계산의 필요성을 부각하는 정도로 활용될 수 있고(고정화, 2012), 규약인 연산 순서를 학생들이 이해의 대상으로 인식하도록 도울 수 있다(김창수, 강정기, 2016). 5차 수학 교과서부터 2009 개정 수학 교과서에 이르는 우리나라 교과서는 대부분 실생활 맥락의 문제 상황을 통해 연산 순서를 제시하고 있다. 그러나 모든 연산자가 혼합된 <덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 혼합 계산>에서 제시되는 연산 순서의 규칙은 학습한 연산의 순서를 종합하는 내용으로 2009 개정 수학 교과서를 제외한 5차 수학 교과서부터 2007 개정 수학 교과서, 싱가포르, 일본까지도 실생활 맥락 활용 없이 규칙을 직접적으로 제시하고 있었다. 혼합 계산 중 연산자가 많이 포함된 계산식은 실생활과 연관시킬 수 있는 부분이 제한적이고 일상용어로 제시함으로써 혼란을 더 가중시킬 수 있으므로(한국과학창의재단, 2015), <덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 혼합 계산>까지 실생활 맥락을 활용하는 것이 유용할지 고려할 필요가 있다. 셋째, 표현 방법을 기술함에 있어 괄호 사용과 연산 순서 규칙에 대해 각각의 학습 내용의 특징에 부합할 수 있도록 주의를 기울여야 한다. 먼저, 괄호는 연산이 아니라 혼합 계산식에서 독립적으로 계산되어야 하는 그룹의 관습적 표현인데 연산 순서와 관련하여 괄호는 제일 먼저 계산되어야 한다고 인식하는 오개념이 있다(Dupree, 2016). 괄호를 연산 규칙으로 보는 우리나라와 싱가포르와 달리 일본은 괄호를 먼저 계산할 부분을 알려주기 위한 표현의 수단으로 살피고 있다는 점에 주목할 필요가 있다. 이는 고준석 외(2017)의 연구에서 괄호의 의미를 ‘하나의 집합’으로 사용할 것과 이대현(2017)의 연구에서 교사들은 괄호 사용의 규약을 알고 주의 깊게 사용해야 함을 강조한 내용과 일맥상 통하다. 또한, 연산 순서의 규칙 표현에 대해 연산의 구조를 시각적으로 파악할 수 있게 도식화하여 제시할 필요가 있다. 식의 구조를 인식하는 것은 후속 대수 학습에도 중요하며 식의 구조적 분석은 계산 순서가 다양한 방식으로 결정될 수 있음을 인식하게 한다(고정화, 2012). 이에 2007 개정 수학 교과서처럼 계산 순서의 규칙을 제시할 때 혼합 계산식을 도식화하는 방식을 고려할 필요가 있다. 넷째, 계산 방식이 드러난 실생활 문제 상황을 제시하고 학생이 스스로 식을 세우고, 식을 통해 문제 상황을 만들어보는 학생 활동을 장려할 필요가 있다. 주어진 조건을 사용하여 올바른 식을 세워보는 활동과(이대현 외, 2016; 정기근 외, 2007), 주어진 식에 알맞은 새로운 문제를 만들어 해결하고 그 과정을 검증하는 문제 만들기 활동은 문제 해결 능력 신장에 중요하기 때문이다(교육부, 2015). 일본에서는 주어진 혼합 계산식에 대한 문제 상황을 만들어 보는 활동 및 연습 문제까지 제시되고 있음에 주목할 필요가 있다. 이와같이 정형화되지 않은 문제를 수학 익힘책이나 교사용 지도서에 제시한다면 교과서 지면상의 한계를 극복하면서 학생들에게 문제해결력 신장의 기회를 제공할 수 있을 것이다. 마지막으로, 계산기를 활용하여 자연수의 혼합 계산을 지도하는 것은 정보 처리 능력 신장 및 계산 순서를 내면화하는 방법이 될 수 있다. 자연수의 혼합 계산은 사칙 계산이 완료됨을 의미하므로 계산 능력의 배양보다는 계산 순서의 내면화에 초점을 두어 지도하여야 한다. 싱가포르에서는 계산기에 주어진 혼합 계산식의 계산 순서에 맞게 숫자와 연산자를 입력하여 해결한 결과와 지필로 해결한 결과와 비교하는 활동을 통해 계산 순서를 내면화할 수 있도록 제시하고 있다. 2009 개정 수학 교과서의 ‘자연수의 혼합 계산’ 단원에도 계산기를 활용한 문항이 존재하나 이는 계산 순서의 내면화가 아닌 ‘규칙 찾기’에 관한 것이다. 교과서에 계산기를 활용하여 계산 순서를 자연스럽게 익히는 활동을 구성한다면 2015 개정 수학과 교육과정에서 강조하는 정보 처리 능력 신장에 도움이 될 것이다. |
Ko, J. H. (2012). Review of the unit on the mixed calculations in the 4th grade. Journal of Educational Research in Mathematics, 22(4), 477-494.
Ko, J. S., Choi, J. H., Lee, S. E., & Park, K. S. (2017). A study on the order of mixed calculations in Korean elementary school mthematics. Journal of Elementary Mathematics Education in Korea, 21(3), 631-646.
Ministry of Education and Science Technology (2010a). Mathematics 4-1. Seoul: Doosan Dong-A.
Ministry of Education and Science Technology (2010b). Mathematics Teacher's Manual 4-1. Seoul: Doosan Dong-A.
Ministry of Education (1996a). Mathematics 4-2. Chungnam: National Textbook Corporation.
Ministry of Education (1996b). Mathematics Teacher's Manual 4-2. Chungnam: National Textbook Corporation.
Ministry of Education & Human Resources Development (2005a). Mathematics 4-Ga. Seoul: Chunjae.
Ministry of Education &Human Resources Development (2005b). Mathematics Teacher's Manual 4-Ga. Seoul: Chunjae.
Ministry of Education (2014a). Mathematics 4-1. Seoul: Chunjae.
Ministry of Education (2014b). Mathematics Teacher's Manual 4-1. Seoul: Chunjae.
Ministry of Education (2015). Mathematics curriculum. Ministry of Education Notice 2015-74 [supplement 8].
Kim, J. W., & Kwon, S. Y. (2017). A comparative analysis of decimal numbers in elementary mathematics textbooks of Korea, Singapore and the US. School Mathematics, 19(1), 209-228.
Kim, C. S., & Kang, J. G. (2016). A study on the mathematical notation of expression in terms of skipping the parenthesis. Journal of the Korean School Mathematics Society, 19(1), 1-19.
Ministry of Education (1990a). Mathematics 4-2. Chungnam: National Textbook Corporation.
Ministry of Education (1990b). Mathematics teacher's manual 4-2. Chungnam: National Textbook Corporation.
Pang, J. S. (2016). Direction and issues of developing elementary mathematics textbooks. Kim, J. H. & Kwon, N. Y. (Eds.), School mathematics and textbooks development (pp. 217-236). Korean Society of Mathematical Education 2016 Yearbook. Seoul: Kyungmoon
Pang, J. S., Kwon, M. S., Kim, M. J., Choi, I. Y., & Sunwoo, J. (2016). A comparative analysis of capacity and weight in elementary mathematics textbooks of Korea, Japan, Singapore, and the US. Journal of Elementary Mathematics Education in Korea, 20(4), 627-654.
Baek, S. S., Kim, W. K., & Mun, S. H. (2008). A study on the error types of fifth elementary students in mixed calculations of natural number. East Asian Math, 24(5), 547-564.
Lee, D. H. (2017). An analysis on the error types of elementary students and pre-service teachers in mixed calculations of natural number. Journal of the Korean School Mathematics Society, 20(2), 141-161.
Lee, D. H., Cho, Y. H., & Ko, E. E. (2016). Preliminary research report on the mixed calculations. Sourcebook of the 2nd workshop for the development of instructional materials of mathematics for grades 5-6, Vol. 1, pp. 75-90. Seoul: Korea Foundation for the Advancement of Science and Creativity.
Chang, H. W. (2016). A longitudinal study on the mthematical contents changed in 2015 national revised curriculum for elementary school mathematics. Journal of Elementary Mathematics Education in Korea, 20(2), 215-238.
Jeong, G. G., Kim, M. J., & Roh, E. H. (2007). An effectiveness analsis of the development and application of a prescribed program for the mixed calculation of natural numbers. Journal of the Korean School Mathematics Society, 10(4), 471-485.
Jeong, E. S. (2009). An comparative analysis of fraction concept in mathematics textbooks of Korea and Singapore. Journal of Educational Research in Mathematics, 19(1), 25-43.
Choi, B. H., Pang, J. S., Song. K. Y., Hwang, H. M., Gu, M. J., & Lee, S. M. (2006). A comparative analysis of elementary mathematics textbooks of Korea and Singapore: Focused on the geometry and measurement strand. School Mathematics, 8(1), 45-68.
Korea Foundation for the Advancement of Science and Creativity (2015). A report of the development of elementary mathematics instructional materials. Vol. 2. Seoul: Kyungsung Culture.
Hwang, H. M. (2013). An analysis and level development of mathematics textbooks use by elementary teachers. Unpublished doctoral dissertation, KNUE.
Ameis, J. A. (2011). The truth about PEDMAS. Mathematics Teaching in the Middle School, 16(7), 414-420.
Dupree, K. M. (2016). Questioning the order of operations. Mathematics Teaching in the Middle School, 22(3), 152-159.
Hitotsumatsu, S., Masaki, K., Akai, T., Okada, Y., Machida, S., Moriya, Y., et al. (2011). Study with your friends mathematics for elementary school 4-2. Takeshi, Nara: GAKKOHTOSHO.
Kheong, F. H., Ramakrishnan, C., & Choo, M. (2014). My pals are here! Maths 5A (2nd Ed). Singapore: Marshall Cavendish Education.
Merlin, E. M. (2008). Beyond PEMDAS: Teaching students to perceive algebraic structure. Unpublished master's thesis, University of Maryland, College park, MD.
Rambhia, S. (2002). A new approach to an old order. Mathematics Teaching in the Middle School, 8(4), 193-195.
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오픈액세스 학술지에 출판된 논문
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