[논문]2015 개정 교육과정에 따른 수학교과서 문제제기 과제 분석 : 중학교 1학년을 중심으로

박미미; 이은정; 조진우

doi:10.7468/jksmee.2019.33.2.123

2015 개정 교육과정에 따른 수학교과서 문제제기 과제 분석 : 중학교 1학년을 중심으로
An Analysis of Problem-Posing Tasks in 7th grade Mathematics Textbooks Based on 2015 National Mathematics Curriculum 원문보기

Journal of the Korean Society of Mathematical Education. Series E: Communications of Mathematical Education, v.33 no.2, 2019년, pp.123 - 139

박미미 (한국교원대학교) , 이은정 (춘천교육대학교) , 조진우 (경인교육대학교)

초록
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이 연구는 우리나라 중등 수학교과서가 학생들에게 문제제기 활동의 기회를 충분히 주고 있는지 확인하기 위하여 2015 개정 수학과 교육과정에 따른 중학교 1학년 수학교과서의 문제제기 과제를 내용 영역, 과제 유형, 과제 맥락 등의 측면에서 분석하였다. 2015년 개정 수학과 교육과정에 따른 중학교 1학년 수학교과서 10종을 분석한 결과, 교과서에 포함된 문제제기 과제의 수는 적은편이며, 내용 영역별로 과제가 고르게 분포되어 있지 않았다. 문제제기 과제의 수학적 제약의 정도에 따라 분석한 결과, 수학적 제약 조건이 강하거나 약한 과제보다는 상대적으로 중간 정도의 제약 조건을 가지는 문제제기 과제가 더 많았다. 맥락 구성 요구에 따른 분석 결과, 학생들에게 새로운 맥락을 요구하지 않는 문제제기 과제가 더 많았고, 이러한 과제들은 주로 가장된 맥락을 사용하고 있었다. 이러한 결과를 바탕으로 수학교과서에서의 문제제기 과제 활용을 위한 시사점을 제시하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

This study analyzed how problem-posing tasks included in Korean middle school mathematics textbooks were distributed in terms of content area, task type, and context of task to investigate that the mathematics textbooks are giving students ample opportunities for problem-posing activities. The analysis of 10 mathematics textbooks for first grade in middle school according to the revised mathematics curriculum in 2015 found that the problem-posing tasks contained in the textbooks are insufficient in quantity and not evenly distributed in terms of content areas. There were also more problem-posing tasks with relatively moderate constraints than those with strong or weak constraints in terms of mathematical constraints. In addition, there were more problem-posing tasks that were not requiring students to make a new context, and more often camouflage contexts were used. Based on this, implications for improving mathematics problem-posing tasks in mathematics textbook were suggested.

주제어

표/그림 (11)

그림 [그림 III-1] 수학 과제 개수 구분 사례(류희찬 외, 2018, p. 180)
그림 [그림 III-2] SC 코드로 분류된 과제(고호경 외, 2018, p. 132)
표 <표 III-1> 내용 영역에 따른 중학교 1학년 수학교과서에 포함된 수학과제 개수
그림 [그림 III-3] NC2 과제로 분류된 과제(이준열 외, 2018, p. 105)
표 <표 IV-1> 내용 영역에 따른 중학교 1학년 수학교과서 문제제기 과제 분포
그림 [그림 IV-1] 동일한 수학적 관계 혹은 구조를 가지는 질문 제기하기 과제(유형2)(이준열 외, 2018, p. 89)
표 <표 IV-2> 수학적 제약에 따른 중학교 1학년 수학교과서 문제제기 과제 분포
그림 [그림 IV-2] 주어진 정보에 기반을 둔 질문 제기하기 과제(유형4)(류희찬 외, 2018, p. 284)
표 <표 IV-3> 맥락 구성 요구에 따른 중학교 1학년 수학교과서 문제제기 과제 분포
그림 [그림 IV-3] 새로운 맥락의 구성을 요구하는 과제(김원경 외, 2018, p. 114)
그림 [그림 V-1] 적절하고 본질적인 맥락을 가지는 문제제기 과제 (김구연, 전미현, 2017, p. 308의 [그림 IV-11]에서 저자 수정)

AI 본문요약
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문제 정의

따라서 이 연구에서는 수학 문제를 제기하는 것과 단순질문이나 연습문제 제기하는 것을 구분하지 않고 모두 포괄하여 ‘문제제기’라는 용어를 사용하고자 한다.
지속적으로 수학과 교육과정에서 문제제기를 강조해온 우리나라 중등 수학교과서에서 학생들에게 문제제기 활동의 기회를 충분히 주고 있는지 확인하기 위해서는 최신 교육과정에 따른 수학교과서에서 문제제기 과제의 양상을 종합적으로 분석할 필요가 있다. 이에 이 연구에서는 2015 개정 수학과 교육과정에 따른 중학교 1학년 수학교과서에서 문제제기 과제가 어떻게 분포하고 있는지 내용 영역, 과제 유형, 맥락 구성 요구 등의 측면에서 확인하는 것을 목적으로 한다. 구체적으로 연구문제를 서술하면 다음과 같다.

제안 방법

과제 유형별 문제제기 과제의 분포를 알아보기 위하여 Cai과 Jiang(2017)에서 구분한 네 가지 유형에 따라 문제제기 과제들을 분류하였다. 각 유형은 2장에서 제시한 바와 같이 ‘문제에서 주어진 산술 연산으로 해결될 수 있는 이야기’나 ‘문장제 문제를 만들도록 요구한 유형’, ‘동일한 수학적 관계나 구조를 가지는 질문들을 제기하도록 요구한 유형’, ‘주어진 정보와 예시 질문에 기반을 두고 추가적으로 질문을 제기하도록 요구한 유형’, ‘주어진 정보에 기반을 두고 질문을 제기하도록 요구한 유형’이다.
내용 영역별 문제제기 과제의 분포를 알아보기 위하여 2015 개정 수학과 교육과정에서의 중학교 내용 영역인 ‘수와 연산’, ‘문자와 식’, ‘함수’, ‘기하’, ‘확률과 통계’의 5개 내용 영역별 전체 수학 과제의 개수와 문제제기 과제의 개수를 조사하였다.
각 유형은 2장에서 제시한 바와 같이 ‘문제에서 주어진 산술 연산으로 해결될 수 있는 이야기’나 ‘문장제 문제를 만들도록 요구한 유형’, ‘동일한 수학적 관계나 구조를 가지는 질문들을 제기하도록 요구한 유형’, ‘주어진 정보와 예시 질문에 기반을 두고 추가적으로 질문을 제기하도록 요구한 유형’, ‘주어진 정보에 기반을 두고 질문을 제기하도록 요구한 유형’이다. 네 유형에 따라 세 명의 연구자들(가, 나, 다)이 각자 문제제기 과제들을 분류하였으며, 분류 결과를 두 명의 연구자들이 각각 상호 교차 검토하였다. 교차 검토 결과, 가와 나 연구자는 80%, 나와 다 연구자는 91%, 가와 다 연구자는 88%의 일치도를 보였다.
첫째, 각 단원의 내용이 시작되기 전에 제시된 준비학습 과제의 경우에는 현재 단원의 학습 내용이 아니므로 분석 대상에 포함시키지 않았으며, 준비학습 외 나머지 과제들은 모두 분석 대상에 포함하였다. 둘째, 하나의 문제가 여러 개의 소문제로 구성되어 있는 경우에는 소문제의 성격에 따라 분류하였다. 소문제가 서로 관련이 있는 유형이거나 숫자만 바꾸어 제시되는 경우에는 소문제들을 하나의 과제로 간주하였으며, 소문제가 서로 관련이 없는 유형일 경우에는 각 문제를 하나의 과제로 간주하였다.
맥락 구성 요구별 문제제기 과제의 분포를 알아보기 위하여 우선 문제제기 과제들이 학생들로 하여금 문제를 만들 때 새로운 맥락을 요구하고 있는지의 여부에 따라 문제제기 과제들을 분류하였다. 문제를 만들 때 학생들이 새로운 맥락을 생성하도록 요구하는 문제제기 과제는 SC로 코딩하였으며, 새로운 맥락을 생성하도록 요구하고 있지 않은 문제제기 과제는 NC로 코딩하였다.
맥락 구성 요구별 문제제기 과제의 분포를 알아보기 위하여 우선 문제제기 과제들이 학생들로 하여금 문제를 만들 때 새로운 맥락을 요구하고 있는지의 여부에 따라 문제제기 과제들을 분류하였다. 문제를 만들 때 학생들이 새로운 맥락을 생성하도록 요구하는 문제제기 과제는 SC로 코딩하였으며, 새로운 맥락을 생성하도록 요구하고 있지 않은 문제제기 과제는 NC로 코딩하였다. 예를 들어, [그림 Ⅲ-2]의 과제는 학생들에게 반비례에 해당하는 새로운 맥락을 구성하도록 요구하기 때문에 SC로 코딩하였다.
본 연구는 문제제기 과제가 중학교 1학년 수학교과서에 포함되어 있는 양상을 전체 과제에 대한 문제제기 과제의 비율, 내용 영역별 문제제기 과제의 포함 여부와 비율, 수학적 제약에 따른 문제제기 과제의 분포, 맥락에 따른 문제제기 과제의 분포 측면에서 분석하였다. 연구 결과로, 교과서에 포함된 문제제기 과제가 양적으로 부족하다는 것을 확인하였다.
세 명의 연구자들이 각자 맥락 구성 요구별로 문제제기 과제들을 코딩하였으며, 코딩 결과를 두 명의 연구자들이 각각 상호 교차 검토하였다. 교차 검토 결과, 가와 나 연구자는 93%, 나와 다 연구자는 91%, 가와 다 연구자는 90%의 일치도를 보였다.
마지막 유형은 주어진 정보에 기반을 둔 질문 제기하기이다. 이러한 과제에서는 맥락과 정보만 제공하고, 주어진 정보에 기반을 두어 질문들을 생성하도록 한다. 이때 예시 문제는 제시하지 않는다.

대상 데이터

중학교 1학년 수학교과서에 포함된 문제제기 과제를 분석하기 위하여 2015 개정 수학과 교육과정에 따라 개발된 중학교 교과서 10종을 선정하였다. 분석 대상은 천재교육에서 출판한 2종, 두산동아에서 출판한 2종, 교학사, 비상교육, 미래엔, 좋은책신사고, 지학사, 금성출판사에서 출판한 각 1종의 교과서였다. 편의상 10종의 교과서는 임의대로 교과서 A, B, C, D, E, F, G, H, I, J로 표기하였다.
중학교 1학년 수학교과서에 포함된 문제제기 과제를 분석하기 위하여 2015 개정 수학과 교육과정에 따라 개발된 중학교 교과서 10종을 선정하였다. 분석 대상은 천재교육에서 출판한 2종, 두산동아에서 출판한 2종, 교학사, 비상교육, 미래엔, 좋은책신사고, 지학사, 금성출판사에서 출판한 각 1종의 교과서였다.

이론/모형

본 연구에서는 연구 목적을 고려하여, 맥락이라는 용어를 첫 번째 의미와 같이 학생들에게 제시되는 과제의 특성을 뜻하는 것으로 사용한다(Sullivan, Zevenbergen, & Mousley, 2003; Van den Heuvel-Panhuizen, 2005).

성능/효과

10종의 수학교과서 중 9종의 교과서에서는 ‘주어진 정보와 예시 질문에 기반을 두어 추가 질문 제기(유형3)’가 가장 높은 비율을 차지하는 과제 유형이었으나, 일부 교과서에서는 ‘동일한 수학적 관계 혹은 구조를 가지는 질문 제기(유형2)’가 가장 높은 비율을 차지하였다.
4%)의 순서대로 높은 비율을 나타냈다. 10종의 중학교 1학년 수학교과서 중에서 6종의 교과서가 문자와 식 영역에 가장 많은 문제제기 과제를 포함하고 있었고, 3종의 교과서에서는 함수 영역, 1종의 교과서만 수와 연 산 영역에 가장 많은 과제를 포함하고 있었다.
2%(67개)로 나타났다. 교과서 마다 평균적으로 약 6개의 문제제기 과제를 포함하고 있었고, 교과서 A가 전체 과제 수의 3.2%(19개)를 문제제기 과제로 제시하면서 가장 높은 비율로 포함하고 있었으며, 교과서 J가 전체 과제 수의 0.1%(1개)를 제시하면서 가장 낮은 비율의 문제제기 과제를 포함하고 있었다. 교과서 A를 제외한 나머지 교과서들은 모두 전체 과제 수의 2% 이하를 문제제기 과제로 포함하고 있었다.
네 유형에 따라 세 명의 연구자들(가, 나, 다)이 각자 문제제기 과제들을 분류하였으며, 분류 결과를 두 명의 연구자들이 각각 상호 교차 검토하였다. 교차 검토 결과, 가와 나 연구자는 80%, 나와 다 연구자는 91%, 가와 다 연구자는 88%의 일치도를 보였다. 일치하지 않는 코딩은 논의를 통해 합의를 이루었다.
세 명의 연구자들이 각자 맥락 구성 요구별로 문제제기 과제들을 코딩하였으며, 코딩 결과를 두 명의 연구자들이 각각 상호 교차 검토하였다. 교차 검토 결과, 가와 나 연구자는 93%, 나와 다 연구자는 91%, 가와 다 연구자는 90%의 일치도를 보였다. 일치하지 않는 코딩은 논의를 통해 수정하였다.

예를 들어, 최상기와 목연하(2011)는 우리나라에서 문 제제기가 ‘문제만들기’라는 용어로 처음으로 명시된 2007 개정 교육과정에 따른 중학교 1학년 수학교과서에 포함 된 문제제기 과제를 분석하였다. 그 결과, 교과서에 포함된 문제제기 과제는 전체 과제의 약 1.5%였다. 이후 두 번의 교육과정 개정이 이루어진 현재에도 문제제기 과제가 전체 과제의 1.

다섯 가지 내용 영역 모두에 문제제기 과제를 포함하고 있는 교과서는 교과서 A와 D 2종뿐이었고, 나머지 8 종은 적어도 한 개 이상의 영역에 문제제기 과제를 포함하고 있지 않았다. 이와 같이 문제제기 과제가 내용 영 역별로 다르게 분포한다는 결과는 선행연구인 최상기와 목연하(2011), Cai와 Jiang(2017), Cai 외(2016)의 결과와 유사하다.

이는 학생들에게 맥락의 구성을 요구하는 문제제기 과제라고 할 수 있다. 두 번째로, 맥락이 주어진 문제제기 과제는 문제해결 과제와 유사하게 주어진 맥락과 수학 사이의 관계를 고려하여 맥락의 적절성 따져볼 수 있다. 이를 고려하면, 맥락이 있는 문제제기 과제를 유의미한 맥락이 있는 과제와 가장된 맥락이 있는 과제로 구분할 수 있다.

연구 결과로, 교과서에 포함된 문제제기 과제가 양적으로 부족하다는 것을 확인하였다. 또한 내용 영역의 측면에서 문제제기 과제가 균등하게 분포해 있지 않으며, 수학적 제약의 측면에서는 상대적으로 중간 정도의 제약을 가지는 과제들이 많음을 확인하였다.

마지막으로 맥락 구성 요구 여부에 따라 문제제기 과제를 분석한 결과, 새로운 맥락을 구성하도록 요구하지 않는 문제제기 과제가 더 많고, 맥락이 주어졌을 때에는 가장된 맥락을 활용하는 경우가 많았다. 이러한 결과는 맥락을 가지는 문제제기 과제에서, 적절하고 본질적인 맥락 사용의 중요성이 더욱 강조될 필요가 있음을 드러낸다.

문제제기 과제들을 내용 영역에 따라 분석했을 때, 10종의 수학교과서에 포함된 총 문제제기 과제들은 문자 와 식 영역(3.0%)에 가장 높은 비율로 분포하였고, 다음으로는 함수(1.8%), 수와 연산(0.9%), 확률과 통계(0.4%), 기하(0.4%)의 순서대로 높은 비율을 나타냈다. 10종의 중학교 1학년 수학교과서 중에서 6종의 교과서가 문자와 식 영역에 가장 많은 문제제기 과제를 포함하고 있었고, 3종의 교과서에서는 함수 영역, 1종의 교과서만 수와 연 산 영역에 가장 많은 과제를 포함하고 있었다.

3%(29개)가 새로운 맥락의 구성을 요구하였으며, 이중 교과서 A가 6개, 교과서 J가 1개로 각각 가장 많은 수와 적은 수의 새로운 맥락 구성 요구 과제를 포함하고 있었다. 비율의 측면에서 교과서 H와 I가 각 교과서에 포함된 문제제기 과제 중 66.7%(각 2개)로 가장 높은 비율로 새로운 맥락 구성을 요구하는 문제제기 과제를 포함하고 있었고, 교과서 B가 30%(3개)로 가장 낮은 비율로 새로운 맥락 구성을 요구하는 과제를 포함하고 있었다.

본 연구는 문제제기 과제가 중학교 1학년 수학교과서에 포함되어 있는 양상을 전체 과제에 대한 문제제기 과제의 비율, 내용 영역별 문제제기 과제의 포함 여부와 비율, 수학적 제약에 따른 문제제기 과제의 분포, 맥락에 따른 문제제기 과제의 분포 측면에서 분석하였다. 연구 결과로, 교과서에 포함된 문제제기 과제가 양적으로 부족하다는 것을 확인하였다. 또한 내용 영역의 측면에서 문제제기 과제가 균등하게 분포해 있지 않으며, 수학적 제약의 측면에서는 상대적으로 중간 정도의 제약을 가지는 과제들이 많음을 확인하였다.

전체 문제제기 과제(67개) 중 59.7%(40개)가 ‘주어진 정보와 예시 질문에 기반을 두고 추가 질문 제기(유형3)’에 해당하여 가장 높은 비율을 차지하였다.

문제제기 과제를 과제의 맥락과 관련하여 분석하는 것은 다음과 같이 수행될 수 있다. 첫 번째로, 문제제기 과제는 문제해결 과제와 다르게 학생들이 실제로 문제를 만들 기회를 제공하므로, 맥락의 유무와 별개로 학생들이 주어진 수학적 문제 혹은 구조에 대해 맥락이 있는 과제를 만들도록 요구하는 것도 가능하다. 이는 학생들에게 맥락의 구성을 요구하는 문제제기 과제라고 할 수 있다.

후속연구

이는 교과서 내에 수학 문제제기 과제를 영역별로, 수학적 제약에 따라, 맥락에 따라 어떻게 배치하는 것이 좋을지에 대한 추가적인 정보를 제공해 줄 수 있다. 또한 본 연구는 특정 학년의 교과서만 분석했다는 점에서 제한적이다. 따라서 다른 학교급과 학년에 대한 교과서를 분석하는 것으로 연구가 확장될 필요가 있다.

또한 중국과 미국과 같이 문제제기를 강조하고 있는 나라의 초등학교 교과서에서도 나라마다 수학적 제약의 정도에 따른 과제의 분포가 균등하지 않았고, 국가마다 서로 다른 유형(중국 교과서의 경우 세 번째 유형, 미국 교과서의 경우 첫 번째 유형)이 특히 강조되었다는 점(Cai & Jiang, 2017; Cai et al., 2016)을 보았을 때, 이는 우리나라 수학교과서에서 제시하고 있는 문제제기 과제의 특징인지 아니면 학교급에 따른 차이인지 밝힐 수 있는 후속 연구가 이루어질 필요가 있을 것이다.

본 연구의 결론은 교육과정에서 강조하는 문제제기 활동을 수학 수업에서 활성화시키기 위해서 수학교과서에 포함되어 있는 문제제기 과제의 양, 내용 영역별 그리고 수학적 제약별 분포, 맥락 구성 요구 및 맥락의 적절성에 비추어 수학교과서에 제시된 문제제기 과제의 개선 방안을 모색할 필요가 있다는 것이다. 이와 함께, 교과서에 배치된 문제제기 과제를 교사가 수학 수업에서 계획하고 활용하는 방법이 구체적으로 제안된다면, 문제제기 활동을 강조하는 교육과정의 제안을 충분히 실현할 수 있을 것이다.

따라서 다른 학교급과 학년에 대한 교과서를 분석하는 것으로 연구가 확장될 필요가 있다. 이는 문제제기과제 측면에서 우리나라 수학교과서의 학교급과 학년에 따른 특징을 살펴보는 것을 가능하게 하여, 학생의 인지적 발달 수준과 교과서의 문제제기 과제 사이의 관계를 연결시킬 기회를 제공할 것이다.

본 연구의 결론은 교육과정에서 강조하는 문제제기 활동을 수학 수업에서 활성화시키기 위해서 수학교과서에 포함되어 있는 문제제기 과제의 양, 내용 영역별 그리고 수학적 제약별 분포, 맥락 구성 요구 및 맥락의 적절성에 비추어 수학교과서에 제시된 문제제기 과제의 개선 방안을 모색할 필요가 있다는 것이다. 이와 함께, 교과서에 배치된 문제제기 과제를 교사가 수학 수업에서 계획하고 활용하는 방법이 구체적으로 제안된다면, 문제제기 활동을 강조하는 교육과정의 제안을 충분히 실현할 수 있을 것이다.

그러나 우리나라 교육과정에서 문제제기 활동이 특정 내용 영역에서만 강조되는 것이 아니라는 점(교육부, 2015)과 문제 제기 과제가 없거나 상대적으로 적은 기하와 통계 영역에서도 추측과 비판적 사고를 강조한다는 점을 고려할 때, 현재 교과서 내의 문제제기 과제의 내용 영역에 따른 분포는 재고될 필요가 있는 것으로 보인다. 향후 개발되는 교과서에는 보다 균형적으로 내용 영역마다 문제제기 과제들이 포함되도록 하는 것이 보다 바람직할 수 있다.

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질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변

학교 교육과정에 문제제기를 넣는 이유는 무엇인가? 이와 같이 많은 국가들에서 문제제기를 학교 교육과정에 포함하고 있는 것은 문제제기가 수학 학습에 가지는 이점 때문이다. 문제제기 관련 선행연구들은 수학적 문제제기 능력이 수학적 문제해결 능력뿐만 아니라(Silver& Cai, 1996; Cai & Hwang, 2002; Xie & Masingila, 2017) 수학적 창의성(Silver, 1997; Yuan & Sriraman,2011)과도 관련되고, 문제제기 활동을 통해 학생의 수학적 사고(Silver, 1994) 및 문제 구조와 수학의 기본 개념에 대한 이해가 향상될 수 있다고 하였다(English, 1997). 이러한 이점을 가지는 문제제기 활동이 수학 수업에서 활성화되기 위해서는 수업에서 교사가 쉽게 활용할 수 있는 수학 교수·학습 자료의 형태로 문제제기 과제가 제공될 필요가 있다.

문제제기는 무엇인가? 문제제기는 새로운 문제를 만들어내는 것 혹은 주어진 문제를 새로운 문제로 재구성(re-formulation)하는 것 모두를 지칭한다(Silver, 1994). 문제해결의 맥락에서 ‘문제’는 고유의 의미를 가진다.

수학교육 연구에서 맥락이라는 용어는 어떻게 사용되는가? 수학교육 연구에서 맥락이라는 용어는 다양하게 사용된다(Van den Heuvel-Panhuizen, 2005). 맥락은 수학적 문제 혹은 구조가 포함되어 있는 과제나 활동에서 수학적인 것이 해석되는 수학 외적인 상황을 뜻하기 위해서도 사용되고(예를 들어, Chow & Haneghan, 2016; Wernet, 2017; Wijaya, Van den Heuvel-Panhuizen, &Doorman, 2015), 문장 혹은 발화의 의미가 결정되는 문맥을 뜻하기 위해서도 사용되며(예를 들어, O’Keeffe &O’Donoghue, 2015), 수학 교수·학습 활동에 참여하고 있는 개인 혹은 집단이 놓인 교실의 상황을 뜻하기 위해서도 사용된다(예를 들어, Andersson, Valero, & Meaney, 2015; Stouraitis, Potari, & Skott, 2017). 본 연구에서는 연구 목적을 고려하여, 맥락이라는 용어를 첫 번째 의미와 같이 학생들에게 제시되는 과제의 특성을 뜻하는 것으로 사용한다(Sullivan, Zevenbergen, & Mousley, 2003; Van den Heuvel-Panhuizen, 2005).

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이 논문을 인용한 문헌

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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