[논문]설계 의존형 하중 조건을 갖는 구조물의 아이소-지오메트릭 형상 최적설계

윤민호; 하승현; 조선호

설계 의존형 하중 조건을 갖는 구조물의 아이소-지오메트릭 형상 최적설계
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윤민호 (서울대학교 조선해양공학과) , 하승현 (서울대학교 조선해양공학과) , 조선호 (서울대학교 조선해양공학과 및 RIMSE)

본 논문에서는 등기하 해석법을 이용하여 설계 의존형 하중조건을 갖는 구조물에 대한 형상 최적설계 를 수행하였다. 유한요소 기반 형상 최적설계는 설계영역 매개화에 어려움이 있으나 등기하 해석법은 NURBS 기저 함수와 조정점을 이용함으로써 기하학적 표현이 용이하다는 장점을 가지고 있다. 기하학적으로 정확한 모델은 응답 및 설계민감도 해석에 사용되며, 설계구배 기반의 최적화에 있어서 중요한 역할을 한다. 하중조건이 설계영역의 변화에 따라 변하는 최적설계 문제에서 경계에서 설계민감도가 부정확한 경우, 설계공간에서 최적설계가 균일한 수렴성을 갖기 어렵다. 즉 유한요소법을 이용한 형상 최적설계에서 설계 의존형 하중조건을 갖는 문제를 푸는 경우, 최적설계를 진행할 때 변하는 경계의 부정확성 때문에 정확한 설계민감도를 얻기가 어려운 점이 있다. 본 논문에서는, 엄밀한 기하형상을 표현하는 등기하 설계민감도를 활용한 형상 최적설계 기법이 설계 의존형 하중조건을 갖는 문제에서 좋은 결과를 제시함을 확인하였다.

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문제 정의

그러나 정확한 값에 의한 경계 묘사가 아니기에 설계 민감도 해석에 있어 많은 오차가 발생하였다. 따라서 본 논문에서는 정확한 경계를 표현함으로써 기하학적 엄밀성을 높이고 이에 따른 설계 민감도를 구하여 최적화된 해를 구해 본다.
본 논문에서는 등기하 해석법을 이용하여 설계 의존형 하중을 갖는 구조물에 대해서 응답 해석, 설계 민감도 해석 및 형상 최적 설계를 수행하였다. 등기하 해석법의 경우, 경계표현에 있어 유한요소에 비해 강점을 가지며, 수치 예제를 통해서도 이를 확인해 보았다.

제안 방법

본 논문에서는 등기하 해석법을 이용하여 설계 의존형 하중을 갖는 구조물에 대해서 응답 해석, 설계 민감도 해석 및 형상 최적 설계를 수행하였다. 등기하 해석법의 경우, 경계표현에 있어 유한요소에 비해 강점을 가지며, 수치 예제를 통해서도 이를 확인해 보았다. 설계 의존형 하중의 경우, 최적화 단계마다 새로운 하중으로 수정이 되며 이것은 결과적으로 설계 민감도 해석 정확성 여부에 큰 비중을 차지하게 된다.

성능/효과

n 개의 기저함수와 n 개의 조정점이 주어져 있을 때의 B-spline 표현식은 다음과 같이 정의된다. 2, 3 차원 기저함수는 기저함수의 텐서곱으로 쉽게 얻을 수 있다.
최적화 전, 후의 결과를 살펴보면, 유한요소 기반 최적화 모델은 최적화 모양이 매끄럽지 못하나 등기하 기반 결과는 경계에서 매우 부드러운 형상을 제시하고 있음을 알 수 있다. 최적화 과정에서 컴플라이언스의 변화를 살펴보면, 등기하 기반에서는 그림 8과 같이 유한요소 기반(그림 7)에 비해 더욱 빠르고 균일한 수렴성을 보이며, 그 값도 표 2와 같이 더 나은 결과를 보임을 알 수 있다.
설계변수는 하중을 받는 면으로 하였으며, 최적화 목적함수는 컴플라이언스, 제약 조건은 일정 체적이다. 최적화 전, 후의 결과를 살펴보면, 유한요소 기반 최적화 모델은 최적화 모양이 매끄럽지 못하나 등기하 기반 결과는 경계에서 매우 부드러운 형상을 제시하고 있음을 알 수 있다. 최적화 과정에서 컴플라이언스의 변화를 살펴보면, 등기하 기반에서는 그림 8과 같이 유한요소 기반(그림 7)에 비해 더욱 빠르고 균일한 수렴성을 보이며, 그 값도 표 2와 같이 더 나은 결과를 보임을 알 수 있다.
(Lindy 등, 1997) 유한요소기반 최적화 결과와 등기하 기법을 이용하여 구한 최적화 결과를 비교하면 다음과 같다. 최적화 전, 후의 컴플라이언스를 비교하였을 때 유한요소 기반의 경우, 재료량의 20% 감소에 대하여 컴플라이언스는 200% 이상 증가한 것으로 보아 제대로 된 결과를 얻지 못했음을 알 수 있다. 등기하 기반 최적화의 경우, 컴플라이언스가 10% 정도만 증가하였고, 압력 하중이 가해질 때 나올 수 있는 물리학적 예측과 동일한 결과가 나온다는 것을 알 수 있다.

후속연구

실제 공학문제에서는 고정된 하중조건보다는 압력하중과 같이 경계를 따라가는 추적 하중이 많기에 등기하 해석법은 다양한 공학 분야, 예를 들어 수력학, 토목공학 특히 조선분야에서는 유체 구조 연성 문제에서 실용적으로 쓰일 수 있다. 아직 상용 CAD 프로그램과 호환성이 문제가 될 수 있지만, 기하학적 엄밀성이 뛰어나다는 장점이 있기에 앞으로 연구가 활발히 진행될 것으로 기대된다.

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