초록 ▼

□ 연구개요
엽층구조를 가지는 다양체의 엽공간의 기하학적 구조, 즉, Riemannian 구조, Kahler 복소구조, 사원수구조, 심플렉틱 구조, 스핀구조 등 다양한 기하학적 구조를 정의할 수 있고 이 기하학적 구조의 특성을 연구한다. 특히 리만엽층이나 Kahler 엽층에서 의 기하학적 특성. 즉, 횡단적 조화사상에 대한 특성, 공형벡터장, 공형형식(conformal form)의 특성, 조화형식(harmonic form), basic Dolbeault 코호몰로지에 대한 특성, 심플렉틱 Dirac 연산자에 대한 특성 등을 연구

□ 연구개요
엽층구조를 가지는 다양체의 엽공간의 기하학적 구조, 즉, Riemannian 구조, Kahler 복소구조, 사원수구조, 심플렉틱 구조, 스핀구조 등 다양한 기하학적 구조를 정의할 수 있고 이 기하학적 구조의 특성을 연구한다. 특히 리만엽층이나 Kahler 엽층에서 의 기하학적 특성. 즉, 횡단적 조화사상에 대한 특성, 공형벡터장, 공형형식(conformal form)의 특성, 조화형식(harmonic form), basic Dolbeault 코호몰로지에 대한 특성, 심플렉틱 Dirac 연산자에 대한 특성 등을 연구하였다.

□ 연구 목표대비 연구결과
엽층다양체상의 횡단적 기하에 대한 연구결과들은 다음과 같다.
-리만엽층다양체사이에서 정의된 횡단적 조화사상과 횡단적 겹조화사상에 대한 Liouville 정리를 증명하였다. 즉, 곡률의 적당한 조건하에서 횡단적 조화사상은 상수함수밖에 없다. 또한 횡단적 겹조화사상이 횡단적 조화사상이 되는 조건을 찾았다.
-엽층다양체가 완비일 때의 basic 조화형식들의 존재성을 증명하였다. 실제로 모든 엽들이 compact 이고 평균곡률이 유계일 때, 횡단적 릿치곡률이 양이면 유한한 basic 조화형식은 존재하지 않는다.
-리만엽층이 완비일 때 적분가능한 횡단적 공형형식에 대한 특성, 소멸정리를 얻었다. 즉, 적당한 곡률의 조건하에서 횡단적 공형형식은 평행하거나 존재하지 않음을 증명하였다. 위의 결과를 엽층이 복소구조를 가질 경우에도 증명하였다.
-복소 Kahler 엽층에서의 Dolbeault 코호몰로지와 Weitzenbock 공식, 나아가 Kodaira-Serre 쌍대정리를 증명하였다.
-3차원 유클리드공간이나 Minkowski 공간에서의 선직면을 포함한 다양한 부분공간의 특성을 연구하였다.

□ 연구개발결과의 중요성
엽층다양체는 역학이론으로부터 탄생하여 부분다양체 이론까지의 모든 물리학적, 기하학적 특성을 모두 포함하고 있다. 이렇기 때문에 엽층다양체상의 기하학적 특성의 연구는 다양한 응용, 즉, 물리학으로의 응용, 리만기하학으로의 응용 등으로 적용될 수 있다. 특히 기하학적으로 엽공간의 연구는 일반기하학의 연구를 포함하고 있기 때문에 다양체상의 많은 정보를 줄 것으로 생각한다. 더구나 warped 공간은 엽층다양체의 한 예이고 warped 공간은 천문학의 연구에도 밀접한 관계가 있기 때문에 엽층다양체이론의 연구는 천문학으로의 응용도 가능할 것이라 판단된다.

(출처 : 연구결과 요약문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 3
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 4
• 0. 필요성 ... 4
• 0. 최종목표 ... 4
• 2. 연구수행내용 및 연구결과 ... 5
• 0. 연구수행내용 ... 5
• 0. 연구결과 ... 9
• 3. 연구개발결과의 중요성 ... 10
• 0. 학문적 측면 ... 10
• 0. 인력양성 ... 10
• 4. 참고문헌 ... 11
• 5. 연구성과 ... 13
• 대표적 연구실적 ... 18
• 끝페이지 ... 32