절대부등식 문제해결능력 및 오류유형 분석에 관한 연구 : 고등학교 1학년 학생들을 대상으로 A Study on the Problem Solving Ability of the Absolute Inequality and the Analysis of the Types of Errors원문보기
이 연구의 목적은 절대부등식 대수적 증명과 도형 증명 그리고 실생활과 관련된 여러 가지 문제해결과정에서 나타난 학생들의 오류의 유형을 분석함으로써 학생들의 이해정도를 파악하고, 교수-학습개선에 도움을 주고자 하는 것이다.
본 연구의 목적을 위하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다.
가. 절대부등식 대수적 증명에 대한 문항별 정답율과 그 해결과정에서 나타나는 오류는 어떠한가?
나. 산술·기하·조화평균과 관련된 도형과 실생활 활용 문항에 대한 정답...
이 연구의 목적은 절대부등식 대수적 증명과 도형 증명 그리고 실생활과 관련된 여러 가지 문제해결과정에서 나타난 학생들의 오류의 유형을 분석함으로써 학생들의 이해정도를 파악하고, 교수-학습개선에 도움을 주고자 하는 것이다.
본 연구의 목적을 위하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다.
가. 절대부등식 대수적 증명에 대한 문항별 정답율과 그 해결과정에서 나타나는 오류는 어떠한가?
나. 산술·기하·조화평균과 관련된 도형과 실생활 활용 문항에 대한 정답율과 그 해결과정에서 나타나는 오류는 어떠한가?
본 연구의 목적을 해결하기 위해 우선 이용 가능한 집단으로 우선 울산광역시 동구에서도 비교적 가까운 거리에 위치하고 있는 B고등학교, M고등학교, H고등학교, D고등학교 4개 고등학교 학생들 중 1학기 두 번의 연합학력평가 수리영역 점수가 상위 15% 이내에 드는 1학년 학생 157명을 연구 대상자로 선정하였다. 또한, 본 연구자가 직접 개발한 두 가지 검사도구 <절대부등식 대수적 증명 검사지>와 <절대부등식 도형을 이용한 증명, 실생활 관련 문제해결 검사지>를 투입하여 조사 연구를 실시하였고, 대표적 오류를 보인 학생들에 대하여 개별 면담을 실시하였다. 이 때 분석의 틀이 되는 오류의 유형은 문제의 전제 조건을 무시하거나, 조건을 잘 파악하지 못해서 발생하는 오류(E1), 증명 형식에 대한 무지에 의해서 발생한 오류(E2), 수나, 대수기호를 다룰 때의 있어서 조작실수와 같은 기술적인 오류(E3), 생략의 오류(E4), 논리적으로 부적절한 추론을 한 오류(E5), 알고리즘적 지식이 부족하거나 개념적 지식의 부족에서 오는 오류(E6), 글자가 흐릿하거나, 애매모호한 오류(E7) 등의 7가지로 설정하였다. 이를 통해 전체 오류수에 대한 오류 유형별 백분율을 산출하였고, 또한 각 문항에 대한 정답율·오답율·무응답율, 오류 유형별 백분율을 알아보고, 그 결과를 분석하였다.
본 연구로부터 얻은 결론은 다음과 같다.
첫째, 학생들의 <절대부등식 대수적 증명 검사지>답안 분석 결과 각 문항별 평균 정답율은 41.49%이고, 평균 오답율은 48.07%, 그리고 평균 무응답율은 10.43%이다. 또한 오류 유형별로 살펴보았을 때, 증명 형식에 대한 무지에 의해서 발생한 오류(E2), 알고리즘적 지식이 부족하거나 개념적 지식의 부족에서 오는 오류(E6), 생략의 오류(E4), 문제의 전제 조건을 무시하거나, 조건을 잘 파악하지 못해서 발생하는 오류(E1), 기술적인 오류(E3), 논리적으로 부적절한 추론을 한 오류(E5), 글자가 흐릿하거나, 애매모호한 오류(E7) 순으로 오류가 많이 나타났다.
둘째, 학생들이 이 단원에서의 학습목표인 대수적 증명을 능숙하게 해결하기 위해서는 증명해야 할 명제를 가정과 결론으로 나누어 보고, 가정에서 출발하여 결론을 이끌어 내는 증명의 형식을 충분히 훈련시켜야 한다.
셋째, 교사는 산술·기하 평균 관계식에서 등호가 성립하는 조건이 중요함을 강조해서 지도할 필요가 있다. 이는 f(x)≥k일 때, 등호가 성립하는 경우가 없으면 f(x)의 최솟값은 k라고 할 수 없고, 등호가 성립하는 경우를 밝히는 것이 절대부등식을 이용하여 최대˙최소를 구하는 바탕이 되기 때문이다.
넷째, 교수-학습 상황에서 산술·기하·조화 평균사이의 관계식의 대수적 증명만을 강조할 것이 아니라 각 평균의 의미에 대한 역사적 유래와 다양한 실생활 속 예를 통해 학생들의 개념적 이해를 위한 바탕을 마련해야 할 것이다.
다섯째, 교사는 다양한 증명방법을 이용해 수업을 구성해 나가도록 해야 할 것이다. 산술·기하·조화 평균사이의 관계식의 그림 증명문항에서 학생들의 정답율이 33.04 %로 저조한 편이었다. 교사는 이러한 그림 증명이 학생들에게 또 다른 학습의 부담이 되는 것이 아니라 절대부등식의 직관적 개념 형성에 도움이 되는 수단이 될 수 있도록 그림 증명들을 철저하게 분석하여 공학 도구를 이용하는 등의 적절한 수업방법을 계획·실행하도록 한다.
이 연구의 목적은 절대부등식 대수적 증명과 도형 증명 그리고 실생활과 관련된 여러 가지 문제해결과정에서 나타난 학생들의 오류의 유형을 분석함으로써 학생들의 이해정도를 파악하고, 교수-학습개선에 도움을 주고자 하는 것이다.
본 연구의 목적을 위하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다.
가. 절대부등식 대수적 증명에 대한 문항별 정답율과 그 해결과정에서 나타나는 오류는 어떠한가?
나. 산술·기하·조화평균과 관련된 도형과 실생활 활용 문항에 대한 정답율과 그 해결과정에서 나타나는 오류는 어떠한가?
본 연구의 목적을 해결하기 위해 우선 이용 가능한 집단으로 우선 울산광역시 동구에서도 비교적 가까운 거리에 위치하고 있는 B고등학교, M고등학교, H고등학교, D고등학교 4개 고등학교 학생들 중 1학기 두 번의 연합학력평가 수리영역 점수가 상위 15% 이내에 드는 1학년 학생 157명을 연구 대상자로 선정하였다. 또한, 본 연구자가 직접 개발한 두 가지 검사도구 <절대부등식 대수적 증명 검사지>와 <절대부등식 도형을 이용한 증명, 실생활 관련 문제해결 검사지>를 투입하여 조사 연구를 실시하였고, 대표적 오류를 보인 학생들에 대하여 개별 면담을 실시하였다. 이 때 분석의 틀이 되는 오류의 유형은 문제의 전제 조건을 무시하거나, 조건을 잘 파악하지 못해서 발생하는 오류(E1), 증명 형식에 대한 무지에 의해서 발생한 오류(E2), 수나, 대수기호를 다룰 때의 있어서 조작실수와 같은 기술적인 오류(E3), 생략의 오류(E4), 논리적으로 부적절한 추론을 한 오류(E5), 알고리즘적 지식이 부족하거나 개념적 지식의 부족에서 오는 오류(E6), 글자가 흐릿하거나, 애매모호한 오류(E7) 등의 7가지로 설정하였다. 이를 통해 전체 오류수에 대한 오류 유형별 백분율을 산출하였고, 또한 각 문항에 대한 정답율·오답율·무응답율, 오류 유형별 백분율을 알아보고, 그 결과를 분석하였다.
본 연구로부터 얻은 결론은 다음과 같다.
첫째, 학생들의 <절대부등식 대수적 증명 검사지>답안 분석 결과 각 문항별 평균 정답율은 41.49%이고, 평균 오답율은 48.07%, 그리고 평균 무응답율은 10.43%이다. 또한 오류 유형별로 살펴보았을 때, 증명 형식에 대한 무지에 의해서 발생한 오류(E2), 알고리즘적 지식이 부족하거나 개념적 지식의 부족에서 오는 오류(E6), 생략의 오류(E4), 문제의 전제 조건을 무시하거나, 조건을 잘 파악하지 못해서 발생하는 오류(E1), 기술적인 오류(E3), 논리적으로 부적절한 추론을 한 오류(E5), 글자가 흐릿하거나, 애매모호한 오류(E7) 순으로 오류가 많이 나타났다.
둘째, 학생들이 이 단원에서의 학습목표인 대수적 증명을 능숙하게 해결하기 위해서는 증명해야 할 명제를 가정과 결론으로 나누어 보고, 가정에서 출발하여 결론을 이끌어 내는 증명의 형식을 충분히 훈련시켜야 한다.
셋째, 교사는 산술·기하 평균 관계식에서 등호가 성립하는 조건이 중요함을 강조해서 지도할 필요가 있다. 이는 f(x)≥k일 때, 등호가 성립하는 경우가 없으면 f(x)의 최솟값은 k라고 할 수 없고, 등호가 성립하는 경우를 밝히는 것이 절대부등식을 이용하여 최대˙최소를 구하는 바탕이 되기 때문이다.
넷째, 교수-학습 상황에서 산술·기하·조화 평균사이의 관계식의 대수적 증명만을 강조할 것이 아니라 각 평균의 의미에 대한 역사적 유래와 다양한 실생활 속 예를 통해 학생들의 개념적 이해를 위한 바탕을 마련해야 할 것이다.
다섯째, 교사는 다양한 증명방법을 이용해 수업을 구성해 나가도록 해야 할 것이다. 산술·기하·조화 평균사이의 관계식의 그림 증명문항에서 학생들의 정답율이 33.04 %로 저조한 편이었다. 교사는 이러한 그림 증명이 학생들에게 또 다른 학습의 부담이 되는 것이 아니라 절대부등식의 직관적 개념 형성에 도움이 되는 수단이 될 수 있도록 그림 증명들을 철저하게 분석하여 공학 도구를 이용하는 등의 적절한 수업방법을 계획·실행하도록 한다.
This study aims to survey students' understanding of the proof of the absolute inequality and the problem solving process related with real life, and to analyze the types of errors in order to be helpful to teaching.
For the purpose of this study, the following questions were set up.
1. What percent...
This study aims to survey students' understanding of the proof of the absolute inequality and the problem solving process related with real life, and to analyze the types of errors in order to be helpful to teaching.
For the purpose of this study, the following questions were set up.
1. What percentage of correct answers is shown by items of the algebraic proof of the absolute inequality and what errors are shown in the process of the problem solving?
2. What percentage of correct answers is shown in the items related with real life and those related with the arithmetic, geometric, and harmonic mean using a figure, and what errors are shown in the process of the problem solving?
In order to complete the purpose of this study, 157 first graders in B, M, H, and D highschool were selected as subjects, who were within the top 15% in the Quantitative Section of the two unified achievement tests in the first semester. Among the students in M highschool, 20 students were selected at random for the preliminary inspection. The 157 students have already learned the real number property and the absolute inequality in the first semester. This survey was conducted using and which were developed by the present researcher. And the students who showed typical errors in their answer paper were interviewed individually. The test tools were developed focusing on the algebraic proof of the absolute inequality, the proof of the arithmetic, geometric, and harmonic mean using a figure, and the questions related with real life that students should maximize and minimize using the arithmetic, geometric, and harmonic mean. And these test tools required the students to describe their explanation processes.
After that, the answers by items were analyzed as a percentage. Also, 7 types of errors were set up: ignoring or failing to understand the precondition(E1), not knowing the proof form(E2), making mistakes(E3), omitting(E4), logically invalid inference(E5), lack of algorismic or conceptual knowledge(E6), and the ambiguity of error(E7).
The conclusions are drawn as follows:
First, E2 was shown most and followed by E6, E4, E1, E3, E5, and E7 in order.
Second, in order for students to master the algebraic proof, they should divide a proposition which they have to prove into a supposition and a conclusion, and exercise the form of proof which progresses from the supposition to the conclusion.
Third, it is necessary for teachers to emphasize on the importance of the condition in which equality is achieved in the relation of the arithmetic, geometric, and harmonic mean.
Fourth, teachers should not only emphasize on the algebraic proof of the arithmetic, geometric, and harmonic mean, but also provide students with the origin of the meaning of each mean and examples related with real life in order to help students' conceptual understanding.
Fifth, teachers should utilize a variety of proof methods in class.
This study suggests that teachers can help students with their learning and get a lot of useful information in planning teaching through the analysis of the types of errors appearing in the students' proof processes.
This study aims to survey students' understanding of the proof of the absolute inequality and the problem solving process related with real life, and to analyze the types of errors in order to be helpful to teaching.
For the purpose of this study, the following questions were set up.
1. What percentage of correct answers is shown by items of the algebraic proof of the absolute inequality and what errors are shown in the process of the problem solving?
2. What percentage of correct answers is shown in the items related with real life and those related with the arithmetic, geometric, and harmonic mean using a figure, and what errors are shown in the process of the problem solving?
In order to complete the purpose of this study, 157 first graders in B, M, H, and D highschool were selected as subjects, who were within the top 15% in the Quantitative Section of the two unified achievement tests in the first semester. Among the students in M highschool, 20 students were selected at random for the preliminary inspection. The 157 students have already learned the real number property and the absolute inequality in the first semester. This survey was conducted using and which were developed by the present researcher. And the students who showed typical errors in their answer paper were interviewed individually. The test tools were developed focusing on the algebraic proof of the absolute inequality, the proof of the arithmetic, geometric, and harmonic mean using a figure, and the questions related with real life that students should maximize and minimize using the arithmetic, geometric, and harmonic mean. And these test tools required the students to describe their explanation processes.
After that, the answers by items were analyzed as a percentage. Also, 7 types of errors were set up: ignoring or failing to understand the precondition(E1), not knowing the proof form(E2), making mistakes(E3), omitting(E4), logically invalid inference(E5), lack of algorismic or conceptual knowledge(E6), and the ambiguity of error(E7).
The conclusions are drawn as follows:
First, E2 was shown most and followed by E6, E4, E1, E3, E5, and E7 in order.
Second, in order for students to master the algebraic proof, they should divide a proposition which they have to prove into a supposition and a conclusion, and exercise the form of proof which progresses from the supposition to the conclusion.
Third, it is necessary for teachers to emphasize on the importance of the condition in which equality is achieved in the relation of the arithmetic, geometric, and harmonic mean.
Fourth, teachers should not only emphasize on the algebraic proof of the arithmetic, geometric, and harmonic mean, but also provide students with the origin of the meaning of each mean and examples related with real life in order to help students' conceptual understanding.
Fifth, teachers should utilize a variety of proof methods in class.
This study suggests that teachers can help students with their learning and get a lot of useful information in planning teaching through the analysis of the types of errors appearing in the students' proof processes.
AI-Helper
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