본 논문에서는 안정화 극소 부분다양체의 구조와 관련되어 있는 곡률이 영보다 크거나 같은 리만 다양체에서의 극소 부분다양체에서 L² 조미분형식의 존재성에 대하여 공부하였다. Hodge-de Rahm에 의하면 조미 분형식 은 옹골 다양체의 위상학 구조에 중요한 역활을 하고 Atiyah에하면 L² 조화미분형식은 옹골 다양체에서의 Hodge-de Rahm이론이 성립하는것 처럼 비옹골 다양체에서 잘 성립한다는 것이 알려져 있다 이러한 방향에서 . Flat metric을 갖는 ...
본 논문에서는 안정화 극소 부분다양체의 구조와 관련되어 있는 곡률이 영보다 크거나 같은 리만 다양체에서의 극소 부분다양체에서 L² 조미분형식의 존재성에 대하여 공부하였다. Hodge-de Rahm에 의하면 조미 분형식 은 옹골 다양체의 위상학 구조에 중요한 역활을 하고 Atiyah에하면 L² 조화미분형식은 옹골 다양체에서의 Hodge-de Rahm이론이 성립하는것 처럼 비옹골 다양체에서 잘 성립한다는 것이 알려져 있다 이러한 방향에서 . Flat metric을 갖는 유클리드 공간 R^(n)에서 L² 조화미분형식 이 존재하지 않는다는 사실이 알려져 있다. 더 일반적으로 M 이 리치 곡률이 영 보다 크거나 같은 비옹골 완비 리만다양체 이면 L² harmonic one form 이 존재하지 않는다는 사실이 알려져 있다
한편 극소 부분다양체와 안정화 극소 부분다양체의 구조를 연구하는 방법으로로 L² 조화미분형식을 이용할 수 있다. 예를들어 Miyaoka 는 곡률이 영보다 크거나 같은 리만 다양체에서 안정화 극소초평면에서의 harmonic one form 이 존재하지 않음을 보였다 초평면이 아닌 higher codimensional의 경우. 리만 다양체에서의 안정화 극소 부분다양체에서 같은 성질이 성립하는지를 생각할 수 있다. 우선. higher codimensional에서 sta-bility을 확장하는데 variation 의 측면에서 효과적 인 방법들이 잘 알려져 있지않으므로 L² 조화미분형식 해석하는데 좀 더 어려움이 있다.
이 논문에서는 stability 의 일반화인 super-stability 또는 strongly stabilityd 을 소개했고 수면곡률이 영보다 크거나 같은 리만 다양체에서의 비옹골 super-stable 극소부분다양체에서 L² harmonic one form 이 존재하지 않음을 보였다. 더욱이 parabolicity or non-parabolicity 를 이용하여 이러한 다양체의 부피가 무한임을 보였다.
본 논문에서는 안정화 극소 부분다양체의 구조와 관련되어 있는 곡률이 영보다 크거나 같은 리만 다양체에서의 극소 부분다양체에서 L² 조미분형식의 존재성에 대하여 공부하였다. Hodge-de Rahm에 의하면 조미 분형식 은 옹골 다양체의 위상학 구조에 중요한 역활을 하고 Atiyah에하면 L² 조화미분형식은 옹골 다양체에서의 Hodge-de Rahm이론이 성립하는것 처럼 비옹골 다양체에서 잘 성립한다는 것이 알려져 있다 이러한 방향에서 . Flat metric을 갖는 유클리드 공간 R^(n)에서 L² 조화미분형식 이 존재하지 않는다는 사실이 알려져 있다. 더 일반적으로 M 이 리치 곡률이 영 보다 크거나 같은 비옹골 완비 리만다양체 이면 L² harmonic one form 이 존재하지 않는다는 사실이 알려져 있다
한편 극소 부분다양체와 안정화 극소 부분다양체의 구조를 연구하는 방법으로로 L² 조화미분형식을 이용할 수 있다. 예를들어 Miyaoka 는 곡률이 영보다 크거나 같은 리만 다양체에서 안정화 극소초평면에서의 harmonic one form 이 존재하지 않음을 보였다 초평면이 아닌 higher codimensional의 경우. 리만 다양체에서의 안정화 극소 부분다양체에서 같은 성질이 성립하는지를 생각할 수 있다. 우선. higher codimensional에서 sta-bility을 확장하는데 variation 의 측면에서 효과적 인 방법들이 잘 알려져 있지않으므로 L² 조화미분형식 해석하는데 좀 더 어려움이 있다.
이 논문에서는 stability 의 일반화인 super-stability 또는 strongly stabilityd 을 소개했고 수면곡률이 영보다 크거나 같은 리만 다양체에서의 비옹골 super-stable 극소부분다양체에서 L² harmonic one form 이 존재하지 않음을 보였다. 더욱이 parabolicity or non-parabolicity 를 이용하여 이러한 다양체의 부피가 무한임을 보였다.
In this thesis, we studied existence and non-existence of L^(2) harmonic differential forms on minimal submanifolds in a Riemannian manifold of non-negative curvature and its relations with the structure of stable minimal submanifolds.
Due to Hodge-de Rham, harmonic differential forms play an impor...
In this thesis, we studied existence and non-existence of L^(2) harmonic differential forms on minimal submanifolds in a Riemannian manifold of non-negative curvature and its relations with the structure of stable minimal submanifolds.
Due to Hodge-de Rham, harmonic differential forms play an important role in the topology of compact manifolds and due to Atiyah, L^(2) harmonic differential forms work well on non-compact manifolds as classical Hodge-de Rham theory behaves on compact manifolds. In this direction, there is a fundamental result. Namely, on Euclidean space R^(n) with flat metric, there are no L^(2) harmonic differential forms.
More generally, if M is a complete non-compact Riemannian manifold of non-negative Ricci curvature, then there are no non-trivial L^(2 harmonic differential one forms on M.
On the other hand, one can use the notion of L^(2) harmonic differential forms as a tool to investigate the structure of minimal submanifolds and stable minimal submanifolds. For example, due to Miyaoka, there are no non-trivial L^(2) harmonic one forms on an oriented stable minimal hypersurface in a Riemannian manifold of non-negative curvature. In higher codimensional case not hypersurfaces, one can ask whether the same property holds or not on a stable minimal submanifold in a Riemannian manifold. First of all, one should extend the notion of stability in higher codimensional case and there is a little more difficulty in analyzing L^(2) harmonic differential forms since there are no known effective methods in the aspect of variation.
In this thesis, we introduced the notion of super-stability or strongly stability which is a generalization of stability and proved that there are no non-trivial L^(2) harmonic differential one forms on a complete non-compact super-stable minimal submanifold in a complete Riemannian manifold of non-negative sectional curvature. Moreover using the notion of parabolicity or non-parabolicity, we could show that such a manifold should have an infinite volume.
In this thesis, we studied existence and non-existence of L^(2) harmonic differential forms on minimal submanifolds in a Riemannian manifold of non-negative curvature and its relations with the structure of stable minimal submanifolds.
Due to Hodge-de Rham, harmonic differential forms play an important role in the topology of compact manifolds and due to Atiyah, L^(2) harmonic differential forms work well on non-compact manifolds as classical Hodge-de Rham theory behaves on compact manifolds. In this direction, there is a fundamental result. Namely, on Euclidean space R^(n) with flat metric, there are no L^(2) harmonic differential forms.
More generally, if M is a complete non-compact Riemannian manifold of non-negative Ricci curvature, then there are no non-trivial L^(2 harmonic differential one forms on M.
On the other hand, one can use the notion of L^(2) harmonic differential forms as a tool to investigate the structure of minimal submanifolds and stable minimal submanifolds. For example, due to Miyaoka, there are no non-trivial L^(2) harmonic one forms on an oriented stable minimal hypersurface in a Riemannian manifold of non-negative curvature. In higher codimensional case not hypersurfaces, one can ask whether the same property holds or not on a stable minimal submanifold in a Riemannian manifold. First of all, one should extend the notion of stability in higher codimensional case and there is a little more difficulty in analyzing L^(2) harmonic differential forms since there are no known effective methods in the aspect of variation.
In this thesis, we introduced the notion of super-stability or strongly stability which is a generalization of stability and proved that there are no non-trivial L^(2) harmonic differential one forms on a complete non-compact super-stable minimal submanifold in a complete Riemannian manifold of non-negative sectional curvature. Moreover using the notion of parabolicity or non-parabolicity, we could show that such a manifold should have an infinite volume.
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