이 논문은 본격적인 변수 학습이 이루어지기 전 초등학교 6학년 학생들이 이전 학습의 결과로 보이는 변수 개념 이해에 관한 연구이다. 변수는 풍부한 개념적 구조를 갖는 복합 개념이지만 교과서 분석을 통해 이제까지의 초등 수학에서는 변수 개념이 자리기지로서 한정된 범위로만 다루어 왔다는 사실이 확인되었다. 본 연구에서는 초등학생들이 성취해야 할 변수의 개념의 범위를 자리지기, 다가 이름, 일반화의 도구, 값의 변화 측면까지라고 가정하고 진행했다. ...
이 논문은 본격적인 변수 학습이 이루어지기 전 초등학교 6학년 학생들이 이전 학습의 결과로 보이는 변수 개념 이해에 관한 연구이다. 변수는 풍부한 개념적 구조를 갖는 복합 개념이지만 교과서 분석을 통해 이제까지의 초등 수학에서는 변수 개념이 자리기지로서 한정된 범위로만 다루어 왔다는 사실이 확인되었다. 본 연구에서는 초등학생들이 성취해야 할 변수의 개념의 범위를 자리지기, 다가 이름, 일반화의 도구, 값의 변화 측면까지라고 가정하고 진행했다. 이를 위해 기존 이론 및 수학 교과서와 익힘책을 분석하여 학생들이 보일 수 있는 오류 유형을 7 가지로 설정하였다. 수학 교과서와 익힘책에서는 문자나 기호가 미지수의 자리지기로 국한되어 사용되었고 다가 이름, 일반화의 도구, 값의 변화측면으로서의 사용은 극히 드물었다. 이러한 이유로 설정된 오류 유형은 ‘변수를 포함한 대수식을 절차적으로 조작하려는 오류’, ‘문자나 기호가 나타내는 대상을 파악하지 못하는 오류’, ‘여러 대상을 하나의 문자나 기호로 나타내는 오류’, ‘다른 문자나 기호는 같은 값을 갖지 않는다고 생각하는 오류’, ‘대수의 관계식에서 변수의 범위를 파악하지 못하는 오류’, ‘변수 문자를 연산하지 못하는 오류’, ‘문자나 기호에 수를 대입하여 계산하는 오류’이다. 다음으로 예비 검사, 사전 검사 및 면담을 통해 학생들이 어떤 오류 유형을 보이고 있는가를 분석하고 ‘여러 대상을 하나의 문자나 기호로 나타내는 오류’와 ‘변수 문자를 연산하지 못하는 오류’를 공통으로 보인 학생 6명을 대상으로 교정 지도를 실시한 후 사후 검사를 실시하였다. 연구 결과 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다. 첫째, 본 연구에서 설정한 7 가지 오류 유형들은 모두 변수 개념 이해에 관한 것이기 때문에 의미 있게 연관되어 있다. 한 오류 유형의 교정 지도가 다른 오류 유형의 교정에 긍정적인 영향을 줄 수 있다는 결론을 얻었다. 둘째, 학생들은 사전 검사에서 특정한 기호로만 식을 세우던 모습과는 달리 사후 검사에서는 다양한 문자나 기호를 사용하여 식을 세웠다. 학생들은 이전 학습에서 제한된 변수의 범위와 종류로 인해 변수로 사용될 문자와 기호의 선택이 자유롭지 못했다. 이러한 선택의 폭을 넓혀주는 것만으로도 ‘여러 대상을 하나의 문자나 기호로 나타내는 오류 유형’의 교정에도 영향을 끼친 것으로 보인다. 셋째, 교정 지도 후 학생들은 문자나 기호를 사용하여 식을 세우는 것은 개선되었으나 자신들이 세운 대수식을 푸는 것은 힘들어했다. 2011부터 시행 예정인 2007년 개정교육과정의 수학과 ‘규칙성와 문제해결’ 영역의 내용 체계 중 방정식의 지도는 변수 문자의 연산을 수월하게 하여 식을 세우고 푸는 방법을 일원화 시킬 수 있는 기회가 될 것이다. 넷째, 사전 검사에서 가장 많이 보인 오류 유형은 ‘다른 문자나 기호는 같은 값을 가질 수 없다’는 것이었다. 학생들은 동일한 논리적 사고가 필요한 문항 간에 서로 다른 논리를 예로 들어 자신들의 답한 이유를 설명하고 있었다. 이러한 현상은 변수 개념 이해도 부족하지만 논리적 사고의 부족한 측면을 보여주는 예이기도 하다. 다섯째, 학생들은 변수 문자가 덧셈이나 곱셈 기호와 혼합되어 있을 경우에 혼란스러워 하는 듯 보였다. 산술에서는 식의 구조보다는 연산 수행에 초점이 맞추어지지만 식의 구조를 파악해야 하는 대수식에서는 아직까지도 어려움이 있었다. 이러한 혼란이 해결되지 않은 상태에서 이후 변수 학습이 진행된다면 더 심각한 오류가 발생할 것이다. 곱셈기호를 생략하는 본격적인 대수식의 표현방법을 학습하기 전에 문자나 기호가 포함된 식을 산술식과 연관하여 지도한다면 학생들이 이후에 갖는 대수식까지의 거리감을 줄일 수 있을 것으로 기대한다. 이 연구에서 얻은 학생들의 변수 개념 이해에 대한 결론으로 변수 학습에 대한 두 가지 시사점을 제공한다. 첫째, 학생들은 제시된 문제에 필요한 대수식을 세우고도 산술적인 풀이방법에 의존하는 모습이 보였다. 이제는 학생들이 산술적인 조작이 아닌 대수식을 다룰 수 있는 학습의 전환이 필요한 시기이기 때문에 초등학교 현장에서는 대수 이해의 핵심인 변수의 적극적인 도입이 필요하다. 둘째, 다양한 측면에서의 변수 사용이 요구된다. 본 논문에서 변수의 범위를 설정한 것처럼 초등학생에게도 미지수로서의 변수의 역할 이외에도 다가 이름, 일반화의 도구로서의 변수, 관계식에서 변수의 범위까지 확장시켜 지도한다면 후속 변수 학습은 어려움 없이 진행될 수 있으리라 기대된다.
이 논문은 본격적인 변수 학습이 이루어지기 전 초등학교 6학년 학생들이 이전 학습의 결과로 보이는 변수 개념 이해에 관한 연구이다. 변수는 풍부한 개념적 구조를 갖는 복합 개념이지만 교과서 분석을 통해 이제까지의 초등 수학에서는 변수 개념이 자리기지로서 한정된 범위로만 다루어 왔다는 사실이 확인되었다. 본 연구에서는 초등학생들이 성취해야 할 변수의 개념의 범위를 자리지기, 다가 이름, 일반화의 도구, 값의 변화 측면까지라고 가정하고 진행했다. 이를 위해 기존 이론 및 수학 교과서와 익힘책을 분석하여 학생들이 보일 수 있는 오류 유형을 7 가지로 설정하였다. 수학 교과서와 익힘책에서는 문자나 기호가 미지수의 자리지기로 국한되어 사용되었고 다가 이름, 일반화의 도구, 값의 변화측면으로서의 사용은 극히 드물었다. 이러한 이유로 설정된 오류 유형은 ‘변수를 포함한 대수식을 절차적으로 조작하려는 오류’, ‘문자나 기호가 나타내는 대상을 파악하지 못하는 오류’, ‘여러 대상을 하나의 문자나 기호로 나타내는 오류’, ‘다른 문자나 기호는 같은 값을 갖지 않는다고 생각하는 오류’, ‘대수의 관계식에서 변수의 범위를 파악하지 못하는 오류’, ‘변수 문자를 연산하지 못하는 오류’, ‘문자나 기호에 수를 대입하여 계산하는 오류’이다. 다음으로 예비 검사, 사전 검사 및 면담을 통해 학생들이 어떤 오류 유형을 보이고 있는가를 분석하고 ‘여러 대상을 하나의 문자나 기호로 나타내는 오류’와 ‘변수 문자를 연산하지 못하는 오류’를 공통으로 보인 학생 6명을 대상으로 교정 지도를 실시한 후 사후 검사를 실시하였다. 연구 결과 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다. 첫째, 본 연구에서 설정한 7 가지 오류 유형들은 모두 변수 개념 이해에 관한 것이기 때문에 의미 있게 연관되어 있다. 한 오류 유형의 교정 지도가 다른 오류 유형의 교정에 긍정적인 영향을 줄 수 있다는 결론을 얻었다. 둘째, 학생들은 사전 검사에서 특정한 기호로만 식을 세우던 모습과는 달리 사후 검사에서는 다양한 문자나 기호를 사용하여 식을 세웠다. 학생들은 이전 학습에서 제한된 변수의 범위와 종류로 인해 변수로 사용될 문자와 기호의 선택이 자유롭지 못했다. 이러한 선택의 폭을 넓혀주는 것만으로도 ‘여러 대상을 하나의 문자나 기호로 나타내는 오류 유형’의 교정에도 영향을 끼친 것으로 보인다. 셋째, 교정 지도 후 학생들은 문자나 기호를 사용하여 식을 세우는 것은 개선되었으나 자신들이 세운 대수식을 푸는 것은 힘들어했다. 2011부터 시행 예정인 2007년 개정교육과정의 수학과 ‘규칙성와 문제해결’ 영역의 내용 체계 중 방정식의 지도는 변수 문자의 연산을 수월하게 하여 식을 세우고 푸는 방법을 일원화 시킬 수 있는 기회가 될 것이다. 넷째, 사전 검사에서 가장 많이 보인 오류 유형은 ‘다른 문자나 기호는 같은 값을 가질 수 없다’는 것이었다. 학생들은 동일한 논리적 사고가 필요한 문항 간에 서로 다른 논리를 예로 들어 자신들의 답한 이유를 설명하고 있었다. 이러한 현상은 변수 개념 이해도 부족하지만 논리적 사고의 부족한 측면을 보여주는 예이기도 하다. 다섯째, 학생들은 변수 문자가 덧셈이나 곱셈 기호와 혼합되어 있을 경우에 혼란스러워 하는 듯 보였다. 산술에서는 식의 구조보다는 연산 수행에 초점이 맞추어지지만 식의 구조를 파악해야 하는 대수식에서는 아직까지도 어려움이 있었다. 이러한 혼란이 해결되지 않은 상태에서 이후 변수 학습이 진행된다면 더 심각한 오류가 발생할 것이다. 곱셈기호를 생략하는 본격적인 대수식의 표현방법을 학습하기 전에 문자나 기호가 포함된 식을 산술식과 연관하여 지도한다면 학생들이 이후에 갖는 대수식까지의 거리감을 줄일 수 있을 것으로 기대한다. 이 연구에서 얻은 학생들의 변수 개념 이해에 대한 결론으로 변수 학습에 대한 두 가지 시사점을 제공한다. 첫째, 학생들은 제시된 문제에 필요한 대수식을 세우고도 산술적인 풀이방법에 의존하는 모습이 보였다. 이제는 학생들이 산술적인 조작이 아닌 대수식을 다룰 수 있는 학습의 전환이 필요한 시기이기 때문에 초등학교 현장에서는 대수 이해의 핵심인 변수의 적극적인 도입이 필요하다. 둘째, 다양한 측면에서의 변수 사용이 요구된다. 본 논문에서 변수의 범위를 설정한 것처럼 초등학생에게도 미지수로서의 변수의 역할 이외에도 다가 이름, 일반화의 도구로서의 변수, 관계식에서 변수의 범위까지 확장시켜 지도한다면 후속 변수 학습은 어려움 없이 진행될 수 있으리라 기대된다.
This dissertation is on elementary school sixth graders’ understanding of the concept of variables showing as the result of previous learning before the genuine learning of them. And it was found that although variables are the complex concept having a rich conceptual structure, elementary mathemati...
This dissertation is on elementary school sixth graders’ understanding of the concept of variables showing as the result of previous learning before the genuine learning of them. And it was found that although variables are the complex concept having a rich conceptual structure, elementary mathematics has dealt with the concept of variables in the limited range of placeholders through textbook analysis. This study assumes that the conceptual range of variables elementary school students should achieve includes the aspects of placeholders, polyvalent names, tools of generalization, and change of values. To attain the goal, this paper sets up the error types students may show by analyzing existing theory, mathematics textbooks, and work books. In math textbooks or work books, letters or signs are limitedly used as placeholders of the unknown and rarely used as the aspects of polyvalent names, tools of generalization, or change of values. The error types the students show from learning a limited range of variables include seven kinds. These are the error types: ‘error of manipulating an algebraic expression containing variables procedurally’, ‘error of not figuring out the objects represented by letters or signs’, ‘error of representing several objects with a letter or sign’, ‘error of regarding different letters or signs cannot get the same value’, ‘error of not figuring out the range of variables in the algebraic relational expression’, ‘error of not calculating variable letters’, and ‘error of calculating by substituting numbers for letters or signs’. Next, this study analyzes what error types students show through preliminary test, pretest, and interview and then conducts corrective teaching to six students showing ‘error of representing several objects with a letter or sign’ or ‘error of not calculating variable letters’ in common and performs posttest. And this study has gained the following results. First, the seven error types set up in this paper are all about understanding the concept of variables, so they are associated with each other meaningfully. It was found that corrective teaching for a certain error type affects another error type positively. Second, even though the students established a formula with certain signs in the pretest, they did so with various letters and signs in the posttest. Due to the limited range and types of variables in the previous learning, the students could not select letters and signs to be used as variably properly. It seems that to increase the options solely affected the correction of ‘error of representing several objects with a letter or sign’. Third, after the corrective teaching, the students were better at setting up a formula using letters and signs but had a hard time solving the algebraic expression they made. Teaching equation among the contents of ‘regularity and problem-solving’ area of the mathematics subject in 2007 curriculum revised to be implemented from 2011 will provide students with opportunities to unify the methods to set up and solve formulas by easing the calculation of variable letters. Fourth, the most frequent error type in the pretest was ‘error of regarding different letters or signs cannot get the same value’. The students explain the reason why they chose the answer taking different logics for items needing the same logical thinking. This shows their lack of understanding the concept of variables and also the aspect of insufficient logical thinking. Fifth, the students seemed to be confused when the variable letters were mixed with addition or multiplication signs. Calculation focuses on computing itself rather than the structure of a formula, but they still show difficulty in solving an algebraic formula requiring understanding of the structure. If further learning of variables is conducted before such confusion is settled, more serious errors will occur. It is expected that if a teacher teachers them relating the arithmetic expression with a formula including letters and signs before the genuine learning of ways to make algebraic expressions omitting multiplication signs, students will feel less distance from algebraic expressions later. As the result of the students’ understanding of the concept of variables, this paper gives two suggestions for learning of variables. First, the students tended to depend on calculation methods even after setting up al algebraic expression needed to solve the question provided. Now is the time for the students to see the transition of learning to deal with algebraic expressions, not the calculating manipulation, so it is urgently needed to induce variables, the core of understanding algebra to the actual spots of elementary schools. Second, it is necessary to use variables from various aspects. Just like the range of variables is established in this paper, if elementary school students, too, are taught by extending the range of the roles of variables to polyvalent names, tools of generalization, and relational expressions as well as the unknown, it is expected that they will have no difficulty in further learning of variables Keywords: variable, error, placeholder, polyvalent name
This dissertation is on elementary school sixth graders’ understanding of the concept of variables showing as the result of previous learning before the genuine learning of them. And it was found that although variables are the complex concept having a rich conceptual structure, elementary mathematics has dealt with the concept of variables in the limited range of placeholders through textbook analysis. This study assumes that the conceptual range of variables elementary school students should achieve includes the aspects of placeholders, polyvalent names, tools of generalization, and change of values. To attain the goal, this paper sets up the error types students may show by analyzing existing theory, mathematics textbooks, and work books. In math textbooks or work books, letters or signs are limitedly used as placeholders of the unknown and rarely used as the aspects of polyvalent names, tools of generalization, or change of values. The error types the students show from learning a limited range of variables include seven kinds. These are the error types: ‘error of manipulating an algebraic expression containing variables procedurally’, ‘error of not figuring out the objects represented by letters or signs’, ‘error of representing several objects with a letter or sign’, ‘error of regarding different letters or signs cannot get the same value’, ‘error of not figuring out the range of variables in the algebraic relational expression’, ‘error of not calculating variable letters’, and ‘error of calculating by substituting numbers for letters or signs’. Next, this study analyzes what error types students show through preliminary test, pretest, and interview and then conducts corrective teaching to six students showing ‘error of representing several objects with a letter or sign’ or ‘error of not calculating variable letters’ in common and performs posttest. And this study has gained the following results. First, the seven error types set up in this paper are all about understanding the concept of variables, so they are associated with each other meaningfully. It was found that corrective teaching for a certain error type affects another error type positively. Second, even though the students established a formula with certain signs in the pretest, they did so with various letters and signs in the posttest. Due to the limited range and types of variables in the previous learning, the students could not select letters and signs to be used as variably properly. It seems that to increase the options solely affected the correction of ‘error of representing several objects with a letter or sign’. Third, after the corrective teaching, the students were better at setting up a formula using letters and signs but had a hard time solving the algebraic expression they made. Teaching equation among the contents of ‘regularity and problem-solving’ area of the mathematics subject in 2007 curriculum revised to be implemented from 2011 will provide students with opportunities to unify the methods to set up and solve formulas by easing the calculation of variable letters. Fourth, the most frequent error type in the pretest was ‘error of regarding different letters or signs cannot get the same value’. The students explain the reason why they chose the answer taking different logics for items needing the same logical thinking. This shows their lack of understanding the concept of variables and also the aspect of insufficient logical thinking. Fifth, the students seemed to be confused when the variable letters were mixed with addition or multiplication signs. Calculation focuses on computing itself rather than the structure of a formula, but they still show difficulty in solving an algebraic formula requiring understanding of the structure. If further learning of variables is conducted before such confusion is settled, more serious errors will occur. It is expected that if a teacher teachers them relating the arithmetic expression with a formula including letters and signs before the genuine learning of ways to make algebraic expressions omitting multiplication signs, students will feel less distance from algebraic expressions later. As the result of the students’ understanding of the concept of variables, this paper gives two suggestions for learning of variables. First, the students tended to depend on calculation methods even after setting up al algebraic expression needed to solve the question provided. Now is the time for the students to see the transition of learning to deal with algebraic expressions, not the calculating manipulation, so it is urgently needed to induce variables, the core of understanding algebra to the actual spots of elementary schools. Second, it is necessary to use variables from various aspects. Just like the range of variables is established in this paper, if elementary school students, too, are taught by extending the range of the roles of variables to polyvalent names, tools of generalization, and relational expressions as well as the unknown, it is expected that they will have no difficulty in further learning of variables Keywords: variable, error, placeholder, polyvalent name
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