‘수학은 왜 배울까?’는 수학을 배우는 학생들이라면 누구나 한번쯤 생각하는 질문이다. 수학을 배우는 이유에 관한 궁금증을 해결하기 위해서는 수학이 실생활에서 어떻게 쓰이고 있으며, 수와 문자로만 보이는 수식이 어떤 의미가 있는지 탐구할 필요가 있다. 실제로 도형 문제를 해결할 때에도 단순히 가로, 세로, 넓이를 계산하는 것과 사각형인 책을 바라보면서 직접 길이를 재보고 가로와 세로를 곱하는 넓이의 개념이 실제로 어떤 의미인지 생각해 보는 활동은 수학과 현실 사이의 간격을 좁혀주는 역할을 한다. 이렇게 실생활과 수학의 괴리감을 줄여 주는 사고가 바로 직관이다. 직관이 비록 보편적이고 확실한 지식을 보장하지는 못하지만 문제 해결 과정에서 직관은 지식을 발견하는 도구이며 번뜩이는 아이디어가 발현되는 것이다.
하지만 직관은 지식을 발견하고 창의적인 활동을 가능하게 하는 긍정적인 도구임에도 불구하고 수학 문제를 해결하는 과정에서 그림으로 표현하거나 수학적 기호화 등 학생들의 수학적 ...
‘수학은 왜 배울까?’는 수학을 배우는 학생들이라면 누구나 한번쯤 생각하는 질문이다. 수학을 배우는 이유에 관한 궁금증을 해결하기 위해서는 수학이 실생활에서 어떻게 쓰이고 있으며, 수와 문자로만 보이는 수식이 어떤 의미가 있는지 탐구할 필요가 있다. 실제로 도형 문제를 해결할 때에도 단순히 가로, 세로, 넓이를 계산하는 것과 사각형인 책을 바라보면서 직접 길이를 재보고 가로와 세로를 곱하는 넓이의 개념이 실제로 어떤 의미인지 생각해 보는 활동은 수학과 현실 사이의 간격을 좁혀주는 역할을 한다. 이렇게 실생활과 수학의 괴리감을 줄여 주는 사고가 바로 직관이다. 직관이 비록 보편적이고 확실한 지식을 보장하지는 못하지만 문제 해결 과정에서 직관은 지식을 발견하는 도구이며 번뜩이는 아이디어가 발현되는 것이다.
하지만 직관은 지식을 발견하고 창의적인 활동을 가능하게 하는 긍정적인 도구임에도 불구하고 수학 문제를 해결하는 과정에서 그림으로 표현하거나 수학적 기호화 등 학생들의 수학적 표현 능력이 각기 상이하며 그로부터 나타나는 직관적 오류 및 올바른 개념 구조와 직관적 표상 사이에 모순이 일어난다. 이에 본 연구는 Fischbein의 한번 세워진 직관이 매우 강하여 계속해서 유지되는 고집성, 개개인의 추론 방식에 강제적인 효과를 발휘하는 강제성, 입증된 명제나 일반적인 법칙을 타당성이 확정되지 않고 단지 가정되어 있는 다른 영역에 적용하는 외삽성이라는 직관의 특징을 주로 이용해서 넓이와 부피 단원을 중심으로 나타나는 직관의 시각화에 의한 오류를 분석하고자 한다. 또한 넓이와 부피 문제 해결 과정에서 직관의 중요성을 인식하고 직관적 사고 증진 및 그로부터 파생되는 오류를 줄이기 위해 경험의 필요성을 조사하고 스토리텔링, 미디어를 통하여 분석하고자 한다. 이러한 연구의 필요성에 따라 설정한 연구 문제는 다음과 같다.
첫째, 수학 문제 해결 과정에서 넓이와 부피라는 개념에 대한 중학생들의 인식 수준은 어떠한가?
둘째, 넓이와 부피를 구하는 과정에서 중학생들의 직관적 사고는 어떤 영향을 주며 그로부터 범하는 오류는 무엇인가?
셋째, 스토리텔링, 미디어 등을 통한 다중지각적인 경험이 중학생들의 넓이와 부피 문제 해결 과정에서 오류를 줄이고 문제 해결력을 증진시킬 수 있는가?
연구 문제를 해결하기 위해 충남 금산시에 소재한 S학교의 중학교 2학년 3개 학급의 30명을 선정하여 상, 중, 하 세 그룹으로 나누어 다중감각적인 경험활동 전후에 지필검사와 면담조사를 실시하였다. 지필검사에서는 학생들이 자유롭게 응답하도록 하였고, 지필검사에 나타난 답과 풀이과정을 분석하였다. 그 중 문제 해결 과정에서 대표로 오류를 보이고 있는 학생을 선발하여 개별 면담을 실시하였다. 지필검사와 면담을 통해 상, 중, 하 세 그룹의 결과를 비교, 분석하여 학습수준에 따라 오류의 종류와 빈도수를 확인하였다.
본 연구의 결과는 면담과정과 사전 및 사후 검사지를 비교, 분석하여 얻었다.
첫째, 수학문제 해결과정에서 중학생들의 넓이와 부피의 개념에 대한 인식수준을 분석한 결과 대부분의 학생들은 넓이와 부피의 계산 과정은 알고 있었다. 하지만 넓이의 경우 평면도형의 크기, 땅의 크기 등으로 인식하는 경우가 많았다. 예를 들어 입체도형의 겉넓이와 부피 사이에서 혼동하는 경우가 이러한 경우이다. 하지만 넓이의 개념에 관한 미디어 자료와 쌓기 나무로 모양을 바꾸며 부피가 일정하다는 것을 설명하는 등의 학습을 통해 학생들은 조금씩 넓이와 부피의 개념을 알게 되었고 몇 명의 학생들은 그 예를 자연스럽게 설명할 수 있었다.
둘째, 넓이와 부피를 구하는 과정에서 중학생들의 직관적 사고로부터 오는 영향을 분석한 결과 상반의 소수 학생들을 제외한 대부분의 학생들은 직관적 사고에 의한 오류가 나타났다. 학생들의 오류의 원인은 시각화의 영향으로 인한 것이고, 시각화는 논리적 사고 과정을 방해하고 있다. 학생들이 보인 오류는 시각화의 오류라고도 볼 수 있지만 Fischbein이 설명한 직관의 성질 중 고집성으로부터 유발된 오류라고 짐작할 수도 있다. 평행사변형의 넓이 공식을 증명할 때 배웠던 방법, 그 후 여러 문제를 해결하면서 학생들의 머릿속에 자리 잡은 직관이 매우 강하여 계속 유지 되어 학생들이 논리적으로 달리 생각할 수 있는 것을 방해한다. 그리고 학생들은 전체 변의 길이의 불변은 넓이의 불변이라는 사실이 암묵적으로 내재되어 오류를 일으켰으며 이는 Fischbein의 직관의 특징 중에서 암묵성을 뒷받침 하고 있다.
셋째, 학생들이 스토리텔링을 활용한 문제 만들기, 미디어를 통해 수학 공부하기, 직접 눈으로 보고 확인하기 등의 경험학습이 수학 문제를 풀 때 직접적인 문제 해결 방법을 제시하지는 않지만 직관적 사고로부터 오는 시각화의 오류를 줄이고 정답률을 높이는 긍정적인 효과를 기대할 수 있었다. 경험학습이라는 방법을 통해 학생들이 겪고 있는 시각화의 오류를 직접 경험하게 하여 이전에 배웠던 문제와 다른 문제이며, 비슷하게 보인다고 해서 같은 문제 해결 방법을 사용하면 안 된다는 것을 인지할 수 있게 도와주었다.
본 연구 결과를 통해 얻은 시사점은 다음과 같다. 수학은 우리가 생활을 하는데 있어서 매우 필요하고 중요하다. 하지만 대부분의 학생들은 재미없는 계산과 이론만을 공부하며 수학을 공부해야 하는 필요성을 느끼지 못하는 것이 현실이다. 그런 학생들에게 직관은 수학을 조금 더 가까이 만날 수 있게 하는 훌륭한 도구이다. 하지만 시각화나 직관의 특징으로부터 오는 오류는 학생들이 수학에 다가가던 발걸음을 멈추게 한다. 그러므로 학생들이 수학 문제를 해결함에 있어서 올바르게 직관을 사용할 수 있도록 교사가 도와주어야 한다. 교사는 학생들이 수학 문제를 해결할 때 모범 답안만을 제시하는 것 보다는 직접 오류를 경험해보고 오류가 생기는 이유를 분석하며 학생들에게 오류를 피해가는 어떤 방법을 제시해 줄 것인지 끊임없이 고민해야 한다. 나아가 체계적인 교사들의 교수-학습 방법의 연구를 통하여 학생들이 올바르게 직관을 활용함으로써 수학 문제 해결력을 증진하여 수학을 왜 배우는지 각자 나름대로의 생각을 가지고 수학을 흥미롭게 공부할 수 있을 것이다.
또한 본 연구 중에 계산 위주의 수학이 불러오는 모순을 발견할 수 있었다. 학생들은 넓이와 부피를 구하는 과정에서 계산하는 공식은 익숙하게 사용할 수 있었지만 그것들의 기하학적 의미와는 연결시키지 못하는 모습을 많이 볼 수 있었다. 이것은 학생들이 시험위주의 빠른 문제 해결을 위해 계산을 중심으로 많은 시간 학습한 결과이다. 따라서 수학을 공부할 때 공식화된 계산과 실제 개념들의 의미 사이의 연관성은 어떠한지 개념들에 대한 직관적인 해석을 도와주는 교사들의 체계적인 지도와 연구가 필요할 것이다.
‘수학은 왜 배울까?’는 수학을 배우는 학생들이라면 누구나 한번쯤 생각하는 질문이다. 수학을 배우는 이유에 관한 궁금증을 해결하기 위해서는 수학이 실생활에서 어떻게 쓰이고 있으며, 수와 문자로만 보이는 수식이 어떤 의미가 있는지 탐구할 필요가 있다. 실제로 도형 문제를 해결할 때에도 단순히 가로, 세로, 넓이를 계산하는 것과 사각형인 책을 바라보면서 직접 길이를 재보고 가로와 세로를 곱하는 넓이의 개념이 실제로 어떤 의미인지 생각해 보는 활동은 수학과 현실 사이의 간격을 좁혀주는 역할을 한다. 이렇게 실생활과 수학의 괴리감을 줄여 주는 사고가 바로 직관이다. 직관이 비록 보편적이고 확실한 지식을 보장하지는 못하지만 문제 해결 과정에서 직관은 지식을 발견하는 도구이며 번뜩이는 아이디어가 발현되는 것이다.
하지만 직관은 지식을 발견하고 창의적인 활동을 가능하게 하는 긍정적인 도구임에도 불구하고 수학 문제를 해결하는 과정에서 그림으로 표현하거나 수학적 기호화 등 학생들의 수학적 표현 능력이 각기 상이하며 그로부터 나타나는 직관적 오류 및 올바른 개념 구조와 직관적 표상 사이에 모순이 일어난다. 이에 본 연구는 Fischbein의 한번 세워진 직관이 매우 강하여 계속해서 유지되는 고집성, 개개인의 추론 방식에 강제적인 효과를 발휘하는 강제성, 입증된 명제나 일반적인 법칙을 타당성이 확정되지 않고 단지 가정되어 있는 다른 영역에 적용하는 외삽성이라는 직관의 특징을 주로 이용해서 넓이와 부피 단원을 중심으로 나타나는 직관의 시각화에 의한 오류를 분석하고자 한다. 또한 넓이와 부피 문제 해결 과정에서 직관의 중요성을 인식하고 직관적 사고 증진 및 그로부터 파생되는 오류를 줄이기 위해 경험의 필요성을 조사하고 스토리텔링, 미디어를 통하여 분석하고자 한다. 이러한 연구의 필요성에 따라 설정한 연구 문제는 다음과 같다.
첫째, 수학 문제 해결 과정에서 넓이와 부피라는 개념에 대한 중학생들의 인식 수준은 어떠한가?
둘째, 넓이와 부피를 구하는 과정에서 중학생들의 직관적 사고는 어떤 영향을 주며 그로부터 범하는 오류는 무엇인가?
셋째, 스토리텔링, 미디어 등을 통한 다중지각적인 경험이 중학생들의 넓이와 부피 문제 해결 과정에서 오류를 줄이고 문제 해결력을 증진시킬 수 있는가?
연구 문제를 해결하기 위해 충남 금산시에 소재한 S학교의 중학교 2학년 3개 학급의 30명을 선정하여 상, 중, 하 세 그룹으로 나누어 다중감각적인 경험활동 전후에 지필검사와 면담조사를 실시하였다. 지필검사에서는 학생들이 자유롭게 응답하도록 하였고, 지필검사에 나타난 답과 풀이과정을 분석하였다. 그 중 문제 해결 과정에서 대표로 오류를 보이고 있는 학생을 선발하여 개별 면담을 실시하였다. 지필검사와 면담을 통해 상, 중, 하 세 그룹의 결과를 비교, 분석하여 학습수준에 따라 오류의 종류와 빈도수를 확인하였다.
본 연구의 결과는 면담과정과 사전 및 사후 검사지를 비교, 분석하여 얻었다.
첫째, 수학문제 해결과정에서 중학생들의 넓이와 부피의 개념에 대한 인식수준을 분석한 결과 대부분의 학생들은 넓이와 부피의 계산 과정은 알고 있었다. 하지만 넓이의 경우 평면도형의 크기, 땅의 크기 등으로 인식하는 경우가 많았다. 예를 들어 입체도형의 겉넓이와 부피 사이에서 혼동하는 경우가 이러한 경우이다. 하지만 넓이의 개념에 관한 미디어 자료와 쌓기 나무로 모양을 바꾸며 부피가 일정하다는 것을 설명하는 등의 학습을 통해 학생들은 조금씩 넓이와 부피의 개념을 알게 되었고 몇 명의 학생들은 그 예를 자연스럽게 설명할 수 있었다.
둘째, 넓이와 부피를 구하는 과정에서 중학생들의 직관적 사고로부터 오는 영향을 분석한 결과 상반의 소수 학생들을 제외한 대부분의 학생들은 직관적 사고에 의한 오류가 나타났다. 학생들의 오류의 원인은 시각화의 영향으로 인한 것이고, 시각화는 논리적 사고 과정을 방해하고 있다. 학생들이 보인 오류는 시각화의 오류라고도 볼 수 있지만 Fischbein이 설명한 직관의 성질 중 고집성으로부터 유발된 오류라고 짐작할 수도 있다. 평행사변형의 넓이 공식을 증명할 때 배웠던 방법, 그 후 여러 문제를 해결하면서 학생들의 머릿속에 자리 잡은 직관이 매우 강하여 계속 유지 되어 학생들이 논리적으로 달리 생각할 수 있는 것을 방해한다. 그리고 학생들은 전체 변의 길이의 불변은 넓이의 불변이라는 사실이 암묵적으로 내재되어 오류를 일으켰으며 이는 Fischbein의 직관의 특징 중에서 암묵성을 뒷받침 하고 있다.
셋째, 학생들이 스토리텔링을 활용한 문제 만들기, 미디어를 통해 수학 공부하기, 직접 눈으로 보고 확인하기 등의 경험학습이 수학 문제를 풀 때 직접적인 문제 해결 방법을 제시하지는 않지만 직관적 사고로부터 오는 시각화의 오류를 줄이고 정답률을 높이는 긍정적인 효과를 기대할 수 있었다. 경험학습이라는 방법을 통해 학생들이 겪고 있는 시각화의 오류를 직접 경험하게 하여 이전에 배웠던 문제와 다른 문제이며, 비슷하게 보인다고 해서 같은 문제 해결 방법을 사용하면 안 된다는 것을 인지할 수 있게 도와주었다.
본 연구 결과를 통해 얻은 시사점은 다음과 같다. 수학은 우리가 생활을 하는데 있어서 매우 필요하고 중요하다. 하지만 대부분의 학생들은 재미없는 계산과 이론만을 공부하며 수학을 공부해야 하는 필요성을 느끼지 못하는 것이 현실이다. 그런 학생들에게 직관은 수학을 조금 더 가까이 만날 수 있게 하는 훌륭한 도구이다. 하지만 시각화나 직관의 특징으로부터 오는 오류는 학생들이 수학에 다가가던 발걸음을 멈추게 한다. 그러므로 학생들이 수학 문제를 해결함에 있어서 올바르게 직관을 사용할 수 있도록 교사가 도와주어야 한다. 교사는 학생들이 수학 문제를 해결할 때 모범 답안만을 제시하는 것 보다는 직접 오류를 경험해보고 오류가 생기는 이유를 분석하며 학생들에게 오류를 피해가는 어떤 방법을 제시해 줄 것인지 끊임없이 고민해야 한다. 나아가 체계적인 교사들의 교수-학습 방법의 연구를 통하여 학생들이 올바르게 직관을 활용함으로써 수학 문제 해결력을 증진하여 수학을 왜 배우는지 각자 나름대로의 생각을 가지고 수학을 흥미롭게 공부할 수 있을 것이다.
또한 본 연구 중에 계산 위주의 수학이 불러오는 모순을 발견할 수 있었다. 학생들은 넓이와 부피를 구하는 과정에서 계산하는 공식은 익숙하게 사용할 수 있었지만 그것들의 기하학적 의미와는 연결시키지 못하는 모습을 많이 볼 수 있었다. 이것은 학생들이 시험위주의 빠른 문제 해결을 위해 계산을 중심으로 많은 시간 학습한 결과이다. 따라서 수학을 공부할 때 공식화된 계산과 실제 개념들의 의미 사이의 연관성은 어떠한지 개념들에 대한 직관적인 해석을 도와주는 교사들의 체계적인 지도와 연구가 필요할 것이다.
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