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본 연구의 목적은 고등학교 2학년 학생들이 합성함수의 극한과 연속에 관한 문제 해결 과정에서 보이는 오류의 유형을 알아보고, 오류가 나타나게 되는 원인을 알아봄으로써 합성함수의 극한과 연속에 관한 지도에 대한 시사점을 찾고자 하는 것이다. 따라서 본 연구의 목적을 달성하기 위하여 다음과 같이 2개의 연구문제를 설정하였다. 1. 합성함수의 극한과 연속에 관한 문제 해결 과정에서 어떠한 오류 유형 이 나타나는가? 2. 합성함수의 극한과 연속에 관한 문제 해결 과정에서 나타나는 오류의 원인은 무엇인가? 위 연구 문제를 수행하기 위하여 지필검사를 통한 조사연구 방법을 선택하였으며 광주광역시에 소재하는 D고등학교와 P고등학교에서 ...

본 연구의 목적은 고등학교 2학년 학생들이 합성함수의 극한과 연속에 관한 문제 해결 과정에서 보이는 오류의 유형을 알아보고, 오류가 나타나게 되는 원인을 알아봄으로써 합성함수의 극한과 연속에 관한 지도에 대한 시사점을 찾고자 하는 것이다. 따라서 본 연구의 목적을 달성하기 위하여 다음과 같이 2개의 연구문제를 설정하였다. 1. 합성함수의 극한과 연속에 관한 문제 해결 과정에서 어떠한 오류 유형 이 나타나는가? 2. 합성함수의 극한과 연속에 관한 문제 해결 과정에서 나타나는 오류의 원인은 무엇인가? 위 연구 문제를 수행하기 위하여 지필검사를 통한 조사연구 방법을 선택하였으며 광주광역시에 소재하는 D고등학교와 P고등학교에서 함수의 극한과 연속 단원을 이미 학습한 2학년 문과반 학생 각각 72명, 70명 총 142명의 학생들을 연구대상으로 검사를 실시하였다. 검사지는 현행 고등학교 「미적분과 통계 기본」교과서 9종과 익힘책 9종을 분석해 주관식 문항으로 개발하였다. 수학 교사의 협조 아래 1차의 예비검사를 통하여 문항의 수, 문항의 난이도, 검사 실시 시간의 적절성 등을 검토하여 수정․보완 과정을 거친 후에 검사지를 완성하였다. 검사 도구는 2007개정 교육과정에 따른 교과서와 익힘책의 함수의 극한과 연속 단원에 수록된 합성함수의 극한과 연속 문제를 분류하여 ‘함수의 극한과 연속에 대한 개념 정의문제’ 3문항, ‘합성함수의 극한과 연속에 관한 개념 적용 문제’ 4문항, 총 7문항으로 구성하였다. 학생들이 풀어 놓은 검사지를 분석하여 오류 유형을 분류하였으며 대표적인 오류를 보인 학생 3명을 선정하여 면담을 실시하였다. 본 연구의 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다. 첫째, 함수의 연속 정의에 제시된 세 가지 조건 중 ‘함수의 극한값과 함숫값이 같다’라는 조건만을 생각하는 학생들이 많았고, 이는 식으로 표현된 합성함수의 불연속점을 찾는 과정에서 오류가 나타나는 원인이 되었다. 함수 가 에서 불연속임을 밝히기 위해서는 에서 연속일 때의 세 가지 조건 중에서 어느 한 가지 조건이라도 만족하지 않아야 함을 이해하고 있어야 한다. 그러나 ‘함수의 극한값과 함숫값이 같다’라는 조건만 정의로 생각하는 것은 함숫값이나 극한값의 존재여부를 묻는 나머지 두 조건이 성립하지 않아 불연속인 함수에 대한 문제에서 오류가 나타나게 하였다. 따라서, 지도 과정에서 연속일 때의 세 가지 조건 중에서 어느 한 가지 조건이라도 성립하지 않으면 그 지점에서 불연속임을 이해할 수 있도록 구체적이고 다양한 예시를 제시하여 지도한다면 연속의 세 가지 조건을 정확히 이해하는데 도움이 될 것이다. 둘째, 학생들은 그래프로 표현된 함수 문제의 연속성을 파악하는 데는 익숙하지만 식으로 표현된 함수 문제에 대해서는 연속 조건에 대해 제대로 적용하지 못하는 경향을 보였다. 이는 지도상의 유의점에 명시된 바와 같이, 학습 과정에서 그래프를 통하여 직관적으로 함수의 연속에 대해 학습하기 때문에 나타난 것으로 보인다. 이러한 문제를 해결하기 위해서는 지도 과정에서 연속함수의 예시를 그래프와 함께 다양하게 제시하여 연속의 세 가지 조건이 어떻게 연결되는가를 세밀하게 가르치는 것이 필요하다. 셋째, 학생들은 그래프로 표현된 함수들을 합성한 합성함수를 파악하는데 어려움을 가지고 있었다. 많은 학생들이 식으로 주어진 두 함수를 합성하는 과정에서는 문제가 없지만 그래프로 주어진 두 함수에 대해서는 합성하지 못하고 풀이를 중단하였고, 이 중 일부의 학생은 주어진 그래프를 식으로 바꾸어 합성을 시도하였다. 이는 식으로 표현된 문제에서는 함수의 합성에 대해 합성함수 식을 구할 수 있는 정도로만 요구되지만, 그래프로 표현된 문제에서는 문제 해결을 위해서는 합성함수 의 정의역과 치역에 대한 개념, 의 정의역의 값이 변함에 따라 치역(의 정의역)의 값이 변하고, 그에 따라 의 치역의 값이 변하는 합성함수의 성질 역시 정확하게 이해하고 있어야 하기 때문으로 보인다. 넷째, 합성함수의 극한에 관한 문제를 해결하기 위해서는 개념에 대한 이해 뿐 아니라 개념간의 연결을 필요로 하기 때문에 위에서와 같이 각각의 개념을 알고 있어도 풀이에 오류가 나타났다. 학생들은 함수의 극한과 함수의 합성에 대해 자신이 가진 개념들을 연결하는 과정에서 상호작용이 제대로 되지 않아, 오류를 보였다. 이는 개념들이 혼합된 활용문제는 정의나 성질을 암기만 한 상태로는 해결할 수 없으며 개념간의 연결이 매우 중요함을 시사한다. 따라서 지도 과정에 있어서 여러 개념이 혼합된 개념적용 문제를 충분히 다룸으로써 학생들이 개념을 좀 더 정확히 이해하고 학습한 개념들을 서로 연결시켜 문제 해결 능력을 키울 수 있도록 하는 것이 중요하다고 생각된다.

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