본 연구의 목적은 수학영재 학생들을 위한 교수․학습 자료를 개발하고 이를 적용하여 학생들의 정당화 특성을 살펴보는데 있다. 이러한 연구의 목적을 구현하기 위해 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.
1. 조합론적 증명을 활용하여 피보나치 항등식에 관한 중학교 수학영재 교수․학습 자료를 어떻게 구성할 것인가?
2. 조합론적 증명을 활용한 피보나치 항등식에 관한 교수․학습 자료를 적용하는 과정에서 나타나는 중학교 수학영재 학생들의 정당화 특성은 어떠한가?
이와 같은 연구문제1을 해결하기 위해 교육 대상자와 교육 목표를 확인하고, 학습 소재와 주제를 발굴하였으며 문헌 연구를 통해 영재 교수․학습 모형, 영재의 프로그램 유형에 대해 고찰하였다. 이를 통해 교수․학습 모형을 Renzulli의 삼부심화학습모형, 프로그램 유형을 문제 해결형 프로그램으로 선택하고, 현직 교사의 도움을 받아 교수․학습 자료를 개발하였다. 연구문제 2를 위해서 문헌 연구를 통해 수학적 정당화의 의미를 알아보고 김정하(2009)의 PIRSO 분석틀을 사용하여 수학적 정당화 특징을 비교 및 분석하였다. PIRSO 분석틀은 문제의 인식, 조작적 불변자, 표현, 정당화의 단계, , 논리적 구성의 5개의 요소로 구성되어 있다. 이를 이용하여 분석을 하면 정당화의 내용을 심층 분석 가능하며 학생들이 정당화를 할 때 나타나는 문제점을 차고, 그것의 개선을 위해 지도하는데 유용하다. 연구 문제를 해결하기 위해서 한국교원대학교 영재교육원의 수학교과 사사과정에 참여하는 중학교 3학년 학생 4명을 교육대상자로 선정하여 이 4명을 대상으로 연구하였다. 교육과정 상으로 보면 증명이 처음으로 도입되는 시기가 중학교 2학년이고, 개발한 교수․학습 자료를 학습하기 위해 필요한 선수 내용으로 중학교 2학년 때 배우는 경우의 수에 대해 알고 있어야 하므로 중학교 3학년을 대상으로 선정하였다. 연구 과제는 문헌의 고찰을 통해 연구자가 직접 제작하였으며 총 4차시에 해당한다. 1차시의 주제는 피보나치 수와 n-보드 타일링이고, 2차시 주제는 여러 가지 피보나치 항등식, 3~4차시 주제는 유한단순 연분수와 피보나치 항등식이다. 1차시에 일반적인 탐색활동과 소집단 단위의 학습활동을 통해 증명문제 해결을 위한 준비를 하고, 2~4차시에 개인 단위의 문제해결 및 연구 활동을 통해 증명문제를 개별적으로 정당화하는 활동을 한다.
교수․학습 자료의 적용을 통해 나타나는 학생들의 정당화 특성은 다음과 같았다. 첫째, A2, A3, A4 학생은 과제1, 2 보다 과제3에서 조작적 불변자와 논리적 구성이 낮은 단계로 나타났다. 이는 학생들이 ...
본 연구의 목적은 수학영재 학생들을 위한 교수․학습 자료를 개발하고 이를 적용하여 학생들의 정당화 특성을 살펴보는데 있다. 이러한 연구의 목적을 구현하기 위해 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.
1. 조합론적 증명을 활용하여 피보나치 항등식에 관한 중학교 수학영재 교수․학습 자료를 어떻게 구성할 것인가?
2. 조합론적 증명을 활용한 피보나치 항등식에 관한 교수․학습 자료를 적용하는 과정에서 나타나는 중학교 수학영재 학생들의 정당화 특성은 어떠한가?
이와 같은 연구문제1을 해결하기 위해 교육 대상자와 교육 목표를 확인하고, 학습 소재와 주제를 발굴하였으며 문헌 연구를 통해 영재 교수․학습 모형, 영재의 프로그램 유형에 대해 고찰하였다. 이를 통해 교수․학습 모형을 Renzulli의 삼부심화학습모형, 프로그램 유형을 문제 해결형 프로그램으로 선택하고, 현직 교사의 도움을 받아 교수․학습 자료를 개발하였다. 연구문제 2를 위해서 문헌 연구를 통해 수학적 정당화의 의미를 알아보고 김정하(2009)의 PIRSO 분석틀을 사용하여 수학적 정당화 특징을 비교 및 분석하였다. PIRSO 분석틀은 문제의 인식, 조작적 불변자, 표현, 정당화의 단계, , 논리적 구성의 5개의 요소로 구성되어 있다. 이를 이용하여 분석을 하면 정당화의 내용을 심층 분석 가능하며 학생들이 정당화를 할 때 나타나는 문제점을 차고, 그것의 개선을 위해 지도하는데 유용하다. 연구 문제를 해결하기 위해서 한국교원대학교 영재교육원의 수학교과 사사과정에 참여하는 중학교 3학년 학생 4명을 교육대상자로 선정하여 이 4명을 대상으로 연구하였다. 교육과정 상으로 보면 증명이 처음으로 도입되는 시기가 중학교 2학년이고, 개발한 교수․학습 자료를 학습하기 위해 필요한 선수 내용으로 중학교 2학년 때 배우는 경우의 수에 대해 알고 있어야 하므로 중학교 3학년을 대상으로 선정하였다. 연구 과제는 문헌의 고찰을 통해 연구자가 직접 제작하였으며 총 4차시에 해당한다. 1차시의 주제는 피보나치 수와 n-보드 타일링이고, 2차시 주제는 여러 가지 피보나치 항등식, 3~4차시 주제는 유한단순 연분수와 피보나치 항등식이다. 1차시에 일반적인 탐색활동과 소집단 단위의 학습활동을 통해 증명문제 해결을 위한 준비를 하고, 2~4차시에 개인 단위의 문제해결 및 연구 활동을 통해 증명문제를 개별적으로 정당화하는 활동을 한다.
교수․학습 자료의 적용을 통해 나타나는 학생들의 정당화 특성은 다음과 같았다. 첫째, A2, A3, A4 학생은 과제1, 2 보다 과제3에서 조작적 불변자와 논리적 구성이 낮은 단계로 나타났다. 이는 학생들이 이진수 표기에 익숙하지 않은 이유도 있고, 정당화 문제가 문장으로 되어 있기 때문이기도 하다. 또한 정당화 수준에서도 특정한 예에 대해서 성립하는 것을 통해 일반적으로 성립한다고 하는 정당화를 하고 있다. 둘째, 모든 학생은 모든 과제를 해결함에 있어서 특정한 n에 대해 항등식이 성립함을 확인해보고 조작적 불변자를 발견하려고 하였다. 또한 과제1의 경우에는 모든 학생이 처음에 귀납적 정당화를 시도한 후에 연역적 정당화를 하였고, 과제2의 경우에는 모든 학생이 처음부터 연역적 정당화를 시도하였다. 셋째, 조작적불변자(I)와 정당화 수준(S)는 절대적으로 연관성이 있는 것이 아니다. 즉, 정당화 수준의 단계가 지식수준에 의해 좌우되지 않는다는 것이다. 과제1을 보면 A1과 A3은 조작적 불변자의 단계가 높고, 낮음에도 같은 연역적 정당화를 시도하였다.
본 연구를 통해 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다.
첫째, 조합론적 증명을 활용한 피보나치 항등식에 관한 교수․학습 자료는 수학영재 학생들에게 적합한 학습 자료이다. 그 이유는 먼저 연구의 결과에 따르면 본 교수․학습 자료의 과제에 대해 영재 학생들의 정당화 수준과 조작적 불변자의 관계가 적은 것으로 드러났다. 즉, 학생들의 수학 학습 수준이 정당화 수준에 미치는 영향이 적다고 볼 수 있다. 그런데 대부분의 과제에 대해 모든 학생들이 연역적 정당화를 시도하였고, 이는 학생들의 연역적 정당화의 지도에 강점을 드러낸다.
둘째, 중학교 3학년 수학영재 학생들의 정당화 학습 과정에서 연역적이고 형식적인 학습뿐만 아니라 수학적 언어와 기호에 대한 학습이 필요하다. 연구의 결과를 보면 도전할만한 문제에 대해서는 연역적인 증명을 시도하였지만 간혹 어렵다고 생각되는 문제에 대해서 귀납적으로 정당화를 하였다. 학생들이 귀납적으로 정당화를 한 것을 보면 조작적 불변자는 충분하였지만 귀납적으로 정당화를 한 것으로 보아 수학적 언어로의 표현이 부족 하였다고 할 수 있다. 따라서 연역적이고 형식적인 정당화 학습뿐 아니라 수학적으로 표현하는 언어와 기호에 대한 학습이 필요하다고 생각된다.
이와 같은 연구의 결과를 바탕으로 몇 가지 제안을 하고자 한다.
첫째, 수학 영재 학생을 위한 교수․학습 자료가 지속적으로 개발되어야 한다. 수학 영재 교육이 선행학습, 속진학습을 위한 것이 아니라 의미 있는 교육이 되기 위해 영재를 위한 교수․학습 자료의 개발이 꾸준히 되어야 한다.
둘째, 본 연구에서 정당화 특성을 분석하기 위해 사용한 PIRSO 분석틀처럼 수학영재 학생들의 증명 교육에 지침을 주고, 교수학적으로 접근하기 위해 수학영재 학생들에게 적합한 세분화 된 정당화 분석틀이 필요하다. 분석틀의 개발로 수학 영재학생들의 수준이 어떠하며 부족한 부분은 어디인지 찾아서 지도할 때 참고할 수 있을 것이다.
셋째, 본 연구는 학생 4명을 대상으로 한 사례연구이다. 따라서 보다 많은 학생들을 대상으로 하여 정당화 특성을 분석하고 요소 사이에는 어떠한 영향이 있고, 중학교 수학영재 학생들의 증명 교육에 필요한 것이 무엇인지 알아보는 후속 연구가 요구된다.
본 연구의 목적은 수학영재 학생들을 위한 교수․학습 자료를 개발하고 이를 적용하여 학생들의 정당화 특성을 살펴보는데 있다. 이러한 연구의 목적을 구현하기 위해 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.
1. 조합론적 증명을 활용하여 피보나치 항등식에 관한 중학교 수학영재 교수․학습 자료를 어떻게 구성할 것인가?
2. 조합론적 증명을 활용한 피보나치 항등식에 관한 교수․학습 자료를 적용하는 과정에서 나타나는 중학교 수학영재 학생들의 정당화 특성은 어떠한가?
이와 같은 연구문제1을 해결하기 위해 교육 대상자와 교육 목표를 확인하고, 학습 소재와 주제를 발굴하였으며 문헌 연구를 통해 영재 교수․학습 모형, 영재의 프로그램 유형에 대해 고찰하였다. 이를 통해 교수․학습 모형을 Renzulli의 삼부심화학습모형, 프로그램 유형을 문제 해결형 프로그램으로 선택하고, 현직 교사의 도움을 받아 교수․학습 자료를 개발하였다. 연구문제 2를 위해서 문헌 연구를 통해 수학적 정당화의 의미를 알아보고 김정하(2009)의 PIRSO 분석틀을 사용하여 수학적 정당화 특징을 비교 및 분석하였다. PIRSO 분석틀은 문제의 인식, 조작적 불변자, 표현, 정당화의 단계, , 논리적 구성의 5개의 요소로 구성되어 있다. 이를 이용하여 분석을 하면 정당화의 내용을 심층 분석 가능하며 학생들이 정당화를 할 때 나타나는 문제점을 차고, 그것의 개선을 위해 지도하는데 유용하다. 연구 문제를 해결하기 위해서 한국교원대학교 영재교육원의 수학교과 사사과정에 참여하는 중학교 3학년 학생 4명을 교육대상자로 선정하여 이 4명을 대상으로 연구하였다. 교육과정 상으로 보면 증명이 처음으로 도입되는 시기가 중학교 2학년이고, 개발한 교수․학습 자료를 학습하기 위해 필요한 선수 내용으로 중학교 2학년 때 배우는 경우의 수에 대해 알고 있어야 하므로 중학교 3학년을 대상으로 선정하였다. 연구 과제는 문헌의 고찰을 통해 연구자가 직접 제작하였으며 총 4차시에 해당한다. 1차시의 주제는 피보나치 수와 n-보드 타일링이고, 2차시 주제는 여러 가지 피보나치 항등식, 3~4차시 주제는 유한단순 연분수와 피보나치 항등식이다. 1차시에 일반적인 탐색활동과 소집단 단위의 학습활동을 통해 증명문제 해결을 위한 준비를 하고, 2~4차시에 개인 단위의 문제해결 및 연구 활동을 통해 증명문제를 개별적으로 정당화하는 활동을 한다.
교수․학습 자료의 적용을 통해 나타나는 학생들의 정당화 특성은 다음과 같았다. 첫째, A2, A3, A4 학생은 과제1, 2 보다 과제3에서 조작적 불변자와 논리적 구성이 낮은 단계로 나타났다. 이는 학생들이 이진수 표기에 익숙하지 않은 이유도 있고, 정당화 문제가 문장으로 되어 있기 때문이기도 하다. 또한 정당화 수준에서도 특정한 예에 대해서 성립하는 것을 통해 일반적으로 성립한다고 하는 정당화를 하고 있다. 둘째, 모든 학생은 모든 과제를 해결함에 있어서 특정한 n에 대해 항등식이 성립함을 확인해보고 조작적 불변자를 발견하려고 하였다. 또한 과제1의 경우에는 모든 학생이 처음에 귀납적 정당화를 시도한 후에 연역적 정당화를 하였고, 과제2의 경우에는 모든 학생이 처음부터 연역적 정당화를 시도하였다. 셋째, 조작적불변자(I)와 정당화 수준(S)는 절대적으로 연관성이 있는 것이 아니다. 즉, 정당화 수준의 단계가 지식수준에 의해 좌우되지 않는다는 것이다. 과제1을 보면 A1과 A3은 조작적 불변자의 단계가 높고, 낮음에도 같은 연역적 정당화를 시도하였다.
본 연구를 통해 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다.
첫째, 조합론적 증명을 활용한 피보나치 항등식에 관한 교수․학습 자료는 수학영재 학생들에게 적합한 학습 자료이다. 그 이유는 먼저 연구의 결과에 따르면 본 교수․학습 자료의 과제에 대해 영재 학생들의 정당화 수준과 조작적 불변자의 관계가 적은 것으로 드러났다. 즉, 학생들의 수학 학습 수준이 정당화 수준에 미치는 영향이 적다고 볼 수 있다. 그런데 대부분의 과제에 대해 모든 학생들이 연역적 정당화를 시도하였고, 이는 학생들의 연역적 정당화의 지도에 강점을 드러낸다.
둘째, 중학교 3학년 수학영재 학생들의 정당화 학습 과정에서 연역적이고 형식적인 학습뿐만 아니라 수학적 언어와 기호에 대한 학습이 필요하다. 연구의 결과를 보면 도전할만한 문제에 대해서는 연역적인 증명을 시도하였지만 간혹 어렵다고 생각되는 문제에 대해서 귀납적으로 정당화를 하였다. 학생들이 귀납적으로 정당화를 한 것을 보면 조작적 불변자는 충분하였지만 귀납적으로 정당화를 한 것으로 보아 수학적 언어로의 표현이 부족 하였다고 할 수 있다. 따라서 연역적이고 형식적인 정당화 학습뿐 아니라 수학적으로 표현하는 언어와 기호에 대한 학습이 필요하다고 생각된다.
이와 같은 연구의 결과를 바탕으로 몇 가지 제안을 하고자 한다.
첫째, 수학 영재 학생을 위한 교수․학습 자료가 지속적으로 개발되어야 한다. 수학 영재 교육이 선행학습, 속진학습을 위한 것이 아니라 의미 있는 교육이 되기 위해 영재를 위한 교수․학습 자료의 개발이 꾸준히 되어야 한다.
둘째, 본 연구에서 정당화 특성을 분석하기 위해 사용한 PIRSO 분석틀처럼 수학영재 학생들의 증명 교육에 지침을 주고, 교수학적으로 접근하기 위해 수학영재 학생들에게 적합한 세분화 된 정당화 분석틀이 필요하다. 분석틀의 개발로 수학 영재학생들의 수준이 어떠하며 부족한 부분은 어디인지 찾아서 지도할 때 참고할 수 있을 것이다.
셋째, 본 연구는 학생 4명을 대상으로 한 사례연구이다. 따라서 보다 많은 학생들을 대상으로 하여 정당화 특성을 분석하고 요소 사이에는 어떠한 영향이 있고, 중학교 수학영재 학생들의 증명 교육에 필요한 것이 무엇인지 알아보는 후속 연구가 요구된다.
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