본 연구를 위해 427명의 고등학교 2, 3학년 학생들을 대상으로 설문 조사를 실시하였으며 설문 문항의 구성은 다음과 같다.
1번, 2번 문항에서는 고등학생들이 지니고 있는 증명의 의미와 기능에 대한 인식을 분석하기 위해 자유 기술형과 다중 응답형 문항으로 각각 구성하였다. 특히, 2번 문항의 선택지는 De Villiers(1999)가 제시한 증명의 기능 분류(확인, 설명, 발견, 체계화, 의사소통, 지적 도전)를 바탕으로 구성하였다. 3번∼6번 문항은 HeaIy & Hoyles(1998)의 연구에서 사용한 설문 문항 중 본 연구에 적합하다고 판단되는 문제를 선정하여 구성하였다. 3번, 5번 문항은 고등학생들이 지니고 있는 증명 유형에 대한 인식을 조사하기 위한 것으로 하나의 명제에 대해 다양한 증명을 읽고 자신의 증명과 가장 근접한 증명을 선택하는 문항과 교사가 채점을 한다고 가정했을 때, 가장 높은 점수를 받을 것으로 예상되는 증명 방법을 선택하는 문항으로 구성하였다. 그리고 4번, 6번 문항은 학생이 직접 증명을 수행하는 문항으로 그때 드러나는 증명 유형 및 증명 스킴 유형을 분석하는 동시에 학생의 기본 정보(소속 학교, 학년, 계열, 성별)에 따라 드러나는 증명 유형 및 증명 스킴 유형에 차이가 있는지를 분석하여 고등학생들의 증명 수행의 실제를 조사하기 위해 구성하였다. 학생들의 설문 응답은 EXCEL 2013, ...
본 연구의 목적은 국내 고등학생을 대상으로 증명에 대한 인식 및 증명 수행의 실제를 조사하여 증명 수행과 관련하여 학생들이 겪고 있는 어려움을 파악하고 나아가 증명 교육을 위한 시사점을 얻고자 하는 것이다. 이를 위해 다음과 같은 연구문제를 설정하였다.
1. 고등학생들이 지닌 증명에 대한 인식은 어떠한가? 1-1. 증명의 의미에 대한 인식은 어떠한가? 1-2. 증명의 기능에 대한 인식은 어떠한가? 1-3. 증명 유형에 대한 인식은 어떠한가?
본 연구를 위해 427명의 고등학교 2, 3학년 학생들을 대상으로 설문 조사를 실시하였으며 설문 문항의 구성은 다음과 같다.
1번, 2번 문항에서는 고등학생들이 지니고 있는 증명의 의미와 기능에 대한 인식을 분석하기 위해 자유 기술형과 다중 응답형 문항으로 각각 구성하였다. 특히, 2번 문항의 선택지는 De Villiers(1999)가 제시한 증명의 기능 분류(확인, 설명, 발견, 체계화, 의사소통, 지적 도전)를 바탕으로 구성하였다. 3번∼6번 문항은 HeaIy & Hoyles(1998)의 연구에서 사용한 설문 문항 중 본 연구에 적합하다고 판단되는 문제를 선정하여 구성하였다. 3번, 5번 문항은 고등학생들이 지니고 있는 증명 유형에 대한 인식을 조사하기 위한 것으로 하나의 명제에 대해 다양한 증명을 읽고 자신의 증명과 가장 근접한 증명을 선택하는 문항과 교사가 채점을 한다고 가정했을 때, 가장 높은 점수를 받을 것으로 예상되는 증명 방법을 선택하는 문항으로 구성하였다. 그리고 4번, 6번 문항은 학생이 직접 증명을 수행하는 문항으로 그때 드러나는 증명 유형 및 증명 스킴 유형을 분석하는 동시에 학생의 기본 정보(소속 학교, 학년, 계열, 성별)에 따라 드러나는 증명 유형 및 증명 스킴 유형에 차이가 있는지를 분석하여 고등학생들의 증명 수행의 실제를 조사하기 위해 구성하였다. 학생들의 설문 응답은 EXCEL 2013, SPSS 12.0을 이용하여 분석하였으며 도출한 연구결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다. 첫째, 고등학생들이 증명 학습에서 겪는 어려움을 파악하기 위해서는 우선 학생이 지니고 있는 증명에 대한 의미 및 기능에 대한 인식에 초점을 맞출 필요가 있다. 본 연구 결과에서 고등학생들이 지닌 증명에 대한 의미 및 기능에 대한 인식의 폭은 매우 좁은 것으로 드러났다. 이에 수학교사 및 수학 교육 연구자들은 현재 학교 수학에서 ‘증명의 위치는 어디쯤인가’에 대한 질문을 던질 필요가 있다. 증명의 구조를 학습하는 것도 중요하지만 증명을 하는 것이 정말로 무엇을 의미하는지 제대로 인식할 때에 학생들은 타당한 증명 활동을 할 수 있다. 따라서 교사들은 증명의 본질과 증명의 다양한 기능을 경험할 수 있는 다채로운 수업을 준비해야하며, 이를 위해 충분한 증명 수업 시간이 할애되어야 한다. 더불어 교사의 인식은 학생의 학습경험에 직접적인 영향을 미치는 바, 교사 연수를 통해 교사들도 증명의 본질과 증명의 다양한 기능을 경험하고 인식할 수 있도록 도와야 한다. 둘째, 대수 영역의 증명에서 학생들은 경험적 증명 유형과 해설적 증명 유형에 의존하지만 그것의 한계를 어느 정도 인식하고 있었다. 즉, 명제와 관련된 수학적 내용과 수업에서 배워야 할 증명의 구조는 이해하고 있다는 것이다. 이러한 인식은 실제 증명 수행에서도 반영이 되었다. 따라서 교사들은 경험적 증명이 연역적 증명이 될 수 없다는 것을 학생들에게 좀 더 분명히 인식시키고, 수학적 아이디어를 기호, 문자를 사용하여 나타낼 수 있는 충분한 경험을 제공하여 학생들의 대수적 번역(해석) 능력을 키우는데 집중해야 한다. 셋째, 기하 영역에서 고등학생들이 지닌 타당한 증명 유형에 대한 인식은 좀 더 유연해 질 필요가 있다. 증명 유형 인식 조사 결과 학생들은 타당한 형식적 증명을 선호하였다. 그러나 실제 증명 수행 결과에서는 제공된 문항이 중학교에서 다루는 명제임에도 불구하고 무응답 및 인식이 불가능한 답안의 비율이 총 54%에 다달았으며 전체의 20.8%만이 타당한 형식적 증명을 사용하였다. 기하 영역에서의 증명은 형식적 증명이 쉬워서가 아니라 증명은 이래야 한다는 개념이 이미 형성되어 있는 것으로 판단된다. 하지만 학생들의 증명 수행 능력은 그에 미치지 못한다. 특히 주어진 명제를 이미지로 표현하는 표상 능력이 부족하며, 자신의 아이디어를 제대로 설명하지 못하며, 논리적으로 서술하는 능력이 매우 부족하다. 또한 가정과 결론을 구분한 후 무엇을 증명해야 하는지에 대한 판단력이 약하다. 고등학교에서 최종적으로 다루어야 할 증명은 간단한 연역적 증명이지만 경험적, 해설적 증명 또는 귀납적, 지각적 인식 스킴이 가지는 유용한 측면이 분명이 있다. 이를 활용한다면 기하 영역에서 학생들이 겪는 증명의 어려움을 해소하는데 도움이 될 것이다. 넷째, 추론 및 증명을 가르치는 것은 논리적 사고능력 발달을 위함이고, 나아가 수학적 추론이 인간의 사고의 습관이 되도록 하는 것이다. 이러한 사고의 습관을 향상시키기 위해서 학년, 계열, 성별에 관계없이 추론 및 증명을 강조해야 하며 그를 위한 수업이 구성되어야 한다. 본 연구의 결과 학생들은 전반적으로 낮은 증명 수행 능력을 보였으며 학생들의 기본 정보에 따라 증명의 실제에 차이가 있었는데 이는 바람직하지 않다. 학생들이 겪고 있는 증명 학습의 어려움 해소 및 증명 수행 능력의 향상을 위해서는 학생들의 특징 및 학생을 둘러싼 환경적 요인에 부합하는 교수 방법을 반영하여 더욱 풍부한 증명 교육이 이루어지도록 해야 한다.
본 연구의 목적은 국내 고등학생을 대상으로 증명에 대한 인식 및 증명 수행의 실제를 조사하여 증명 수행과 관련하여 학생들이 겪고 있는 어려움을 파악하고 나아가 증명 교육을 위한 시사점을 얻고자 하는 것이다. 이를 위해 다음과 같은 연구문제를 설정하였다.
1. 고등학생들이 지닌 증명에 대한 인식은 어떠한가? 1-1. 증명의 의미에 대한 인식은 어떠한가? 1-2. 증명의 기능에 대한 인식은 어떠한가? 1-3. 증명 유형에 대한 인식은 어떠한가?
본 연구를 위해 427명의 고등학교 2, 3학년 학생들을 대상으로 설문 조사를 실시하였으며 설문 문항의 구성은 다음과 같다.
1번, 2번 문항에서는 고등학생들이 지니고 있는 증명의 의미와 기능에 대한 인식을 분석하기 위해 자유 기술형과 다중 응답형 문항으로 각각 구성하였다. 특히, 2번 문항의 선택지는 De Villiers(1999)가 제시한 증명의 기능 분류(확인, 설명, 발견, 체계화, 의사소통, 지적 도전)를 바탕으로 구성하였다. 3번∼6번 문항은 HeaIy & Hoyles(1998)의 연구에서 사용한 설문 문항 중 본 연구에 적합하다고 판단되는 문제를 선정하여 구성하였다. 3번, 5번 문항은 고등학생들이 지니고 있는 증명 유형에 대한 인식을 조사하기 위한 것으로 하나의 명제에 대해 다양한 증명을 읽고 자신의 증명과 가장 근접한 증명을 선택하는 문항과 교사가 채점을 한다고 가정했을 때, 가장 높은 점수를 받을 것으로 예상되는 증명 방법을 선택하는 문항으로 구성하였다. 그리고 4번, 6번 문항은 학생이 직접 증명을 수행하는 문항으로 그때 드러나는 증명 유형 및 증명 스킴 유형을 분석하는 동시에 학생의 기본 정보(소속 학교, 학년, 계열, 성별)에 따라 드러나는 증명 유형 및 증명 스킴 유형에 차이가 있는지를 분석하여 고등학생들의 증명 수행의 실제를 조사하기 위해 구성하였다. 학생들의 설문 응답은 EXCEL 2013, SPSS 12.0을 이용하여 분석하였으며 도출한 연구결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다. 첫째, 고등학생들이 증명 학습에서 겪는 어려움을 파악하기 위해서는 우선 학생이 지니고 있는 증명에 대한 의미 및 기능에 대한 인식에 초점을 맞출 필요가 있다. 본 연구 결과에서 고등학생들이 지닌 증명에 대한 의미 및 기능에 대한 인식의 폭은 매우 좁은 것으로 드러났다. 이에 수학교사 및 수학 교육 연구자들은 현재 학교 수학에서 ‘증명의 위치는 어디쯤인가’에 대한 질문을 던질 필요가 있다. 증명의 구조를 학습하는 것도 중요하지만 증명을 하는 것이 정말로 무엇을 의미하는지 제대로 인식할 때에 학생들은 타당한 증명 활동을 할 수 있다. 따라서 교사들은 증명의 본질과 증명의 다양한 기능을 경험할 수 있는 다채로운 수업을 준비해야하며, 이를 위해 충분한 증명 수업 시간이 할애되어야 한다. 더불어 교사의 인식은 학생의 학습경험에 직접적인 영향을 미치는 바, 교사 연수를 통해 교사들도 증명의 본질과 증명의 다양한 기능을 경험하고 인식할 수 있도록 도와야 한다. 둘째, 대수 영역의 증명에서 학생들은 경험적 증명 유형과 해설적 증명 유형에 의존하지만 그것의 한계를 어느 정도 인식하고 있었다. 즉, 명제와 관련된 수학적 내용과 수업에서 배워야 할 증명의 구조는 이해하고 있다는 것이다. 이러한 인식은 실제 증명 수행에서도 반영이 되었다. 따라서 교사들은 경험적 증명이 연역적 증명이 될 수 없다는 것을 학생들에게 좀 더 분명히 인식시키고, 수학적 아이디어를 기호, 문자를 사용하여 나타낼 수 있는 충분한 경험을 제공하여 학생들의 대수적 번역(해석) 능력을 키우는데 집중해야 한다. 셋째, 기하 영역에서 고등학생들이 지닌 타당한 증명 유형에 대한 인식은 좀 더 유연해 질 필요가 있다. 증명 유형 인식 조사 결과 학생들은 타당한 형식적 증명을 선호하였다. 그러나 실제 증명 수행 결과에서는 제공된 문항이 중학교에서 다루는 명제임에도 불구하고 무응답 및 인식이 불가능한 답안의 비율이 총 54%에 다달았으며 전체의 20.8%만이 타당한 형식적 증명을 사용하였다. 기하 영역에서의 증명은 형식적 증명이 쉬워서가 아니라 증명은 이래야 한다는 개념이 이미 형성되어 있는 것으로 판단된다. 하지만 학생들의 증명 수행 능력은 그에 미치지 못한다. 특히 주어진 명제를 이미지로 표현하는 표상 능력이 부족하며, 자신의 아이디어를 제대로 설명하지 못하며, 논리적으로 서술하는 능력이 매우 부족하다. 또한 가정과 결론을 구분한 후 무엇을 증명해야 하는지에 대한 판단력이 약하다. 고등학교에서 최종적으로 다루어야 할 증명은 간단한 연역적 증명이지만 경험적, 해설적 증명 또는 귀납적, 지각적 인식 스킴이 가지는 유용한 측면이 분명이 있다. 이를 활용한다면 기하 영역에서 학생들이 겪는 증명의 어려움을 해소하는데 도움이 될 것이다. 넷째, 추론 및 증명을 가르치는 것은 논리적 사고능력 발달을 위함이고, 나아가 수학적 추론이 인간의 사고의 습관이 되도록 하는 것이다. 이러한 사고의 습관을 향상시키기 위해서 학년, 계열, 성별에 관계없이 추론 및 증명을 강조해야 하며 그를 위한 수업이 구성되어야 한다. 본 연구의 결과 학생들은 전반적으로 낮은 증명 수행 능력을 보였으며 학생들의 기본 정보에 따라 증명의 실제에 차이가 있었는데 이는 바람직하지 않다. 학생들이 겪고 있는 증명 학습의 어려움 해소 및 증명 수행 능력의 향상을 위해서는 학생들의 특징 및 학생을 둘러싼 환경적 요인에 부합하는 교수 방법을 반영하여 더욱 풍부한 증명 교육이 이루어지도록 해야 한다.
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