[논문]입력관측기의 정량적 성능지표 (I) -과도상태 해석-

정종철; 이범석; 허건수

doi:10.3795/ksme-a.2002.26.10.2060

[국내논문] 입력관측기의 정량적 성능지표 (I) -과도상태 해석-
A Quantitative Performance Input for an Input Observer ( I ) - Analysis in Transient State - 원문보기

大韓機械學會論文集. Transactions of the Korean Society of Mechanical Engineers. A. A, v.26 no.10 = no.205, 2002년, pp.2060 - 2066

정종철 (한양대학교 대학원 정밀기계공학과) , 이범석 (삼성테크원㈜) , 허건수 (한양대학교 기계공학부)

Abstract ▼ AI-Helper

The closed-loop state and input observer is a pole-placement type observer and estimates unknown state and input variables simultaneously. Pole-placement type observers may have poor transient performance with respect to ill-conditioning factors such as unknown initial estimates, round-off error, etc. For the robust transient performance, the effects of these ill-conditioning factors must be minimized in designing observers. In this paper, the transient performance of the closed-loop state and input observer is investigated quantitatively by considering the error bounds due to ill-conditioning factors. The performance indices are selected from these error bounds and are related to the observer robustness with respect to the ill -conditioning factors. The closed-loop state and input observer with small performance indices is considered as a well-conditioned observer from the transient perspective.

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문제 정의

본 논문은 극점배치 기법의 입력관측기의 한종류인 Closed-loop State and Input Observer (CSIO)(1)에서 과도상태와 정상상태의 성능을 좌우하는 성능지표를 결정하고자 한다. CSIO도 극점배치 방법 때문에 초기 추정오차나 라운드오프 오차 등의 ill-conditioning 요소로 인하여 과도상태에서 큰 오차를 발생시킬 수 있고 모델링 오차나 센싱 오차로 인하여 정상상태에서 큰 오차를 발생시킬 수 있다.
임의의 초기 추정 오차와 round-off 오차 등의 ill-conditioning 요소에 대하여 CSIO의 과도상태에서의 성능에 대한 영향을 살펴보고 그 성능지표를 결정하고자 한다.
의존한다.(9) 더미/상태/입력 변수에 대한 초기 추정 오차의 영향을 정량적으로 분석하고 그 성능지표를 구하고자 한다.
이러한 추정오차의 크기를 정량적으로 표현하고 이에 대한 과도상태의 성능지표를 결정하고자 한다.
상태변수인 flux linkagee%)와 입력변수인 부하(F)를 추정하는 것을 목적으로 하였다. 시스템 행렬은 4차 시스템이며 그 고유값은 {-20±j2850, -95, -44가이다.
연구되었다. 오차 특성에 관하여 고유값 민감도 해석과, (4) 고유값/고유벡터에 의한 강인한 극점배치에 관한 다양한 연구가 이루어으며 이러한 연구에서 고유벡터의 condition number의 크기가 성능에 큰 영향을 미침을 보았다.°~令 또한 Lam and Tam㈣은 closedloop의 고유벡터 행렬의 Frobenius norm에 근거한 condition number를 최소화하는 영역을 설정하고 그 영역 내에서 극점배치를 함으로써 강인한 고유구조를 가지게끔 하였다.

가설 설정

스핀들 드라이브 시스템은 다음의 4차 선형 상태 방정식으로 표현되며 파라미터는 시불변으로 가정한다.

제안 방법

그러나 모든 상태변수나 입력변수를 즉정하는 것이 어렵기 때문에 측정불가능한 상태변수나 입력변수를 추정하는 연구가 진행되어왔다. 입력 추정에 관한 연구에서 Park and SteirMe 측정값과 이의 미분값을 이용하여 상태 변수와 입 력변수를 동시에 추정하는 입 력관측기를 설계하였으며, Corless and Tu°)는 불확실성이 있는 시스템에서 Lyapunov-type 조건에 의해 상태변수와 입력변수를 추정하는 문제를 다루었다. Xiong and Saif°)는 이를 확장하여 비위상 시스템에서의 입력 관측기를 제안하였다.
오차 특성에 관하여 고유값 민감도 해석과, (4) 고유값/고유벡터에 의한 강인한 극점배치에 관한 다양한 연구가 이루어으며 이러한 연구에서 고유벡터의 condition number의 크기가 성능에 큰 영향을 미침을 보았다.°~令 또한 Lam and Tam㈣은 closedloop의 고유벡터 행렬의 Frobenius norm에 근거한 condition number를 최소화하는 영역을 설정하고 그 영역 내에서 극점배치를 함으로써 강인한 고유구조를 가지게끔 하였다. Huh and Stein, 이"은 과도상태와 정상 상태에서의 관측기 성능에 대한 iU-conditioning 요소의 영향을 정량적 성능지표로 나타내었고, 이를 하나의 주지표로 통합하여 wellconditioned(강인한 성능을 갖는) 관측기를 설계하였다.
CSIO도 극점배치 방법 때문에 초기 추정오차나 라운드오프 오차 등의 ill-conditioning 요소로 인하여 과도상태에서 큰 오차를 발생시킬 수 있고 모델링 오차나 센싱 오차로 인하여 정상상태에서 큰 오차를 발생시킬 수 있다. 이에 CSIO 설계시 초기 추정오차 형상의 민감도와 추정오차의 크기 등의 과도상태 성능에 관한 해석을 통하여 ill-conditioning 요소들이 과도상태 성능에 미치는 영향을 정량적으로 나타내는 성능지표를 구하였고, 예제를 통해 성능지표의 유효성을 검증하였다. 그리고 모델링오차와 센싱 오차에 대한 정상상태의 정량적 성능지표는 참고문헌 (13)에 소개되었다.
각각의 성능지표와 고유벡터도 Table 1에 나타내었다. 두 관측기의 과도상태의 추정 성능이 초기 추정오차와 round-ofif 오차에 대해 비교되었다. Table 1에서 보여지는 것처럼 case 1은 큰 성능지표를 가지나 case 2는 작은 성 능지 표 값을 갖는다.
스핀들 시스템에서 부하가 5N・m로 시작하여 20 N・m로 변하는 경우에 대하여 시뮬레이션 하였고 두 관측기에 대하여 ill-conditioning 요소에 대한 과도 상태의 성능 결과를 비교하였고 성능지표의 유효성을 검증하였다.
Closed-loop State and Input Observer (CSIO) 설계시 임의의 초기값에 의한 과도상태의 오차 형상의 민감도와 오차의 크기, round-ofF 오차에 의한 고유값의 민감도를 정량적으로 표현하고 이로부터 성능지표를 구하였고 예제를 통해 검증하였다. 시뮬레이션 결과 성능지표를 이용하여 관측기 성능을개선시킬 수 있음을 볼 수 있었다.
스핀들 드라이브 시스템에서 ill-conditioning 요소와 성능지표 간의 관계를 알아보고, 상태변수와 입력 변수에 대한 추정 성능을 살펴보았다. 스핀들 드라이브 시스템은 다음의 4차 선형 상태 방정식으로 표현되며 파라미터는 시불변으로 가정한다.

성능/효과

시뮬레이션 결과 성능지표를 이용하여 관측기 성능을개선시킬 수 있음을 볼 수 있었다. 결론적으로 과도상태의 성능지표인 险(成 ), 萄(尸)와 l/|g金I의 크기를 줄이는 방법은 CSIO의 ill-conditioning 요소에 대한 강인성을 보장할 수 있으며 이런 관점에서 well-conditioned state and input observer 라 할 수 있다.
시뮬레이션 결과 성능지표를 이용하여 관측기 성능을개선시킬 수 있음을 볼 수 있었다. 결론적으로 과도상태의 성능지표인 险(成 ), 萄(尸)와 l/|g金I의 크기를 줄이는 방법은 CSIO의 ill-conditioning 요소에 대한 강인성을 보장할 수 있으며 이런 관점에서 well-conditioned state and input observer 라 할 수 있다.

참고문헌 (14)

Park, Y. and Stein, J. L., 1988, 'Closed-Loop, State and Input Observer for Systems with Unknown Inputs,' Int. J. of Control, Vol. 48, No.3, pp. 1121-1136

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Corless, M. and Tu, J., 1998, 'State and Input Estimation for a Class of Uncertain Systems,' Automatica, Vol. 34, No.6, pp, 757-764

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Xiong, Y. and Saif, M., 2000, 'Output Derivative Free Design of Unknown Input Plus State Functional Observer,' Proc. of the American Control Conference, pp. 399-403
Berger, W. A., Perry, R. J. and Sun, H. H., 1988, 'Eigenvalue Sensitivity in Multivariable Systems,' IEEE Conf. on Systems Engineering, pp. 433-436
Spurgeon, S. K., 1990, 'Pole Placement and Extensions for Multivariable Systems-A Survey,' Proc. of the American Control Conference, Vol. 2, pp. 1660-1665
Junkins, L. J and Kim, Y., 1993, Introduction to Dynamics and Control of Flexible Structures, AIAA Education Series
Liu, G. P. and Patton, R. J., 1998, Eigenstructure Assignment for Control System Design, John Wiley & Sons Ltd
Seo, Y. B., Choi, J. W. and Lee, M. H., 2000, 'Eigenstructure Assignment for LTI Systems with Stochastic Parameter Variations,' Proc. of the American Control Conference, pp. 3812-3816
Huh, K. and Stein, J. L., 1994, 'A Quantitative Performance Index for Observer-Based Monitoring Systems,' ASME J. of Dynamic Systems, Measurement and Control, Vol. 116, pp. 487-497

상세보기
Lam, J. and Tam, H. K., 1997, 'Regional pole assignment with eigenstructure robustness,' Int. J. of Systems Science, Vol. 28, No.5, pp. 507-515

상세보기
Huh, K. and Stein, J. L., 1995, 'Well-Conditioned Observer Design for Observer-Based Monitoring Systems', ASME J. of Dynamic Systems, Measurement and Control, Vol. 117, pp. 592-599

상세보기
Patton, R. J. and Chen, J., 1997, 'Observer-Based fault Detection and Isolation:Robustness and Applications,' Control Engineering Practice, Vol. 5, No.5, pp.671-682

상세보기
Jung, J., Lee, B. and Huh, K., 2002, 'A Quantitative Performance Index for an Input Observer (II), - Analysis in Steady-State,' Trans. of the KSME, A. Vol. 26, No. 10, pp. 2067-2072

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Golub, G. H. and Van Loan, C. F., 1989, Matrix Computations, 2nd Ed., The Johns Hopkins Univ. Press

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