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가설 설정
- 복잡한 기하학적 형상을 갖는 계산영역을 네개의 격자점을 갖는 사각형 요소로 비정렬 격자를 구성하고 그 격자점에 속도와 압력을 포함한 모든 종속변수가 정의되는 것으로 가정하여 위에서 유도된 지뱅 방정 식 을 Galerkin법 을 이 용하여 이산화 하였다. 먼저 중간속도성분에 관한 식 (5)를 요소에 대하여 적분하면 식 (10)과 같고
제안 방법
- 2차원 캐버티 유동은 성사각형의 계산영역에서 한 면이 일정한 속도를 가지고 움직인 때 이 면의 이동에 의해서 발생되는 게산영역내의 유동으로 계산영역의 각 변의 무차원 길이를 1 보 하였으벼 레이놀드 수가 각각 1000과 3200인 때에 대하여 계산을 수행하였다. 계산영역내의 격자匕 (40x40)의 비균일 격 자료 구성 하였으며 격 자점 의수는 1681개이고 요소의 수는 1600개이다.
- 계산영역이 25DX10D 이고 레이놀드 수가 40 '175 사이인 실린더 주위 유동을 해석하였다. 해석에 적용한 경계조건들을 Fig.
- 있다. 본 연구에서는 경계면에서의 운동량 방정식과 연속방정식을 적용하여 유도된 Neumann 형태의압력 경계조건식을 적용하여 압력분포를 해석하였다. 압력 경계조건식은 운동량관계식에 경계면의수 직방향 단위백터, 의 내적을 취함으로서얻을 수 있으며 이는 식 (14)와 같다.
대상 데이터
- 계산을 수행하였다. 계산영역내의 격자匕 (40x40)의 비균일 격 자료 구성 하였으며 격 자점 의수는 1681개이고 요소의 수는 1600개이다. 계산영여의 형상과 격자의 모양을 Fig.
- 6에 나타내었으며 입구와 출구 경계면 에서 수직방향 압력구 배 는식 (15)의 조건을 적용하였다. 계산영역의 격자수는 7960개이고 요소 수는 7800개이며 격자의 분포는 Fig. 7에서 보는 바와 같이 실린더 벽 주위에 격자를 집중시켰다. 비정상유동 해석의 시간 간격 /t=0.
데이터처리
- Re = 1000, 3200일 때 계산영역 의 중앙위 치인 X = 0.5 와 y = 0.5에서의 속도 분포를 Ghia(11) 의 실험결과와 Karniadakis가 Spectral Element 법을 이용하여 제작된 NEKTAR를 이용한 계산결과 그리고 유한차번법과 SIMPLE법을 이용하여 계산된 결과를 비교하여 Fig. 4와 Fig. 5에 나타냈다. 그림에서 보는 바와 같이 본 연구의 계산결과가 Spectral Element법과 유한차분법에 의한 결과 보다 실험 결과에 더 잘 일치하고 있음을 알 수 있다.
이론/모형
- 일반적으로 복잡한 형상을 가지고 있는 영역에서의 Navier-Stokes 방정식의 수치해석은 계산영역을 비 정렬, 비균일 격 자로 구성 하고 각 요소에 대 하여 미분방정식을 이산화하는 유한요소법을 이용하는 것이 유한차분법 또는 유한체적법을 이용하여 이산화하는 것보다 상대적으로 해석코드 제작에 있어서 편리하여 그 적용분야가 확대되고 있다. 또한 비정상 유동에 관한 해석에는 연속방성식으로부터 유도된 압력보정 푸아송방정식의 해를 이용하여 속도와 압력을 보정하는 SIMPLE법고+ 압력구배를 포항하고 있는 운동량방정식을 분리하여 중간속도성분으로부터 압력눈포를 선정, 연속방정식을 만족시키는 Fractional-Step '"'"에 의한 해석이 그 주류를 이루고 있다. 수치해의 안정성은 압력 푸아송방정식의 안정성과 닐접한 관계가 있으며 경계면에서의 압력 조긴 의시 이 안정성에 영향을 주고 있다.
- Kamiadaki舟는 압력경 계조건과해의 발산과의 관계에 관한 연구에서 겅계면에서의 발산(Boundary Divergence Flux)은 시간간적에의해서 직접적으?M 제어될 수 있고 :z 오자, 다단계 근사에 의해서 줄일 수 있다고 하였다. 따라서 본 연구에서는 중간속도성분과 무발산속노성분을 이용하여 미분방정식을 분리하였고 압력푸아송방정식의 해석에 압력셩계조건으고 경계은동량방정 식으로부터 유도된 압력구배를 이용하였으녀 압력겅 계조건의 대 류항에 다단게근사법 욜 적용하였다. 선형대수 행렬식의 해, RILU법욜이 용하여 수렴성 을 향상시 킨 Conjugate-Gradient법을 이용하였다.
- 본 연:f 에서;: 비정상 비압축성 Navier-Stokes 방정식을 Fractional-Step법을 이용하여 몇 개의 叫분방정식으로 분리 시키고 이 분리된 방정식들을 유한요소법으로 이산화하였고 경 게운동양방정식 과 다단계 는사법으로부터 유도된 압녀경 계조 건읍 해 석방법으로 제 시 한다.
- 비정상 비압축성유동 해석을 위한 Navier -Stokes 방정식의 수치해석법으로 대류항에 Adams-Bashforth 법적 용하고 시간압력구배항과점성항에 중간속도성분과 무발산중간속도성분을 이용하여 4개의 미분방정식으로 분리하였고 각미분방정식을 Galerkin법을 이용한 유한요소법으로 이산화하여 복잡한 계산영역에서의 유동 해석에 용이하게 하였다. 유동해석의 안정성과 수렴성은 유동장내의 압력분포 해석에 의해서 결정되며 압력경계조건이 그 해의 안정성에 가장 큰 영향을 미치고 있다.
- 따라서 본 연구에서는 중간속도성분과 무발산속노성분을 이용하여 미분방정식을 분리하였고 압력푸아송방정식의 해석에 압력셩계조건으고 경계은동량방정 식으로부터 유도된 압력구배를 이용하였으녀 압력겅 계조건의 대 류항에 다단게근사법 욜 적용하였다. 선형대수 행렬식의 해, RILU법욜이 용하여 수렴성 을 향상시 킨 Conjugate-Gradient법을 이용하였다. 본 연구에서 제시한 해석방법으로 2자원 캐버티 유동과 실린더 주위의 유동을 해석하여 결과와 기존의 실힘 또, 해석긴과를 비교하여 제 시방법 의 타당성 은 검 증하였나.
- 여기서 (n + 1)과 (n)은 시간을 나타내h 점자로 (n + 1)은 새로우 시간 스탭을 나타내고 H는 대류항으로 Adams-Bashferth법을 적용하여 다음고} 같이 정의하였다.
- 여기서 비 선형 항 H, 는 Adams-Bashforth법은이용한 다단계근사법을 적용하였다. 본 연〒, 비압축성 유동에 대한 연〒로 식 (14)의 섬성항에 연속방정식을 적용하여 식 (15)와 같은 경셰에 서 비압축성 유동의 압력 구배 식 을 유도할 수 있다.
성능/효과
- 5에 나타냈다. 그림에서 보는 바와 같이 본 연구의 계산결과가 Spectral Element법과 유한차분법에 의한 결과 보다 실험 결과에 더 잘 일치하고 있음을 알 수 있다.
- 10 과 11의 결과를 볼 때 스트로홀 수의 변화와 실린더 표면에서의 압력계수의 분포가 Grove와 Williamson의 실험결과와 일치하고 있다. 따라서 본 연구에서 제시한 조건을 통해서 해석의 안정성을 확보할 수 있고 해석결과 역시 타 방법에 비해 실험 결과에 더 근접한 값을 얻을 수 있다.
- 유동해석의 안정성과 수렴성은 유동장내의 압력분포 해석에 의해서 결정되며 압력경계조건이 그 해의 안정성에 가장 큰 영향을 미치고 있다. 따라서 본 연구에서는 경계운동량방정식으로부터 유도된 Neumann 형태의 압력경계조건을 경계조건으로 적용 경계면에서 해의 발산을 시간 간격으로 제어하고 대류항에 적용한 시간에 대한 다단계근사법으로 오차를 줄여 유동해석의 안정성과 수렴성을 확보할 수 있었다. 해석 결과에 있어서도 Fig.
- 8에서 보는 바와 같이 실린더 후미에서 시간변화에 대한 속도와 압력의 변화가 일정한 주기를 가지고 반복적으로 나타나는 상태이며 이 때 와 흘림이 나타나게 된다. 레이놀드 수가 커질수록 u, V, 0의 진폭은 커지고 정상상태에 도달하는 시간은 빨라져 레이놀드 수가 60, 100, 160일 때 각각 t = 87, 80, 60 에서 정상상태에 도달하는 것으로 나타났다.
- 선형대수 행렬식의 해, RILU법욜이 용하여 수렴성 을 향상시 킨 Conjugate-Gradient법을 이용하였다. 본 연구에서 제시한 해석방법으로 2자원 캐버티 유동과 실린더 주위의 유동을 해석하여 결과와 기존의 실힘 또, 해석긴과를 비교하여 제 시방법 의 타당성 은 검 증하였나.
- 따라서 본 연구에서는 경계운동량방정식으로부터 유도된 Neumann 형태의 압력경계조건을 경계조건으로 적용 경계면에서 해의 발산을 시간 간격으로 제어하고 대류항에 적용한 시간에 대한 다단계근사법으로 오차를 줄여 유동해석의 안정성과 수렴성을 확보할 수 있었다. 해석 결과에 있어서도 Fig. 4와 5에서 보는바와 같이 SIMPLE법을 이용한 유한차분 해석결과에 비해서 20% 정도 그리고 Fractional Step법을 적용하여 Spectral Element 법으로 제작된 NEKTAR의 해석결과 보다 10%정도 향상된 결과를 얻을 수 있었으며 와의 형성 위치도 Choi 의 해석결과와 일치했다. 또한 실린더 주위의 유동에서는 Fig.
후속연구
- 유동 자체에 대한 해석과 유동구조를 규명하기 위하여 여러가지 수치기법을 이용하여 Navier- Stokes 방정식의 수치 해를 찾기 위한 노력 이수 십 년간 이어져오고 있으며 앞으로도 많은 연구자들에 의해서 연구가 진행될 것이다. 일반적으로 복잡한 형상을 가지고 있는 영역에서의 Navier-Stokes 방정식의 수치해석은 계산영역을 비 정렬, 비균일 격 자로 구성 하고 각 요소에 대 하여 미분방정식을 이산화하는 유한요소법을 이용하는 것이 유한차분법 또는 유한체적법을 이용하여 이산화하는 것보다 상대적으로 해석코드 제작에 있어서 편리하여 그 적용분야가 확대되고 있다.
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