[논문]중첩법에 의한 중앙 크랙 선단의 응력확대계수에 관한 검증

한문식; 조재웅; 이양섭

문제 정의

7)이러한 분포크랙 발생의 응력부식(Stress corrosion) 내지 우식 파괴 (Corrosion fatigue)예 있어서 잘 나타나는데 이들에 대하여는 파괴 역학과 통계적인 방법을 이용한 여러가지 연구가 발표되어 있다9,10) 또한 압력용기에 있어서 내압에 의하여 응력을 받고 있는 내측에 다수의 표면크랙이 존재하고 있을 때오4 응력 확대계수에 대하여서도 실험 결과가 발표되어 있다.m 따라서 본 연구에서는 구조물내 분포되어 있는 a랙 또는 결함들의 위치와 갯수와 대응하여 이들 그■랙들을 가진 탄성체의 강도를 쉽게 평가할 수 있는 수치로서의 응력확대계수를 간편하게 구할 수 있는 중첩법을 유한요소법 으로 구한 응력 확대 게수로서 검증하여 제시하였고, 이를 바탕으로 작은 크랙들에 의한 중앙크랙선단의 상호간섭에 대해서 해석 검토하였다.
본 연구에서는 분할요소로서 유한요소법에 적용하기가 가장 간편한 3각형 요소를 사용하였고, 중앙 크랙선단에서의 응력확대계수를 구하는 데 있어 요소수가 적어도 비교적 오차가 적온 에너지 법 인 전에너지 법(Total energy method)을 이용하였다. 또한 응력확대계수에는 중첩법이 적용되므로 크랙군 이 존재할 때에 대하여는 중첩법의 적용여부 및 그 오차도 검토하여 보았다. 중첩법의 원리는 다음과 같이 적용된다.
본 연구에서는 균열 상호간의 간섭 효과를 연구하기 위하여 작은 크랙들의 위치를 8백여 회 바꾸어 가면서 중앙크랙선단의 응력확대계수를 구하여 그 오차의 정도를 비교하여 보았다. 해석 결과 그 오차의 정도는 Table 2나 3에서와 같이 역시 3% 이내에 들어갔다.
본 연구에서는 기초적으로 해석의 간편화를 위하여 대칭배치 크랙이 분포되어 있을 때에 대하여 해 석하여 보았다. 이와 같은 해석의 결과로 술구칙 분포 크랙의 발생, 간섭, 합체에 의한 파괴를 통계적인 방법과 유한요소법 등을 포함시려 해석할 수가 있을 것으로 생각이 된다.
해석 결과에 대하여 축차적으로 고찰을 가하여 보겠다.

제안 방법

즉, 여기서는 Fig. 1 (a), (b), (c)들의 3가지 형에 대하여만 작은 크랙의 위치를 각각 변화시켜 가면서 해석을 하였는데, 이때의 중앙크랙의 길 이 로서는 2a= 20mm, 30mm, 40mm 및 50mm로 잡고 그때마다 해석을 하였다. 해석의 결과를 보면 전 에너지법(Total energy method)으로 직접 구한해와 중첩법에 의하여 구한해와는 잘 일치하여 대체적으로 중첩법의 효용성을 증명하여 주고 있으며, 작은 크랙으로 인하여 중앙크랙선단에서의 응력확대 계수의 값이 현저하게 떨어지는 경우 등을 포함할 때는 Table 2 및 3에 예로서 표시된 바와 같이 그 오차가3% 이내에 이르렀다
또한 작은 크랙들을 함유하고 있을 때의 큰 중앙크랙선단에서의 응력확 대 계수(Ki/Ko)로 무차원화시켜 Ki/Ko의 데이터를 Y좌표(RAT)로 삼았는데, 중첩법에 의하여 구한RATT와의 오차(%)도 나타내고 있다. 또한 이동하는 작은 크랙의 중앙위치를 시편의 1/2 폭에 대한 비 로써 무차원화시켜 X 좌표로 잡았다.
본 해석에서는 앞에서도 말한 바와 같이 대칭임을 고려하여 시편 1/4에 대하여 검토를 하여 보았는데 시편 1/4에 대한 요소수는 162개, 절점수는 100개를 사용하였고, 구속 조건으로서 X축상의 절점에서는 Y축방향의 변위를 구속하였으며, Y축상 의 절점에서는 X축방향의 변위를 구속하여서 중앙크랙에 있어서 크랙의 진행은 X축상의 절점에서는 Y축방향 변위의 구속을 하나씩 풀어줌으로써 행하였다.
1과 같은 모델을 선택하였다. 이 S1 림에서도 알 수 있는 바와 같이 크랙들을 내포하고 있는 정방형판이 크랙선에 대하여 직각 방향으로 하중의 작용을 받을 때 Fig. 1의 모든 경우에 있어서 조건이 상하, 좌우 모두 대칭이므로 해석은 판의 U4의 사선친 부분에 대하여 행하였다.
6 % 이내에 있고, 본 연구에 필요한 작은 크랙이 존재하고 있을 때의 해석의 상호비교에는 큰 지장이 없는 것으로 사료된다. 중앙크랙 주위에 작은 크랙이 존재하고 있을 때의 응력 확대계수를 구하는 데 있어서, 중첩법을 사용하였을 때의 정도를 검토하기 위하여 해석을 하여 보았는데 이 해석결과는 다음과 같다. 즉, 여기서는 Fig.
3에서 보인 바와 같이 전체 시 편의 폭은 2b= 90mm, 길이는 2h= 90mm, 두께는 t= 1mm로 하였고, 길이 2a=20mm인 중앙크랙 주위에 대칭으로 분포되어 있는 작은 크랙의 길이는 10mm 로 하였다. 해석을 하기 위한 조건으로서는 평면변 형율(Plane strain)상태하에서 균등분포하중 1764N 의 인장을 주고 양단에 작용하는 분포하중은 절점에 작용하는 하중으로 치환하여 작용시켰고, 탄성 계수(Modulus of elasticity;E)는 205.8kN/mrf, 프와송 비 (Poisson's ratio;는 0.3 으로 하였다.

대상 데이터

3에 나타내었다. 본 모델에 있어서는 Fig. 3에서 보인 바와 같이 전체 시 편의 폭은 2b= 90mm, 길이는 2h= 90mm, 두께는 t= 1mm로 하였고, 길이 2a=20mm인 중앙크랙 주위에 대칭으로 분포되어 있는 작은 크랙의 길이는 10mm 로 하였다. 해석을 하기 위한 조건으로서는 평면변 형율(Plane strain)상태하에서 균등분포하중 1764N 의 인장을 주고 양단에 작용하는 분포하중은 절점에 작용하는 하중으로 치환하여 작용시켰고, 탄성 계수(Modulus of elasticity;E)는 205.
본 연구에서는 관통크랙이 한 방향으로 분포되어 있는 경우에 대하어 웅력확대계수를 구하고 이들 크랙의 상호간섭에 의한 응력확대계수의 변동 및 그 오차도 아울러 검토하여 보기로 하였는더L 본 연구에서는 우선 2차원 모델을 대상으로 하되, 연구 외 기본 모델로서는 중앙에 크랙을 갖는 정방형판 을 선택하였다. 이때 이 중앙 크랙 주변에 이크랙보다 크기가 작은 크랙들이 발생하였을 때의 중앙크 랙선단에서의 응력확대계수가 분포되어 있는 a랙 들의 위치에 따라 어떻게 변하는가를 해석하기 위하여 4개, 8개 및 12개의 크랙들이 중앙 크랙 주변에 대칭으로 분포되어 있는 Fig.
본 연구에서는 관통크랙이 한 방향으로 분포되어 있는 경우에 대하어 웅력확대계수를 구하고 이들 크랙의 상호간섭에 의한 응력확대계수의 변동 및 그 오차도 아울러 검토하여 보기로 하였는더L 본 연구에서는 우선 2차원 모델을 대상으로 하되, 연구 외 기본 모델로서는 중앙에 크랙을 갖는 정방형판 을 선택하였다. 이때 이 중앙 크랙 주변에 이크랙보다 크기가 작은 크랙들이 발생하였을 때의 중앙크 랙선단에서의 응력확대계수가 분포되어 있는 a랙 들의 위치에 따라 어떻게 변하는가를 해석하기 위하여 4개, 8개 및 12개의 크랙들이 중앙 크랙 주변에 대칭으로 분포되어 있는 Fig. 1과 같은 모델을 선택하였다. 이 S1 림에서도 알 수 있는 바와 같이 크랙들을 내포하고 있는 정방형판이 크랙선에 대하여 직각 방향으로 하중의 작용을 받을 때 Fig.

데이터처리

본 해석에 앞서, 중앙크랙만이 존재하고 있을 경우의 해석의 정도를 검토하기 위하여 본 연구에서 의 해석의 결과를 Isida 등의 해석'3)과 비교하여 보 았다.

이론/모형

본 연구에서는 분할요소로서 유한요소법에 적용하기가 가장 간편한 3각형 요소를 사용하였고, 중앙 크랙선단에서의 응력확대계수를 구하는 데 있어 요소수가 적어도 비교적 오차가 적온 에너지 법 인 전에너지 법(Total energy method)을 이용하였다. 또한 응력확대계수에는 중첩법이 적용되므로 크랙군 이 존재할 때에 대하여는 중첩법의 적용여부 및 그 오차도 검토하여 보았다.

성능/효과

1) 작은 크랙의 좌측선단이 중앙크랙의 우측선단 보다 좌측에 있는 경우에는 중앙크랙선단에서 의 응 력확대계수는 작은 크랙이 없는 경우에 비하여 더 작은 값을 취하고, 반대로 작은 크랙 좌측선단이 중앙크랙의 우측선단보다 우측에 있는 경우에는 중앙 크랙선단에서의 응력 확대계수는 중앙크랙만이 있을 때에 비하여 더 큰 값을 취한다.
2) 중앙 크랙 주위에 작은 크랙들이 서로 겹쳐질수록 상호간섭은 커져 그 오차는 높아짐을 보이고 있고 그 겹쳐진 크랙들이 중앙크랙으로부터의 거리가 가까워질수록 오차는 높아짐을 보이고 있다.
3) 중앙크랙선단 주위에서 첫 번째로 가까운 작은 크랙이 중앙크랙의선단에 가까워질수록 그 상호간섭도는 커져 그 오차가 높아짐을 보이고 있다.
4) 중앙크랙선단 주위에서 두 번째 및 세 번째로 가까운 크랙들이 중앙크랙선단 주위에 가까워지고 그 크랙들이 겹쳐질수록 그 상호간섭은 커져 중첩법 과 유한요소법에 의해 구한 응력 확대 계수와의 오차는 더 커짐을 알 수 있다.
5) 작은 크랙이 산재하고 있을 때에 중앙 크랙 선단에서의 응력확대계수는 중앙크랙선단에 작은 크랙들이 극히 가까워지고 서로 겹쳐지는 경우를 제외 하고는 중첩법으로 정도 좋게 구할 수가 있었다.
6) 이러한 위의 결과들을 종합적으로 살피면 작은 크랙들이 분포된 위치에 따라서 그 응력확대계 수를 쉽게 계산하여 재료의 안전성에 대한 강도를 판정할 수 있다.
15에서 보면, 중앙 크랙 주위에 작은 크랙들이 가까워질수록 그 상호간섭은 커져 그 오차는 커짐을 알 수 있었고, 작은 크랙들이 서로 겹쳐져 밀집할수록 그 오차는 더 커짐을 알 수 있었다. 그러나 위와 같이 중앙크랙선단에 작은 크랙들이 극히 가까워지고 서로 겹쳐지는 경우를 제외하고는 대체적으로 작은 크랙들이 많이 산재하고 있을 때의 중앙크랙선단에서의 응력확대계수는 중첩 법으로 쉽게 구할 수가 있었는데, 그 오차가 대체로 1% 이내에 있으므로써 그 정도가 좋은 것으로 판 명되었다.
이는 중앙크랙선단에 가까운 작은 크랙들이 서로 겹쳐질수록 Error(%)가 가장 높음을 보여주고 있으며 그 외의 위치의 경우는 1% 이내를 보이고 있다. 그리고 등응력확대계수(RAT)는 중앙크랙 선단 위로부터 첫 번째인 작은 크랙 우측선단이 중앙크랙 우측선 단 바로 안쪽으로 들어왔을 때이며 대체로 0.8보다 낮고, 두 번째 작은 크랙의 영향은 별로 없음을 알 수 있었다.
첫 번째 크랙과 두 번째 크랙이 중앙크랙에 가까워져 그 상호간섭의 영향을 받고 있고 그 크랙들이 서로 겹쳐져 상호간섭을 많이 일으키고 있다. 그리고 첫 번째, 두 번째 및 세 번째 크랙들이 서로 겹쳐졌을 때 중앙크랙선단 선상에서 가까운 부위에서 가장 많은 간섭을 일으켜 그 오차가 가장 커짐을 알 수 있다. 그리고 Fig.
12부터 14를 보면 중앙크랙선단 주위에 첫 번째의 작은 크랙이 중앙크랙선단에 가까워질수록 그 상호간섭의 영향은 많아지고 있다. 또한 두 번째 및 세 번째 크랙들은 중앙크랙선단 주위에 가까워지고 그 크랙들이 겹쳐질수록 그 상호간섭 이 큼을 알 수 있었다. 또한 Fig.
그러나 첫 번째인 작은 크랙의 좌측선단이 중앙 크 랙의 우측선단을 바로 벗어난 후는 1보다 휠씬 높아 져 중앙크랙만이 있을 때의 응력확대계수보다는 상당히 높아짐을 보이고 있다. 또한 첫 번째인 작은 크 랙 의 좌측선단이 중앙크랙 우측선단 바깥쪽으로 멀리 나와 있을 때는 바로 벗어난 후보다는 응력확대 계수가 다소 낮아지나 중앙크랙만이 있을 때의 경우보다는 높아짐을 알 수 있다.
Table 1에 비교표를 나타내었다. 이 표에서 알 수 있는 바와 같이 대체적으로 본 해석의 결과는 오차 약 3.6 % 이내에 있고, 본 연구에 필요한 작은 크랙이 존재하고 있을 때의 해석의 상호비교에는 큰 지장이 없는 것으로 사료된다. 중앙크랙 주위에 작은 크랙이 존재하고 있을 때의 응력 확대계수를 구하는 데 있어서, 중첩법을 사용하였을 때의 정도를 검토하기 위하여 해석을 하여 보았는데 이 해석결과는 다음과 같다.
1 (a), (b), (c)들의 3가지 형에 대하여만 작은 크랙의 위치를 각각 변화시켜 가면서 해석을 하였는데, 이때의 중앙크랙의 길 이 로서는 2a= 20mm, 30mm, 40mm 및 50mm로 잡고 그때마다 해석을 하였다. 해석의 결과를 보면 전 에너지법(Total energy method)으로 직접 구한해와 중첩법에 의하여 구한해와는 잘 일치하여 대체적으로 중첩법의 효용성을 증명하여 주고 있으며, 작은 크랙으로 인하여 중앙크랙선단에서의 응력확대 계수의 값이 현저하게 떨어지는 경우 등을 포함할 때는 Table 2 및 3에 예로서 표시된 바와 같이 그 오차가3% 이내에 이르렀다

후속연구

또한 이러한 사항을 체계적으로 연구, 그 결과를 종합하여 놓으면 재료의 재질 향상, 수송기기를 포함하는 기계 및 LPG, LNG 연료 저장탱크 구조물의 안전설계 및 안전성 평가 등에 이용이 클 것으로 예상이 된다.
본 연구에서는 기초적으로 해석의 간편화를 위하여 대칭배치 크랙이 분포되어 있을 때에 대하여 해 석하여 보았다. 이와 같은 해석의 결과로 술구칙 분포 크랙의 발생, 간섭, 합체에 의한 파괴를 통계적인 방법과 유한요소법 등을 포함시려 해석할 수가 있을 것으로 생각이 된다.2)

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