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문제 정의
- 그러면 이렇게 만들어진 고차원 도형들은 과연 형식불역의 방법에 의해 기존의 수학적 원리를 일반화시키는데 모순이 되지 않는지를 검증해 보자.
- 그리고 3차원에서는 정다면체(regular polyhedron)4)가 5개뿐이라는 설명 방식을 형식불역의 방식으로 확장하면 4차원에서는 정다포체 (regular polytope)5)가 6개뿐임을 설명할 수 있다. 그리고 더 나아가 기둥형과 뿔형의 고차원 도형 중에서 사각형이나 삼각형으로 이루어진 특수한 도형을 통해 또 다른 수학적 성질들을 점검해 보기로 한다.
- 본 논문은 4차원 이상의 고차원 도형에 대한 기하학적 모델을 탐구하기 위해 3차원 도형에서 사용하는 기둥형과 뿔형을 형식불역의 원리에 따라 확장해 보면서 이로부터 특별히 만든 고차원 도형이 기존의 일반적인 수학적 성질과 원리, 법칙에 모순됨이 없는지를 형식불역의 방법을 통해 검증해 보았다. 두 가지 정의는 뿔형의 3차원 도형의 밖에 새로운 한 점을 잡고 이 점으로부터 기존의 각 꼭지점을 연결하여 생기는 도형은 4차원 뿔형이 될 것이라는 것과 기둥형의 3차원 도형을 이용하여 이 도형에 포함되지 않는 새로운 방향으로 3차원 도형을 이동하여 생기는 자취공간은 4차원 기둥형이라는 것이다.
- 우선, 꼭지점의 수(V), 모서리의 수(E), 면의 수(F)에 대한 V-E+F=2를 '다면체에서의 오일러 정리'라고 하는데, 이를 일반화한 '오일러의 특성수(Euler's Characteristics)'가 4차원 도형에 적용될 수 있는 지를 확인해 보자. 그리고 3차원에서는 정다면체(regular polyhedron)4)가 5개뿐이라는 설명 방식을 형식불역의 방식으로 확장하면 4차원에서는 정다포체 (regular polytope)5)가 6개뿐임을 설명할 수 있다.
- 이에 본 논문은 4차원 도형의 기하학적 표현이 부분적으로 가능함을 확인하고 형식불역의 방법으로 차원을 확장하여 정의한 고차원 도형의 표현 양식과 그에 따른 몇 가지 성질들이 기존에 이미 일반적으로 적용되고 있는 유명한 수학적 성질과 정리에 모순이 되지 않음을 보이려고 한다. 다만, 탐구의 대상은 손잡이가 없는 볼록한 도형으로 제한한다.
가설 설정
- 정의 2 : n차원 도형에 대해 그 도형을 포함하지 않는 공간에 한 점을 잡고 각 꼭지점을 연결하여 만든 도형은 n+1차원 도형이다.(뿔형)
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