[논문]응답량 재사용을 통한 순차 근사최적설계

황태경; 최은호; 임오강

doi:10.3795/ksme-a.2005.29.1.045

문제 정의

그러므로 전체 설계영역에서 구해진 근 사식의 정확도는 덜어지게 된다. 그래서 본 연구에서는 각 단계의 근 사 식을 만들어지는 영역인 순차 설계영역牌을 사용하고 각 단계에서 수렴하지 않았을 때 순차 설계영역을 수정된 실험계획법에 따라 재설정하고자 한다. 순차 설계영역은 각 스텝에서 근 사 식이 만들어질 설계영역으로 설계 변수를 변화 시켜 구한다.

가설 설정

이 검정 통계량도 통계량이므로 확률 변수이며 확률분포를 갖는다. 검정 통계량의 분포를 알면 그 영역을 기각 역과 채택 역으로 나누어 검정 통계량의 값이 기각 역에 속하면 귀무가설을 기각하고, 아니면 채택한다. 귀무가설이 맞을 때에도 검정 통계량의 값이 기각 역에 속할 때가 있는데, 이러한 확률을 검정의 유의수준이라 한다.
본 논문은 먼저 각 단계의 순차 설계영역에 있어서 비선형성이 큰 문제나 노이즈가 많은 표면에 있어서 근 사식 표현의 부정확함으로 가정한다. 근 사식의 부정확함으로 인해 실험 횟수를 무한정으로 늘이면 오차 분산이 크거나, 검 출력이 낮아지는 등과 같은 추정의 폭이 넓어진다 V 정확도를 높이는 방법으로 반복 횟수마다 실험 방법을 각 설계 변수에 대해 동일한 영향력을 가진 직교배열표를 쓰고 각 단계에서 최적해에 수렴하지 않을 경우 전 단계의 응답량을 재사용하여 실험조건을 변화시킬 것으로 판단되는 것을 인자로 취하여 실험 배치를 재구성하거나 블록의 반복 수를 늘리는 실 험방법을 사용하여 각 단계의 응답량을 효과적 으 로 다루어 설계 완료를 위한 반복 횟수가 크게 줄어든다.
결정계 수법을 하기 위해 두 가지 가설을 세우는데, B는 각 항의 변수이며 다음과 같이 나타낸다. 여기서 귀무가설은 검정의 대상으로 삼는가 설이고, 대립가설은 이를 부정하는 가설이다. 귀무가설이 세워지면 표본을 관찰하여, 가설을 채택할 것인가, 부정할 것인가를 결정하기 위한 통계량을 채택하여야 한다.

제안 방법

제약 조건에는 응력과 변위 제약조건을 사용하였으며 각 단계의 최적해는 PLBA를 이용하여 구하였다. 각각의 예제는 기존의 순차 근사최적화 기법을 사용한 경우와 응답량 재사용을 이용한 혼합 실험 계획법을 비교하여 설명하였다.
본 연구에서는 다음의 순차 근사 최적의 흐름을 따른다. 공학적인 지식을 이용해 전체 설계영역에서 정확도를 유지할 수 있는 근 사 식의 형태를 결정하고 근 사 식이 만들어지는 영역인 초기 순차 설계영역을 결정한다. 그런 다음 설계변수의 개수에 맞는 가장 적은 실험 횟수를 가지는 직교 배열 표를 선택하고 실험을 수행해 근 사 식을 구성하는데 필요한 시스템의 응답량인 응력이나 변위에 대한 정보를 구한다.
그런 다음 설계변수의 개수에 맞는 가장 적은 실험 횟수를 가지는 직교 배열 표를 선택하고 실험을 수행해 근 사 식을 구성하는데 필요한 시스템의 응답량인 응력이나 변위에 대한 정보를 구한다. 그리고 각 단계마다 응답 값을 저장한 다음 최소 자승법으로 근 사 식을 구하고 근 사 식을 최적 설계 알고리듬에 적용하여 최적 해를 구한다. 이때 각 단계의 최적값이 수렴하지 않고 국소 최적값을 나타낼 경우 저장된 응답 값 과 수정 추가된 실험 점으로 재설정된 실험 계획법으로 실험한다.
채택된 순차 설계영역과 수렴 조건을 2차원 형 상 최적 설계의 토크 암과 3차원 형상 최적 설계의 위 성 안테나 브래켓에 적용하였다. 모든 수치 예제의 목적 함수는 부피를 최소화하는 것이고 설계 변수는 각 부재의 단면, 길이, 폭 그리고 너비 등 설계변수를 다양화하여 실험을 실시하였다. 제약 조건에는 응력과 변위 제약조건을 사용하였으며 각 단계의 최적해는 PLBA를 이용하여 구하였다.
Table 3에는 해석에 필요한 물성치를 나타내었고, Table 4에는 설계변수의 초기치와 상한값, 하한값을 나타내었다. 본 실험에서는 3수준의 직 교배 열 표를 사용하였으며 각 단계마다 27회의 실험 횟수와 이동량 제한을 통해 순차적인 최적설 계값에 이르는 과정을 거친다.
두 가지 수렴조건 중에 하나만 만족하더라도 수렴하는 것으로 한다. 본 연구에서는 순자 근사 최적 알고리듬의 수렴조건으로서 최적해의 변화량에 대한 제한조건을 적용하였다. 스텝의 최적해 변화량이 일정 값 이하가 되면 순차 근사 최적 알고리듬은 수렴한다고 볼 수 있기 때문이다.
즉 스텝에서 얻어지는 최적해가 제한된 영역 내에 연속적으로 존재하면 수렴한다는 것이다. 본 연구에서의 최적해의 변화량을 제한한 수렴조건으로는 두 번의 반복 단계와 그 반복 단계가 저장된 실험 점으로 재설정된 영역 안에서 연속적으로 순차 설계영역 내에 최적해가 존재하면 종료시키는 수렴조건을 사용하였다.
위의 실험과는 달리 응답량을 재사용한 경우는 2수준의 직교 배열표를 사용하였으며며 각 단계마다 8회의 실험 횟수와 이동량 제한 없이 혼합직교 배열표의의 통해 순차적인 최적설계값에 이르 는 과정을 거친다. 6회의 반복 후 수렴하여 48회의 총 실험 횟수를 가진다.
비선형의 근 사 식을 쓸 때에는 기존의 2수준계 직교 배열표에서 실험 횟수를 증가시키는 방법으로 수준을 증가하여 사용하였으며 그 배열은 Table 1, 2와 같다. 이 또한 1회의 선 탐색 후 비선형의 근 사 식이나 정확도를 높일 때 쓰이며 3수준의 직교 좌표계에 추가되는 방식을 사용하였다.
그리고 각 단계마다 응답 값을 저장한 다음 최소 자승법으로 근 사 식을 구하고 근 사 식을 최적 설계 알고리듬에 적용하여 최적 해를 구한다. 이때 각 단계의 최적값이 수렴하지 않고 국소 최적값을 나타낼 경우 저장된 응답 값 과 수정 추가된 실험 점으로 재설정된 실험 계획법으로 실험한다. 이때 기존의 저장된 실험 점은 실험하지 않고 추가된 실험 점만 실험한 다음 근 사식을 다시 세운다.
모든 수치 예제의 목적 함수는 부피를 최소화하는 것이고 설계 변수는 각 부재의 단면, 길이, 폭 그리고 너비 등 설계변수를 다양화하여 실험을 실시하였다. 제약 조건에는 응력과 변위 제약조건을 사용하였으며 각 단계의 최적해는 PLBA를 이용하여 구하였다. 각각의 예제는 기존의 순차 근사최적화 기법을 사용한 경우와 응답량 재사용을 이용한 혼합 실험 계획법을 비교하여 설명하였다.
제약조건은 하단부 립과 각각의 구멍의 필렛의 선상의 응력이 320MPa이 넘지 않도록 하였으며 변위는 1mm를 넘지 않도록 하였다. 최대 변위는 0.
(2) 3차원 형상 최적 설계는 실제 부품으로 위성 안테나 브라켓을 예제로 선정하였다. 중량감소를 위한 구멍을 생성하였으며 구멍의 크기, 지지판의 두께와 위치를 설계변수로 선정하였다. 응력 제약 조건에 활성화되었으며 응력은 제약조건으로 정 해진 곳은 모두 제약조건을 넘지 않았다.
채택된 순차 설계영역과 수렴 조건을 2차원 형 상 최적 설계의 토크 암과 3차원 형상 최적 설계의 위 성 안테나 브래켓에 적용하였다. 모든 수치 예제의 목적 함수는 부피를 최소화하는 것이고 설계 변수는 각 부재의 단면, 길이, 폭 그리고 너비 등 설계변수를 다양화하여 실험을 실시하였다.
최 대응력은 하중이 가해지는 부분에서 발생하였고 그 값은 185MPa이다. 토크 암의 외곽 경계면만을 제약조건으로 하였다. 경계면의 최대 응력 값은 llOMPa로 유용해에 존재하였으며, 전체적으로 설계변수의 치수는 감소하였고, 기존의 최적해와 는 약간 상이한 값을 도출하였으나 응력제약 조건을 만족하고 부피감 소도 유사하여 신뢰성 있는 결과를 보였다.

대상 데이터

(2) 3차원 형상 최적 설계는 실제 부품으로 위성 안테나 브라켓을 예제로 선정하였다. 중량감소를 위한 구멍을 생성하였으며 구멍의 크기, 지지판의 두께와 위치를 설계변수로 선정하였다.
본 예제는 대단부의 원형 내부를 고정하고 소 단부의 끝단에서 횡하중이 작용한다. 형상과 설계 변수는 Fig.
유한요소 해석은 Fig. 7에 나타내었으며 고체 사면체 요소에 32, 321개의 요소 및 7, 769개의 절점을 사용하였다.

데이터처리

그 이유는 모형함수가 의미가 있는 경우에 한하여 올바른 최적 설계를 할 수 있는 것이므로 모형함수의 올바른 판단을 위하여 분산 분석표를 이용하여 여기에 따른 결징계수를 구하였다.

이론/모형

설계 요구 조건의 수와 결정해야 할 설계변수의 수가 많은 대규모 설계 문제에서는 근사최적화 방법을 적용하면 설계 완료를 위한 반복 횟수 즉, 실 험시간이 크게 줄어든다.© 근사함수 모델의 함수 형태를 구하기 위해 반응표면 법을 이용한다. 반응 표면이라 불리는 시스템의 실제 모델은 일반적으로 알 수가 없으며 또한 알고 있을 경우라도 일부 설계 영역에서만 유용하다.
하로 변화 시켜 구하였다. 각 단계의 수렴해는 순차 이차 계획법인 PLBA (Pshenichny-Lim-Belegundu-Arora) 알고리듬“, 을 사용하여 해를 구하였다. 구하여진 해에 의해서 각 단계의 수렴해가 정해지고, 수렴해가 연속하여 순차 설계영역에 존재하면 최적해로 간주하였다°)

성능/효과

(1) 채택된 두 가지 수렴 조건은 2개의 예제를 통하여 일반적인 최적 설계의 결과와 거의 일치하였다. 이동량 제한이 없어서 각 단계에서 설계변수의 변화나 목적함수의 변화의 기복이 심하였으나 수렴 값은 기존의 최적설계값과 거의 동일 하였다.
(3) 응답 값의 재사용은 실제 순차 최적 설계에 있어서 많은 시간 감소 효과를 보았으며, 실험 횟수 감소를 꾀하여 약 55%에서 60%의 실험 시간을 단 축시키는 결과를 보였다. 그러나 설계변수가 5개 미만의 경우 3수준 직교 배열표의의 경우 9회의 실험이 가능하므로 실험 횟수 감소 효과를 크게 보지 못하는 경우도 있었다.
토크 암의 외곽 경계면만을 제약조건으로 하였다. 경계면의 최대 응력 값은 llOMPa로 유용해에 존재하였으며, 전체적으로 설계변수의 치수는 감소하였고, 기존의 최적해와 는 약간 상이한 값을 도출하였으나 응력제약 조건을 만족하고 부피감 소도 유사하여 신뢰성 있는 결과를 보였다. Fig.
9에 기존의 실험 방법과 비교하였다. 그러나 27회의 3수준 직교 배열표를를 쓰지 않고 8회의 2수준 직교 배열표를 기반 한 혼합 직 교배 열 표와 응답량 재사용으로 실제 실험 횟수는 65%의 감소 효과가 있다.
근사 최적 설계에 있어서 반응표면 법(6)을 이용하여 근 사 식을 구하는 구체적인 이유는 적은 노력과 비용으로 정확한 근 사 식을 얻는데 있다. 그러므로 설계자는 반응표면 법을 이용하여 실제의 복잡한 시스템의 응답량에 대한 해석 결과를 매끄럽게 함으로써 전체적인 해석 결과의 형태를 잘 표현할 수 있다. 근 사 식을 형성함에 있어서 실험 계획법은 설계영역 내에서 필요한 실험 점의 위치와 실험 점의 개수를 결정하는 체계적인 방법을 말한다.
기존의 순차 근사 최적 설계의 부피 변화와 설계 변수의 변화는 수정된 실험계획법과 유사한 결과 값을 나타내었으며, 이동량의 제한으로 설계변수와 목적함수의 값은 완만한 변화를 보였다. 약 6회의 반복 회수로 수렴하였으며, 이 또한 응력 제 약 조건을 초과하지 않았다.
본 예제의 경우 비선형성이 크고 노이즈가 많은 수치 예제로서 혼합 실험 계획법을 사용하였으며 약 6회의 반복으로 수렴하였다. Fig.
4에 기존의 실험 방법과 비교하였다. 빈 복 횟수는 거의 차이가 없었어나, 27회의 3수준 직교 배열표를를 쓰지 않고 8회의 2수준 직교 배열표에에 기반 한 혼합직교 배열표와와 응답량 재사용으로 실제 실험 횟수는 25%의 감소 효과가 있다.
설계변수는 모두 5개로 상부의 필렛 처리된 삼 각형 모양과 하부의 사각형과 삼각형 모양의 구멍을 만듦으로써 중량 감소를 꾀하였다. 설계변수는 각부의 모서 리부분의 곡율반경과 지지립의 위치와 두께를 선정하였으며, Fig.
실제 순차 근사 최적 설계에 있어서 선 탐색 시간보다 각 실험 점의 응답 값을 구하는데 많은 시간이 소모된다. 이러한 문제를 극복하고자 하였으며, 근사 순차 설계의 개념에서 각각의 실험 응답 값을 다음 반복 회의 근 사 식을 도출할 때 재사용 함으로써 기존의 순차 근사최적 설계와 동일하거 나 근접한 정확도를 가지며 근 사 식의 차수 사용에 있어서 자유로울 수 있는 장점도 있었으며 이 동량 제한을 두지 않아도 수렴하는 결과를 보였다. 3차원 형상 최적화 문제에 있어서 기하학적으로 복잡한 모델의 경우에는 각 단계에 있어서 이 동량이 제한되어 있지 않아 설계변수 값의 기복이 큰 매개변수를 사용한 모델의 경우 형상이 변수에 따라 모델이 형성되지 않는 경우도 있었다.
제약조건은 하단부 립과 각각의 구멍의 필렛의 선상의 응력이 320MPa이 넘지 않도록 하였으며 변위는 1mm를 넘지 않도록 하였다. 최대 변위는 0.2 mm로 변위 제약 조건을 초과하지 않는 값을 나타내었으며 응력 제약 조건에 활성화되었음을 알 수 있었다. Fig.

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