[논문]유한요소법을 이용한 폴리머 압출 공정해석에 관한 연구

예영수; 김홍범; 이재욱; 김낙수

doi:10.3795/ksme-a.2005.29.1.145

문제 정의

국내 설계진들은 아직은 보수적인 관점에서 기존 의 1 축 스크루 압출 공정에 의하여 2 축 스크루 압출 시스템을 설계하고 있지만, 선도적인 해외 선진국의 설계진들은 실험과 수치모사를 통하여 기술을 높이고 있다. 본 논문에서는 압출기 시스 템의 계량부에 대한 수치시뮬레이션을 통하여 공 정상의 문제점을 예측하고, 압출기 시스템 설계 의 최적화 데이터를 제시하고자 한다.
따라서 공정 조건에 따른 스크루 위의 절점에 대한 정확 한 선속도의 부여가 해석에서 중요한 요인으로 작 용할 것 이 다. 본 연구에서는 개발된 solver 외 에 입 력파일 생성 프로그램을 개발하여 사용하였다.
본 연구에서는 유한요소법을 적용하여 2 축 스 크루 압출 공정해석이 가능한 프로그램을 개발하 였다. 그리고 이를 사용하여 1 축 및 2 축 스크루 의 압출 공정을 해석하였다.
그러나 압출공정의 공 정 설계는 복잡한 공정변수로 인하여 경험에 의 존하여 설계되어 왔고 중요한 몇 가지 공정변수 의 결정은 실험에 의존하고 있는 실정이다. 본 연구에서는 이러한 예측의 어려움이 있는 공정을 시뮬레이션을 통하여 해석하고 일련의 변수들을 제안할 수 있는 기초를 마련하여, 공정설계에 적 용할 수 있는 토대를 마련하고자 한다.국내 설계진들은 아직은 보수적인 관점에서 기존 의 1 축 스크루 압출 공정에 의하여 2 축 스크루 압출 시스템을 설계하고 있지만, 선도적인 해외 선진국의 설계진들은 실험과 수치모사를 통하여 기술을 높이고 있다.

가설 설정

본 연구에서는 계량 부의 일부분만을 해석하였으며, 계량부 시작 지점 의 압력을 0으로 설정했다. 실제 공정에서 계량부 로 이송된 재료는 어느 정도 압력 상태 하에 있으 나, 본 연구에서는 계량부의 끝 지점과의 압력구 배를 알아보기 위 하여 0로 가정 하였다.

제안 방법

(1) 4 단계 시간 분할법을 적용하여 복잡한 형 상 및 경계조건을 쉽게 적용할 수 있는 유한요소 해석 프로그램을 개발하였다. 검증을 위하여 수 평관 유동을 해석하여 엄밀해와 비교한 결과, 약 간의 오차는 있었지만 관내의 최고 속도 및 압력 분포 등에서 좋은 결과를 보였다.
(2) 1 축 스크루 압출기의 계량부에 대한 해석을 수행하였다. 비교 대상의 수치는 없었지만 압 력분포의 결과가 일반적으로 알려진 것과 같이 스크루의 출구 끝 부분에서 최고치를 보였으며 입 구부에 서 는 역 류현상이 일 어 남을 확인 하였 다.
(3) 스크루 압출기 에서 의 중요한 공정변수인 스크루의 형상 및 회전 속도에 따른 해석을 수행 하였다. 스크루의 회전속도가 빠를수록 압출속도 또한 빨라지지만 이에 비례하여 압출기내의 압력 또한 비례하여 증가하는 것을 보였다.
그러나 최근 나노(nano) 복 합체의 가공법으로 2 축 압출기가 사용되면서, 압 출기 내에서의 스크루 형상에 따른 혼련정도 및 압력 등에 관심을 가지며 압출기 설계에 관한 연 구가 활발히 이루어지고 있다. H. Potente㈤은 실 험을 통하여 압력을 묘사할 수 있는 수학적인 모 델을 개발하였고, T. Brouwer°)는 스크루 종류에 따른 압출기 내의 거동을 시험하였다. 압출기 내 의 유동해석을 위한 수치적 모사는 스크루의 복 잡한 형상과 움직이는 경계면으로 인하여 매우 복잡하고 난해하다.
모 델이므로 노즐을 추가해 해석했다. 각 스텝을 매 10° 씩으로하여 총 36스텝이 수행되었고, 매 스텝 은 0.002 의 시간증분으로 총 10 번 반복 되었다. 겅계조건으로는 계량부의 입구와 노즐의 출구부분 에서 압력을 0 으로 주었고, 스크루는 30rpm 으로 회 전시 켰고, 스크루 피 치간의 거 리는 10cm 이다.
요소수의 증가에 따라 해석시간 또한 증가하 는 것을 알 수 있다. 개발된 프로그램에서는 sparse matrix 기법을 사용하여 일반적으로 사용하 는 skyline storage 방법 이 적 용된 가우스 제거법 보 다 계산속도를 향상시켰다. 예를 들어, Case 3 의 경우 10 배의 속도향상을 보였으며, 요소수가 많을 수록 계산의 효율이 높았다.
본 연구에서는 유한요소법을 적용하여 2 축 스 크루 압출 공정해석이 가능한 프로그램을 개발하 였다. 그리고 이를 사용하여 1 축 및 2 축 스크루 의 압출 공정을 해석하였다. 이를 통하여 얻은 결론은 다음과 같다.
각 단계별 로 유한요소법을 적용할 때는 각 전단계의 속도 값을 이용하여 대류항에서의 속도를 구하고(1 단 계), 이 속도를 이용하여 확산항에서의 속도를 구한다(2 단계). 그리고, 확산항에서 구한 속도를 이용하여 연속방정식을 만족하는 압력을 구하고 (3 단계), 이 압력을 이용하여 연속방정식을 만족 하는 보정된 속도값을 구한다(4 단계). 이때 대류 항과 확산항에 대해서는 대각화 질량 행렬을 (diagonalized mass matrix) 이용하여 외 연적 방법 에 의해 해를 구하며, 압력항에 대해서는 내연적 방 법에 의해 해를 구한다.
또한, 스크루의 피치의 길이(나선 각도)의 영향 을 살펴보기 위하여 피치의 길이가 8cm, 6.6cm 인 경우를 추가로 해석하였다. Fig.
일축 스크루 압출공정은 비교적 간단한. 모 델이므로 노즐을 추가해 해석했다. 각 스텝을 매 10° 씩으로하여 총 36스텝이 수행되었고, 매 스텝 은 0.
본 연구에 서 개 발된 3 차원, 비 정 상상태, 비압축 성 유동해석 방법의 검증을 위하여 수평관의 유동 현상 해석을 수행하였다. 초기 해석 조건 및 치수 를 Fig.
마지막으로, 계량부(metering section)로 이 송된 재료는 모두 액상으로 존재하며 가장 끝부분 에서 압력이 높게 작용한다. 본 연구에서는 계량 부의 일부분만을 해석하였으며, 계량부 시작 지점 의 압력을 0으로 설정했다. 실제 공정에서 계량부 로 이송된 재료는 어느 정도 압력 상태 하에 있으 나, 본 연구에서는 계량부의 끝 지점과의 압력구 배를 알아보기 위 하여 0로 가정 하였다.
복잡한 형상에 적합한 요소 생성 프로 :z램을 사용하거나, 실제 공정과의 오사를 감안하 여 간극을 크게 하여 해석을 수행하여야 할 것이 다. 본 연구에서는 오차를 감안하여 후자를 선택 하였다.
스크루의 회전속도에 의한 압출기 내의 속도와 압력변화를 알아보기 위하여 30rpm, lOOrpm, 300rpm 의 경우를 해석하여 출구속도와 압력을 비 교하였다. Fig.
이축 스크루 압출 공정의 압력분포는 일축 스크루 압출 공정과 유 사하게 스크루 끝단부분에서 최고치를 보였으며 입구부분에서는 역압력 구배를 보였다. 스크루의 회전에 따른 배럴에 작용하는 압력을 살펴보기 위하여 Fig. 22 와 같이 스크루의 위치에 따른 배 럴 윗부분에 작용하는 압력값을 비교하였다. 스 쿠류가 50 도 근처를 회전하였을 때 가장 작은 압력을 보였으며 160 도 근처의 위치에서는 가장 높은 값을 보이는 것을 알수 있었다.
위의 형상함수를 이용하여 2.2 절의 각 항들의 약형을 이산화 하였다. 서두에서 언급했듯이 대 류항, 압력항 및 속도보정 단계에서는 외연적 방법으로 해를 구하기 위하여 질량행렬에 대하여 역행렬을 구해야 하는 어려운 점이 있다.
04 로 해석 하였다. 해석 을 위한 입력 자료의 생성은 상용 패키지인 IDEAS 를 사용하여 메쉬를 생성하였으며, 후처리 기 또한 IDEAS 를 사용하였다.

대상 데이터

13 에 제시하였다. 압출기 내의 유체는 4.1 절 에 수평관 해석에 사용되었던 글리세린을 사용하 였다. 일축 스크루 압출공정은 비교적 간단한.

이론/모형

한편, 이 방법은 단순(simple) 알고리즘에 의한 방법과 비정상(unsteady) 알고리즘에 의한 방법으로 나누 어지는데, 비정상 알고리즘에 의한 4 단계 시간 분할법은 연속방정식을 정확히 만족하는 장점을 가지고 있다.“" 본 연구에서는 4 단계 시간분할 법을 이용하고 각 단계에서 외연적 혹은 내연적 유한요소법을 적용하였다.
⑶ 반 면, 유햔요소법은 국소좌표계를 이용한 좌표변환 이 기본 알고리즘이기 때문에 복잡한 형상이나 여러 개의 연결된 영역에 대하여 적용하기가 용 이하며 특히, 경계조건을 적용하기 편리하다.⑴ 유한요소법으로는 최근 Bertand""에 의하여 2 _축 압출기 에 적 합한 메 쉬 재 구성 방법 인 가상영 역법(fictitious domain methods)를 사용하여 2 차원 비 정상 해석을 수행하였다. 현재 2 축 스크루 압출기는 많은 응용분야에서 1 축 스크루 압출기와 대 체되고 있다.
여기서 최종 속도 ""는 확산항에서 구해진 uv 값과 압력항에서 구해진 값을 이용하여 구한 다. 앞에서 이용한 방법과 같이 Galerkin 방법을 적용하여 정리하면 식 (12)와 같이 표현된다.
그리고, 확산항에서 구한 속도를 이용하여 연속방정식을 만족하는 압력을 구하고 (3 단계), 이 압력을 이용하여 연속방정식을 만족 하는 보정된 속도값을 구한다(4 단계). 이때 대류 항과 확산항에 대해서는 대각화 질량 행렬을 (diagonalized mass matrix) 이용하여 외 연적 방법 에 의해 해를 구하며, 압력항에 대해서는 내연적 방 법에 의해 해를 구한다.

성능/효과

(4) 2 축 스크루 압출공정의 해석을 수행한 결 과, 2축 스크루의 회 전에 따른 최고압력값 및 위 치를 알 수 있었고’ 압출기내의 속도장에 의하여 스크루의 형상에 따른 폴리머의 혼합정도를 파악 할 수 있었다. 이를 통하여, 최근 활발히 연구되 는 나노 복합체의 제조 방법 등에 적용하여 결함 없는 제품 생산을 위한 최적 시스템 설계의 기초 자료를 제시할 것이다.
(1) 4 단계 시간 분할법을 적용하여 복잡한 형 상 및 경계조건을 쉽게 적용할 수 있는 유한요소 해석 프로그램을 개발하였다. 검증을 위하여 수 평관 유동을 해석하여 엄밀해와 비교한 결과, 약 간의 오차는 있었지만 관내의 최고 속도 및 압력 분포 등에서 좋은 결과를 보였다.
비교 대상의 수치는 없었지만 압 력분포의 결과가 일반적으로 알려진 것과 같이 스크루의 출구 끝 부분에서 최고치를 보였으며 입 구부에 서 는 역 류현상이 일 어 남을 확인 하였 다. 또한, 계량부의 속도장의 값을 알 수 있으므로 나노 단위의 입자 크기를 가지는 폴리머 스쿠루 압출 시스템 설계시 재료의 분산성 측정이 가능 하고, 스크루 배럴 내에서 재료에 걸리는 압력이 력 및 비 등온 Non-Newton fluid 유동 예즉을 위 한 전 단계 데이터를 제시할 수 있다.
(2) 1 축 스크루 압출기의 계량부에 대한 해석을 수행하였다. 비교 대상의 수치는 없었지만 압 력분포의 결과가 일반적으로 알려진 것과 같이 스크루의 출구 끝 부분에서 최고치를 보였으며 입 구부에 서 는 역 류현상이 일 어 남을 확인 하였 다. 또한, 계량부의 속도장의 값을 알 수 있으므로 나노 단위의 입자 크기를 가지는 폴리머 스쿠루 압출 시스템 설계시 재료의 분산성 측정이 가능 하고, 스크루 배럴 내에서 재료에 걸리는 압력이 력 및 비 등온 Non-Newton fluid 유동 예즉을 위 한 전 단계 데이터를 제시할 수 있다.
22 와 같이 스크루의 위치에 따른 배 럴 윗부분에 작용하는 압력값을 비교하였다. 스 쿠류가 50 도 근처를 회전하였을 때 가장 작은 압력을 보였으며 160 도 근처의 위치에서는 가장 높은 값을 보이는 것을 알수 있었다. Fig.
(3) 스크루 압출기 에서 의 중요한 공정변수인 스크루의 형상 및 회전 속도에 따른 해석을 수행 하였다. 스크루의 회전속도가 빠를수록 압출속도 또한 빨라지지만 이에 비례하여 압출기내의 압력 또한 비례하여 증가하는 것을 보였다. 이는 스크 루 및 배럴의 파단 및 형상변화의 가능성을 예측 할 수 있다.
8 에는 입구로부터 의 거리에 따른 단면의 속도 분포가 제시되어있다. 요소수를 가장 많이 사용한 Fig. 8 에서 분포가 가 장 고르게 나왔으며, 공통적으로 출구부분(100cm) 인 압력이 0 이 되는 단면에서의 속도분포는 이전 거리의 속도 값 및 분포에 비하여 작은 값을 가지 며 좋지 않은 결과를 보았다.
5 는 Z 방향으로의 단면 속도분포를 나타 내고 있다. 입구에서 출구까지의 속도가 하겐-포아세이 유 방정식 (Hagen-Poiseuille equation)의 해와 정확히 같은 분포는 나타내지 않고 있지만, 국부 적인 최고의 속도 값은 case 1 의 경우 25.2cm/s, case 2 의 경우 25.8cm/s, 그리고 case 3 의 경우 25.3cm/s 로 엄밀해인 25.9cm/s 와 거의 일치하는 것을 볼 수 있었다. Fig.
9 에 보인 그래프는 출구로부터 10cm 부근 에서의 Z-축으로부터 벽면까지의 거리에 따른 속 도분포를 하겐-포아세이유 방정식의 해와 비교한 것이다. 해석결과, 벽면에 가까울수록 해석적인 방 법보다 속도 분포가 크게 나왔으며 수평관의 Z-축 부근에서의 속도분포에 대한 결과도 다소의수치적 오차를 보이고 있다.

후속연구

이는 스크 루 및 배럴의 파단 및 형상변화의 가능성을 예측 할 수 있다. 또한 스크루의 피치에 따른 압출기 내의 속도장 및 압력장의 변화를 알 수 있었고 이를 사용하여 스크루의 최적 형상을 설계하는 기초 자료로 사용할 수 있다.
(4) 2 축 스크루 압출공정의 해석을 수행한 결 과, 2축 스크루의 회 전에 따른 최고압력값 및 위 치를 알 수 있었고’ 압출기내의 속도장에 의하여 스크루의 형상에 따른 폴리머의 혼합정도를 파악 할 수 있었다. 이를 통하여, 최근 활발히 연구되 는 나노 복합체의 제조 방법 등에 적용하여 결함 없는 제품 생산을 위한 최적 시스템 설계의 기초 자료를 제시할 것이다.

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