[논문]혼합법칙을 이용한 황동 개재물이 있는 Al 정사각판의 고유진동수 해석

이윤복; 이세훈; 이영신

초록
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황동 개재물이 있는 Al 정사각판의 고유진동수는 혼합법칙을 이용하여 해석되었다. 혼합법칙에 의한 고유진동수는 개재물의 크기에 따른 유효 내평면 파동속도와 무차원 진동수 매개변수와의 곱으로 이루어진다. 해석모델은 외팔형, 2변 고정-2변 자유형, 3변 고정-1변 자유형 및 4변 고정형의 황동 개재물이 있는 4가지의 Al판이다. 자유단이 1개 이상 존재하는 경계조건에서 개재물이 판의 중앙에 위치하였을 때 개재물에 대한 판 전체의 면적비가 1/9 이하이면 혼합법칙 및 유한요소 해석에 의한 고유진동수는 10% 이내로 잘 일치하였다 4변 고정형 경계조건을 제외하고 3가지 경계조건에서 개재물이 판중앙에 있을 경우 개재물의 크기가 커짐에 따라 개재물이 있는 판의 고유진동수는 낮아짐을 알았다. 또한 개재물의 밀도가 판의 밀도보다 작을 때, 개재물 크기가 커짐에 따라 개재물이 있는 판의 고유진동수는 높아진다.

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The natural frequencies of Al square plates with a brass inclusion were analyzed by the rule of mixtures. The rule of mixtures is the method to derive natural frequency mutiplying effective inplane wane speed and nondimensional frequency parameters. Numerical models were Al square plates with an inc...

The natural frequencies of Al square plates with a brass inclusion were analyzed by the rule of mixtures. The rule of mixtures is the method to derive natural frequency mutiplying effective inplane wane speed and nondimensional frequency parameters. Numerical models were Al square plates with an inclusion with cantilever type, 2 clamped edge-2 free edge type, 3 clamped edge-1 free edge type and fully clamped edge type. In cantilever type plates, 2 clamped edge-2 free edge type plates and 3 clamped edge-1 free edge plates with an inclusion, good agreement within 10% obtained from rule of mixtures' results and numerical analysis results within inclusion area ratio 1/9. It was found that the natural frequencies of the cantilever type, 2 clamped edge-2 free edge type and 3 clamped edge-1 free edge type plates with an inclusion decrease as the size of inclusion increases when inclusion is located center of plates. And when the density of inclusion is less than the plates, natural frequency of plates with an inclusion increases as the size of inclusion increases.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 연구에서는 혼합법칙 및 유한요소해석을 통하여 황동 개재물이 있는 A1 정사각판에 대한 1차부터 4차까지의 고유진동수 및 절선을 제시하였다. 이로부터 다음과 같은 결론을 얻었다.

가설 설정

강성을 구성물질의 강성으로 구하는 것이다. 일 방향 섬유복합재료를 대상으로 복합재료의 유효 탄성계수, 유효밀도 및 유효 포와송비를 구성물질의 탄성계수, 밀도 및 포와송비와 체적비율로 예측하는 이론이고, 섬유와 기지는 균질, 선형탄성, 등방성이며 기공이 존재하지 않는다고 가정한다. 이 가정에 따르면 개재물이 있는 판에 대하여 혼합법칙을 적용할 수 있으며 이로 부터 간단한 수학적 방법으로 개재물이 있는 판의 고유진동수를 구할 수 있다.

제안 방법

또한 A1 판과 개재물 사이의 해석조건은 경계면에서 유한요소 크기 (Mesh size)가 5mm 크기로 하여 노드가 공유됨으로써 A1 과 황동의 경계가 연속으로 모델화하였다. 유한요소 크기가 5mm인 정사각형으로 하여 총 요소수는 3, 600개, 총 절점수는 3, 721개, 총 자유도수는 22, 326개, 축소된 자유도 수는 20, 886개 그리고 부공간의 크기는 12개이다.
본 연구에서는 황동 개재물의 크기에 따른 A1 정사 각판의 고유진동수를 경계조건 즉, 외팔형, 2변 고정-2변 자유형, 3 변 고정T변 자유형 및 4변 고정형의 4가지 조건에 따라 혼합법칙으로 구하였다. 또한 황동 개재물이 있는 A1 정사각판(이영신 등, 1994 B; Rajalingham, 1996; Chang, 2003) 의고유진동수를 여러 가지 경계조건에 따라 유한요소해석으로 수행하여 혼합법칙의 결과와 비교, 분석을 통하여 개 재물의 위치가 판의 중앙에 있을 때 개재물의 크기에 따른 진동 특성을 고찰하였다(이윤복 등, 2005).
혼합법칙은 모드형상 및 절선을 직접적으로 구할 수 없으므로 유한요소해석에 의한 절선해석을 하였다. 그림 3은 외 팔형, FCFC, FCCC 및 CCCC 경계조건에 대하여 1차부터 4차까지의 절선 및 고유진동수를 나타내었다.
황동 개재물이 있는 A1 정사각판의 진동특성을 여러 가 지경 계 조건에 따라 유한요소해석 을 수행 하였다. 유한요소해석은 상용 전산프로그램인 ANSYS 8.

대상 데이터

물성치는 표 1과 같으며, A1 5083은 metal sheet의 데이터이고 황동은 실험 데이터이며, 강은 크롬 모리브덴 강으로 참고문헌(Blevins, 1979)을 인용하였으며, 이것은 A1 5083 과 내평면 파동속도를 동일하게 선택한 것이다.
유한요소 크기가 5mm인 정사각형으로 하여 총 요소수는 3, 600개, 총 절점수는 3, 721개, 총 자유도수는 22, 326개, 축소된 자유도 수는 20, 886개 그리고 부공간의 크기는 12개이다.
유한요소모델은 그림 2와 같이 개재물이 있는 판은 가로 300mm, 세로 300mm 및 두께 4.8mm 이고 개재물의 크기는 0, 50x50, 100x100, 150x150 및 300x300mm 이며, 경계조건은 자유단의 유무, 기하학적 대칭 및 고정단, 자유 단의 조합을 고려하여 외팔형, 2변 고정-2변 자유형, 3변 고정 T변 자유형 및 4변 고정형이다. 여러 가지 경계조건을 간단히 표현하기 위하여 x=0인 변으로부터 시계방향으로 각 변의 고정(Clamp : C) 및 자유단(Free : F)의 약어로 연속하여 기술하면 외팔형 (FCFF), 2변 고정-2변 자유형(FCFC), 3변 고정 T 변 자유형 (FCCC), 4변 고정형 (CCCC)로 된다.

이론/모형

따라서 구조물의 자유도를 축소하여 계산상의 효율을 기하면서 고유값을 구할 수 있다. 유한요소모델은 그림 1과 같이 셸요소(Shell 63)을 사용하였으며 셸요소의 특성은 4절점 및 각 절점당 6자 유도(3개의병진운동 및 3개의 회전운동)를 갖는다.
유한요소해석은 상용 전산프로그램인 ANSYS 8.1 을 이용하여 고유값 문제 (Eigenvalue problem)를 부공간법 (Subspace method) 으로 구하였다(Kohnke, 1992). 부공간법은 절점과 자유도가 많은 구조물을 유한요소해석할 때 동적거동의 기여도가 큰 주요한 몇 개의 모드만을 구하여 구조 전체의 동적 거동을 근사적으로 구하는 방법이다.

성능/효과

1) 개재물의 밀도가 판의 밀도보다 클 때, 개재물 크기가 커짐에 따라 개재물이 있는 판의 고유진동수는 낮아진다.
2) 개재물의 밀도가 판의 밀도보다 작을 때, 개재물 크기가 커짐에 따라 개재물이 있는 판의 고유진동수는 높아진다.
3) 혼합법칙의 결과로 개재물의 내평면 파동속도와 판의 내평 면 파동속도가 같을 때, 개재물의 크기가 커짐에 따라 개재 물이 있는 판의 고유진동수는 거의 변하지 않는다.
4) 자유단이 1개 이상 존재하는 경계조건에서 개 재물의 크기가 100x100mm 즉, 면적비가 1/9이하이면 혼합법칙 결과와 유한요소해석 결과는 오차범위가 10% 수준으로 잘 일치한다.
표 2은 외팔형 경계조건에서 개재물의 크기에 따라 유한요소해석으로 1차부터 4 차의 고유진동수를 구한 것이다. 개재물이 없는 A1 판에서 유한요소해석의 정확도를 살펴보기 위하여 유한요소해석 결과와 이론해석 결과(Blevins, 1979)를 비교하면 유한요소해석 결과가 상대적으로 낮게 나타나 있으나 2% 오차범위 내로 잘 일치한다. 개재물의 크기가 커짐에 따라 차수별 고유진동수는 낮아지고 있으나 2차 모드에서 개재물의 크기가 50x 50, 100x100 및 150x150mm일 때 点판(111.

참고문헌 (16)

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노승훈, 조한중, 최은환 (2000) 데이터베이스를 이용한 사각 형판의 자유진동해석, 대한기계학회 논문집 A권, 24(8), pp.1978-1990

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우광성, 허철구, 박진환 (2001) $C^0$ -계층적 평판요소에 의한 경사평판의 비선형 해석, 한국전신구조공학회 논문집, 14(1), pp.65-76
이영신, 이윤복 (1994 A) 2개의 원형구멍이 있는 4변 고정등방성 정사각형판의 자유진동해석, 한국소음진동공학회지, 4(3), pp.283-293

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이영신, 최명환 (1994 B) 외팔형 복합재료 및 혼합적층 사각판의 자유진동해석, 대한기계학회 논문집, 18(8), pp.1899 -1909

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이윤복, 이영신, 이세훈 (2005) 황동 개재물이 있는 Al 외팔형 정사각판의 자유진동해석, 한국소음진동공학회 논문집, 15(12), pp.1347-1354

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최명수 (2003) 유한요소-전달강성계수법을 이용한 평판구조물의 강제진동해석, 한국소음진동공학회 논문집, 13(2), 2003, pp.99-107

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Bucaro. J.A., Romano, A.J., Abraham, P.(2004) Detection and Localization of Inclusions in Plates Using Inversion of Point Actuated Surface Displacements, The Journal of the Acoustical Society of America. January, 115(1). pp.201-206

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Chang. D., Wang. G., Wereley, N.M. (2003) Analysis and Application of Extended Kantorovich-Krylov Method, Applicable Analysis, 82(7), pp.713-740

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Ercoli, L., Laura. P.A.A. (1992) Transverse Vibration of an Isotropic, Simply Supported Rectangular Plate with an Orthotropic Inclusion, Journal of Sound and Vibration, 153(2), pp.217-221

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Kohnke. P (1992) ANSYS User's Manual, VolumeIV Theory, Swanson Analysis System, Inc
Laura. P.A.A., Gutierrez. R.H.(1984) Transverse Vibrations of Orthotropic, Non- Homogeneous Rectangular Plate, Fibre Science and Technology, 21, pp.125-133

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R.D. Blevins (1979) Formulas for Natural Frquency and Mode Shape. Van Nostrand Reinhold Company, New York, p.254
R.F. Gibson (1994) Principles of Composite Material Mechanics, McGraw-Hill, Inc., pp.62-77
Rajalingham, C., Bhat. R.B., Xistris, G.D. (1996) Closed Form Approximation of Vibration Modes of Rectangular Cantilever Plates by the Variational Reduction Method, Journal of Sound and Vibration, 197(3), pp.263-281

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P. Timoshenko. S. Woinowsky-Krieger (1959) Theory of Plates and Shells, McGraw-Hill, Inc., pp.322-323

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