[논문]크리깅 메타모델을 이용한 신뢰도 계산

조태민; 주병현; 정도현; 이병채

doi:10.3795/ksme-a.2006.30.8.941

문제 정의

(7 크리깅 모델은 기존의 반응표면 모델로는 적용하기 어려웠던 비선형성이 큰 문제나 설계변수가 많을 경우에도 활용될 수 있는 것으로 알려져 있다.(今 본 연구에서는 크리 깅 메타모델을 이용한 신뢰도 계산방법을 제안하 고, 이를 수치 예제에 적용시켜 그 타당성을 검토하고자 한다.
중심합성계획법(central composite design, CCD)의 경우, 확률변수의 수가 많아질 경우 표본점의 수가 급격히 늘어나는 단점이 있으며, Bucher-Bourgund 방법'”은 중심점과 그 중심점으로부터 각각 ±k<r만큼의 거리에 있는 축점 만을 이용하므로, 정확한 근사에 어려움이 있다. 따라서 본 연구에서는 확률변수의 수 및 신뢰도에 따라 표본점의 수와 범위를 구하는 방법을 제 안 하고자 한다.
복잡한 시스템의 신뢰도를 MCS, AFORM, SORM과 같은 기존의 방법으로 계산할 경우, 계 산 비용이 크고, 문제에 따라서는 신뢰도를 계산하기 어려운 경우가 많다. 본 연구에서는 신뢰도 계산을 위해 크리깅 메타모델을 이용한 방법을 제안하였으며, 수치 예제에 적용시켜 그 타당성을 검토하였다. 제안된 방법은 크게 2단계로 구성된다.
표본점의 수는 1차 크리깅 메타모델을 구성하기 위한 표본점의 수인 4迎의 2배인 8剛를 선정하여 새로운 구간영역에서 많은 표본점을 추출하고자 하였다. 이렇게 구해진 표본점의 응답을 계산하여 1차 크리깅 메타모델을 갱신하여 2차 크 리깅 메타모델을 구성하게 된다.

가설 설정

父, b, e'f, c는 각각 피로 강도 계수, 피로 강도 승수, 피로 연성계수, 피로 연성 승수를 나타내는 피 로재료 상수들이다. 본 연구에서는 피로 수명 상 수인 bf, b, £f, C를 임의성이 있는 확률변수로 가정하였다. Table 7은 확률변수들의 평균, 변동 계수, 그리고 상관관계를 나타낸 것으로써, 모두 정규분포를 따르는 것으로 가정하였다로우어 컨트롤 암에 대한 한계 상태 식은 식 (11) 과 같이 부품의 최소수명이 20, 000 사이클보다 크도록 설정하였다.

제안 방법

001, 10을 지정하였다. 1, 2차 크 리깅 메타모델의 구성과 재구성 과정에서 이미 구해진 표본점과 결과를 저장하여 계속적으로 갱 신하면서 사용하였으며, 회귀모델은 상수항으로 지정하였다.
첫 단계는 적절한 범위와 횟수의 표본점으로 구해진 크리깅 메타모델에 AFORM을 적용하여 1 차적인 신뢰도를 구하는 과정이다. AFORM으로 구해진 신뢰도를 바탕으로 다시 적절한 표본점의 범위를 선정하여 크리깅 메타모델을 갱신한다. 구해진 크리깅 메타모델에 MCS 방법을 적용하여 신뢰도를 구한 다음 구해진 결과가 수렴이 되면 최종적인 신뢰도가 계산된다.
기계 구조물과 같은 시스템의 거동을 평가할 때, 기존에는 관련 설계변수들이 모두 변동이 없는 일정한 값을 갖고 있다고 가정하고 설계를 수행하는 확정론적 설계(deterministic design)를 수행하였다. 그런 다음, 경험론적으로 적절한 안전계 수를 도입하여 이러한 설계변수들의 분포 특성을 고려한다.
제안된 신뢰도 계산 방법은 라틴 초입방체 방법으로 표본점을 산출하므로, 표 본점의 선정에 임의성이 있다. 따라서 각각의 수 치 예제에 대해 독립적인 수치실험을 다수 수행하여 손상확률의 평균, 표준편차 그리고 평균함수 호출 횟수를 검토하여, 제안된 방법의 타당성과 정확성을 평가하였다. 수치실험은 MCS를 수행할 때의 목표 오차 E_mcs 와 손상확률의 수렴기준 珏«对를 변경시켜가면서 수행하였다.
따라서 MCS의 목표 오차와 손상확률의 수렴 평가 기준은 주어진 문제의 크기와 종류에 따라 적절히 선정하는 것이 필요하다. 본 연구에서는 MCS의 목표 오차와 손상확률의 수렴 평가기 준을 각각 다르게 적용시키면서 신뢰도 계산 결과를 비교하였다. MCS의 목표 오차는 10%, 5%, 1%로 변경시켰으며, 손상확률의 수렴기준은 식(6)과 같이 상대 수렴률(relative convergence ratio) 을 0.
표본점의 추출에는 라틴 초입방체 방법을, 상관행렬의 구성을 위해서 가우스 상관 함수를 이용하였다. 상관계수의 초기치, 하한치, 상한치는 Kayma舟의 연구를 참조하여 각각 0.01, 0.001, 10을 지정하였다. 1, 2차 크 리깅 메타모델의 구성과 재구성 과정에서 이미 구해진 표본점과 결과를 저장하여 계속적으로 갱 신하면서 사용하였으며, 회귀모델은 상수항으로 지정하였다.
제안된 신뢰도 계 산방법의 타당성을 검토하기 위하여 수학 예제와 실제 구조 문제로 구성된 수치 예제에 적용시켰다. 수치 실험은 수렴평가 기준을 바꾸어가면서 수행하였다. 계산 결과 MCS의 목표 오차를 10%, 손상확률의 상대 수렴률을 0.
따라서 각각의 수 치 예제에 대해 독립적인 수치실험을 다수 수행하여 손상확률의 평균, 표준편차 그리고 평균함수 호출 횟수를 검토하여, 제안된 방법의 타당성과 정확성을 평가하였다. 수치실험은 MCS를 수행할 때의 목표 오차 E_mcs 와 손상확률의 수렴기준 珏«对를 변경시켜가면서 수행하였다. 손상확률의 참고 값은 원래의 한계상태식에 MCS를 중분한 횟수만큼 적용하여 구한 결과이다.
구해진 크리깅 메타모델에 MCS 방법을 적용하여 신뢰도를 구한 다음 구해진 결과가 수렴이 되면 최종적인 신뢰도가 계산된다. 제안된 신뢰도 계 산방법의 타당성을 검토하기 위하여 수학 예제와 실제 구조 문제로 구성된 수치 예제에 적용시켰다. 수치 실험은 수렴평가 기준을 바꾸어가면서 수행하였다.
제안된 크리깅 메타모델을 이용한 신뢰도 계산의 타당성을 검토하기 위하여 수치 예제 4개를 테 스트하였 다. 수치 예제는 수학 함수와 실제 구조문 제를 선정하였다.

대상 데이터

이렇게 분석되고 가공되어진 하중을 동 역학 시뮬레이터에 입력하여 특정한 부품에 작용 되는 하중을 계산해 낼 수 있다. 로우어 컨트롤 암에 적용되는 하중은 한국 자동차부품연구원이 성능시험장에서 측정한 값을 이용하였다. 변형률-수명 접근법을 이용한 피로 수명 식은 식 (10) 과 같다 円

이론/모형

크리깅 메타모델을 구하는 프로그램은 DACE A MATLAB Kriging Toolbox'")라고 불리는 크리깅 툴박스를 이용하였다. 표본점의 추출에는 라틴 초입방체 방법을, 상관행렬의 구성을 위해서 가우스 상관 함수를 이용하였다.
표본점의 구간은 높은 신뢰도 영역을 포함하도록 ±5(7로 초기설정을 하였다. 1차 크리깅 메타모델 구성을 위한 표본점의 수는 Bucher-Bourgund 방법에 의한 표본점의 수인 2nw+l 보다 약 2배로 큰 값인 4剛를 선정하였다. 이것은 Bucher- Bourgund 방법에 의한 표본점의 수가 부족하여 충분한 근 사가 되지 않는 것에 착안한 것이다.
한계 상태 식 을 1차 근사하여 해석적으로 신뢰도를 구하는 방법으로는 평균 1차 신뢰도 법 (mean-value first order reliability method, MVFORM)과 개선된 1차 신뢰도법(advanced first order reliability method, AFORM)e이 있는데 한계 상태 식이 선형일 경우 정확한 결과를 구할 수 있다. 비선형성이 강한 한계 상태 식일 경우 1차 신뢰도 방법으로는 정확 한 확률을 구할 수 없으므로, 한계 상태 식을 2차 근사하여 곡률 정보를 이용하여 신뢰도를 구하는 이계 신뢰도 법 (second order reliability method, SORM) 올 사용한다. 1, 2차 근사방법의 경우 한계 상태식의 1, 2차 미분이 구해져야만 한다.
전산실험을 통하여 구해진 응답을 바탕으로 1차 크리깅 메타모델을 구성하게 되고, 이 모델에 FORM 방법을 적용하여 손상확률 Pf_AFORM< 구한다. Pf_AFORM 이 구해지지 않을 경우, 추가적인 전산실험 nw를 Plaform을 구할 때까지 반복적으로 수행하게 된다.
제안된 프로그램의 수렴은 MCS를 수행할 때의 목표 오차와 손상확률의 수렴 평가 기준에 의해 결정된다. MCS의 목표 오차를 줄일 경우, 식 (5) 의 계산에 의해 Nmcs가 커지게 되므로, MCS의 수행에 드는 수치 비용이 증가하게 된다.
크리깅 메타모델을 구하는 프로그램은 DACE A MATLAB Kriging Toolbox'")라고 불리는 크리깅 툴박스를 이용하였다. 표본점의 추출에는 라틴 초입방체 방법을, 상관행렬의 구성을 위해서 가우스 상관 함수를 이용하였다. 상관계수의 초기치, 하한치, 상한치는 Kayma舟의 연구를 참조하여 각각 0.

성능/효과

21% 사이의 값을 가짐을 확인하였다. MCS의 목표 오차를 1%, 손상확률의 상대 수렴률을 0.01로 지정할 경우, 손상확률의 평균은 0.10%에 서 2.06% 사이의 오차를 가지며, 손상확률의 변동계수는 0.47%에서 1.98% 사이의 값을 가지는 것으로 나타나 신뢰도 계산 결과가 크게 개선됨을 확인하였다. 특히 수렴평가 기준이 엄격해질수록 손상확률의 평균보다 손상확률의 변동계수가 크게 개선되는데, 이것은 손상확률의 평균의 경우, 손상확률의 변동이 크더라도 평균은 크게 차이가 나지 않을 수도 있기 때문이다.
수치 실험은 수렴평가 기준을 바꾸어가면서 수행하였다. 계산 결과 MCS의 목표 오차를 10%, 손상확률의 상대 수렴률을 0.5로 지정할 경우, 손상확률의 평균은 예제에 따라 0.67%에서 2.47% 사이의 오차를 가지며, 손상확률의 변동계수는 2.94%에 서 7.21% 사이의 값을 가짐을 확인하였다. MCS의 목표 오차를 1%, 손상확률의 상대 수렴률을 0.
Table 4는 제안된 신뢰도 계산 방 법을 이용하여 독립적인 수치실험을 30회 수행한 결과를 나타낸 것이다. 계산 결과, 손상확률의 평균은 참고 값과 0.5% 이하의 매우 적은 오차를 가 지는 것을 알 수 있다. 그리고 수렴평가 기준이 엄격해질수록 평균함수 호출 횟수는 약간 증가하며 손상확률의 변동계수는 2.
Table 8은 제안된 신뢰도 계산 방법을 이용하여 독립적인 수치실험을 30회 수행한 결과를 나타낸 것이다. 계산 결과, 손상확률의 평균은 참고 값과 2.5% 이하의 오차를 가지는 것을 알 수 있다. 또 한 수렴평가 기준이 엄격해질수록 평균함수 호출 횟수는 약간 증가하지만, 손상확률의 평균은 더욱 참고 값에 근접하며 손상확률의 변동계수는 7.
손상확률의 표준편차에서 괄호 안의 Pf_COV는 손상 확률의 변동 특성을 나타내는 변동계수로써, 손상 확률의 표준편차를 손상확률의 평균으로 나눈 값이다. 계산 결과, 손상확률의 평균은 참고 값과 유사하며, 결과값의 표준편차가 적어 손상확률을 잘 근사하고 있음을 알 수 있다. 계산된 손상확 률은 참고값과 1% 이내의 오차를 가진다.
5% 이하의 매우 적은 오차를 가 지는 것을 알 수 있다. 그리고 수렴평가 기준이 엄격해질수록 평균함수 호출 횟수는 약간 증가하며 손상확률의 변동계수는 2.94%에서 0.47%로 감소한다.
2% 이하의 오차를 가진다. 그리고 수렴평가 기준이 엄격해질수록, 평균함수 호출 횟수는 약간 증가하지만, 손상확률의 평균과 참고 값의 오차가 줄어들며, 손상확률의 변동계수는 3.95%에서 0.55%로 감소한다.
5% 이하의 오차를 가지는 것을 알 수 있다. 또 한 수렴평가 기준이 엄격해질수록 평균함수 호출 횟수는 약간 증가하지만, 손상확률의 평균은 더욱 참고 값에 근접하며 손상확률의 변동계수는 7.21%에서 1.98%로 감소한다.
계산된 손상확 률은 참고값과 1% 이내의 오차를 가진다. 또한 수렴평가 기준이 엄격해질수록 평균함수 호출 횟수는 약간 증가하지만, 손상확률의 평균은 더욱 참고 값에 근접하며 손상확률의 변동계수는 5.46%에서 0.50%로 감소한다.
특히 수렴평가 기준이 엄격해질수록 손상확률의 평균보다 손상확률의 변동계수가 크게 개선되는데, 이것은 손상확률의 평균의 경우, 손상확률의 변동이 크더라도 평균은 크게 차이가 나지 않을 수도 있기 때문이다. 이와 같이 제안된 신뢰도 계산 방법을 수치 예제에 적용한 결과 제안된 방법의 타당성을 확인할 수 있었다.

후속연구

이러한 인자들은 신뢰도를 계산하고자 하는 대상 시스템의 크기와 특성, 전 체적인 수치 비용 등을 고려하여 결정하여야 하며, 이에 대한 추가적인 연구가 필요한 것으로 판단된다. 또한 높은 신뢰도를 갖는 문제와 최적 설계과정에서의 적용 가능성에 대해서도 보다 추 가적인 연구가 필요할 것으로 보인다.
Kaymaz, "는 2005년 크리깅 메타모델을 신뢰도 계산에 이용하여 적용 가능성을 검토하였다. 실제의 다양한 문제에 대해 신뢰도를 계산하기 위해서는 보다 개선된 실험 표본점의 추출법교■ 계산 결과의 수렴 평 가에 대한 연구가 필요하다.
최종적인 신뢰도의 정확성은 크리깅 메타모델을 구성하기 위한 표본점의 수, MCS를 수행할 때의 목표 오차, 그리고 손상확률의 수렴 평가기 준에 의해 결정된다. 이러한 인자들은 신뢰도를 계산하고자 하는 대상 시스템의 크기와 특성, 전 체적인 수치 비용 등을 고려하여 결정하여야 하며, 이에 대한 추가적인 연구가 필요한 것으로 판단된다. 또한 높은 신뢰도를 갖는 문제와 최적 설계과정에서의 적용 가능성에 대해서도 보다 추 가적인 연구가 필요할 것으로 보인다.

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