[논문]고장 보고율을 이용한 현장 수명자료 분포의 모수추정

김영복; 이창훈

문제 정의

본 논문에서는 임의의 부품에 대하여 관측기간 동안 첫 번째 고장에 대한 현장고장자료에 대해 중점을 두고 부품에 대한고장 모드가 단일한 경우와 여럿인 경우에 고장 원인별 고장 보고가 누락되는 현실성을 반영하기 위하여 고장 원인별 고장 보고율 (failure reporting probability) 과 혼합분포 (mixture distribution) 로 모델화하는 모수 추정 (parameter estimation) 절차를 제안한다. 이때 고장 원인별 수명분포는 와이블분포 (Weibull distribution) 로 가정한다.
서론에서 언급했듯이 본 연구는 아래과 같이 자료의 불완전성이 존재하는 현장 자료의 특성을 고려하여 부품의 수명분포에 대한 합리적인 모수추정법을 제안하는 것이 그 의의라 할 수 있다.
본 장에서는 고장 원인별 고장 보고율이 알려진 경우에 대한 최우추정량 (MLE) 을 구하는 방법론 개발을 목적으로 한다. 고장 보고율이 알려진 경우는 공학적 판단이 요구되는데 고장 보고율은 현장에 설치된 시스템 및 부품에 관여하는 숙련된 설비관리자, 수리자 그리고 보수자의 공정일지, 기억 그리고 의견을 통해 추정될 수 있다.
이처럼 고장 원인별 고장 보고율이 알려진 경우에 대해서 수집된 현장고장자료와 고장 원인별 고장 보고율을 사용하여 부품의 수명분포가 와이블분포일 때 MLE 를 추정하기 위한 유도 절차를 제시하고자 한다.
본 장에서는 모의실험을 통하여 고장 원인별 고장 보고율과 주어진 수명자료를 바탕으로 부품의 수명분포 모수추정에 대한 타당성을 검증하였다. 이를 위해서, 부품의 고장 원인별 수명분포는 와이블분포로 가정하였고, 고장 보고율이 알려진 경우와 고장 보고율이 알려지지 않은 경우에 고장 모드가 하나인 단일 와이블분포와 고장 모드가 두 가지인 경우의 2-혼합 와이블분포에 대해서 모수추정을 하였다.
본 절에서는 부품의 수명분포가 단일 와이블분포인 경우, 고장 보고율을 고려하지 않은 경우와 고장 보고율을 고려한 결과를 비교 분석하고 이와 동시에 고장 보고율 증감에 따른 결과를 살펴본다. 수명분포의 모수를 추정한 결과는 아래 <Table 5>와 같다.
본 논문에서는 현장에 설치된 부품의 고장이 자료 수집 시스템에 고장 보고가 누락되는 현실성을 고려하기 위하여 부품의 고장 원인별 고장 보고율을 이용한 모수추정 알고리듬을 제시하였다. 제시된 모수추정 방법론은 고장 보고율을 이용할 때보고 가 누락된 자료를 추가 반영하는 효과를 가짐으로써 부품에 대한 MLE 의 정확도를 증가시키는 추정 방법론이다.

가설 설정

제안한다. 이때 고장 원인별 수명분포는 와이블분포 (Weibull distribution) 로 가정한다. 와이블분포는 척도모수 (scale parameter) a 와 형태 모수 (shape parameter) 月의 다양한 값에 대해 도달하는 많은 모양 때문에 신뢰성 공학 (reliability engineering) 에서 가장 일반적으로 사용되는 분포 중의 하나이고 매우 다양한 자료와 수명 특성을 모델화 할 수 있다.
현장고장자료를 이용하여 신뢰성 분석을 하는 경우 영향을 미치는 변수가 다양하기 때문에 분석에 앞서서 다음의 가정을 한다.
① 부품의 고장은 첫 번째 고장만을 고려한다. 즉 수리 불가능한 부품을 가정한다.
② 부품에는 m개의 고장원인이 있으며, 고장 원인별 수명은 서로 독립이다.
今의 값을 구하기가 어렵다. 따라서 본 연구에서는 气 의 값이 알려진 경우를 가정하고 분석을 수행하였다. 만약 气에 대한 정보가 알려져 있지 않은 경우는 아래와 같은 방법을 통해 추정하여 사용할 수 있다.
식 (2) 에서, 분석시점 T 까지 원인별 모든 고장이 완벽하게 보고된다면, 与 = 1 이므로 대수우도함수는 간략화 될 수 있으나, 본 연구에서는 고장 보고율을 七 < 1 로서 가정하였다. 만약, 부품의 원인별 수명분포가 척도모수 (scale parameter) a 와 형태 모수 (shape parameter) 月를 가지는 와이블분포를 따른다면, 이때 부품수명에 대한 확률밀도함수와 신뢰성 함수는 아래 식 (3)과 식 (4)와 같이 각각 나타난다.
고장 보고율과 수명분포의 MLE 는 EM 알고리듬 원리에 기초하여 추정된다. 여기서 각 원인별 고장 비율 今 는 알려져 있다고 가정한다. 단 부품의 고장모드가 단일한 경우 皿 = 1 이다.
타당성을 검증하였다. 이를 위해서, 부품의 고장 원인별 수명분포는 와이블분포로 가정하였고, 고장 보고율이 알려진 경우와 고장 보고율이 알려지지 않은 경우에 고장 모드가 하나인 단일 와이블분포와 고장 모드가 두 가지인 경우의 2-혼합 와이블분포에 대해서 모수추정을 하였다. 마지막으로 고장 보고율을 고려하지 않은 경우의 결과와 비교 분석하였다.
부품의 두 가지 고장 원인에 따른 고장 보고율 pv 乃 과 고장 비율 叮颅2은 이미 알려져 있다고 가정을 하였고, 모수를 추정한 결과는 아래의 와 같다.

제안 방법

고장 보고율이 알려지지 않은 경우는 부품이 현장에 설치 된 후 시간이 얼마 경과되지 않은 부품 혹은 엔지니어에 의해 고장 보고율의 제안이 어려운 상황일 때 적용될 수 있다. 원인별 고장 보고율이 알려지지 않은 경우에 수집된 현장고장자료와 EM 알고리듬을 사용하여 고장 원인별 고장 보고율을 추정하는 절차를 제시한다. 고장 원인별 부품의 수명 분포가 와이블분포인 경우, 모수를 추정하기 위한 새로운 우도함수를 유도하고 MLE 추정절차를 제시한다.
앞에서 구한 새로운 대수우도함수를 최대화하는 모수 (%., 0, Pj) 의 _MLEs(_a/"叫 Pe) 을 구하기 위한 방법은 고장 보고율이 알려진 경우의 2.1 절 경우와 같은 수치적 방법을 통해 구하여 진다. 특별히 고장 보고율 P牛는 식 (12)를 통하여 구하여 진다.
고장이 누락된 현장고장자료를 얻기 위해 각 실험조건에서 주어진 와이블 모수값을 이용하여 1,000개의 난수를 발생시킨 후 각각의 P、, 鸟값에 따라 고장 자료가 알려진 경우를 임 의 로선택하여 모수 추정을 하였다.
고장 보고율이 알려지지 않은 경우 실험조건은 고장 보고율이 알려져 있는 경우와 같으나, 고장이 보고된 자료를 바탕으로 고장 보고율 P[을 EM 알고리듬에 기초해서 추정하고, 동시에 부품의 수명분포 모수를 추정한다.
같다. 단, 알려 지 지 않은 고장 보고율 Pv 鸟를 EM 알고리 듬에 기 초한 추정 알고리듬을 통하여 추정하고 이와 동시에 2-혼합 와이블분포의 모수를 추정하였다. 실험 결과는 다음의 <Table 4>와 같다.
또한 부품의 고장 보고율이 알려진 경우뿐만 아니라 고장 보고율이 알려지지 않은 경우에 대해서도 EM 알고리듬과 MLE 에 기초한 추정 알고리듬을 통해 고장 보고율을 추정하고 동시에 수명분포의 모수를 추정하는 절차를 제시하였다. 특히 부품의 고장 원인별 수명분포가 와이블분포인 경우에 고장모드가 하나인 경우뿐만 아니라 여럿인 경우에 대해 고장 원인별 고장 보고율을 2-혼합 와이블분포에 적용한 실험예제를 통하여 제시된 방법론의 타당성을 검증하여 보았다.
제시된 모수추정 방법론은 고장 보고율을 이용할 때보고 가 누락된 자료를 추가 반영하는 효과를 가짐으로써 부품에 대한 MLE 의 정확도를 증가시키는 추정 방법론이다. 또한 부품의 고장 보고율이 알려진 경우뿐만 아니라 고장 보고율이 알려지지 않은 경우에 대해서도 EM 알고리듬과 MLE 에 기초한 추정 알고리듬을 통해 고장 보고율을 추정하고 동시에 수명분포의 모수를 추정하는 절차를 제시하였다.
제시된 모수추정 방법론은 고장 보고율을 이용할 때보고 가 누락된 자료를 추가 반영하는 효과를 가짐으로써 부품에 대한 MLE 의 정확도를 증가시키는 추정 방법론이다. 또한 부품의 고장 보고율이 알려진 경우뿐만 아니라 고장 보고율이 알려지지 않은 경우에 대해서도 EM 알고리듬과 MLE 에 기초한 추정 알고리듬을 통해 고장 보고율을 추정하고 동시에 수명분포의 모수를 추정하는 절차를 제시하였다. 특히 부품의 고장 원인별 수명분포가 와이블분포인 경우에 고장모드가 하나인 경우뿐만 아니라 여럿인 경우에 대해 고장 원인별 고장 보고율을 2-혼합 와이블분포에 적용한 실험예제를 통하여 제시된 방법론의 타당성을 검증하여 보았다.

데이터처리

이를 위해서, 부품의 고장 원인별 수명분포는 와이블분포로 가정하였고, 고장 보고율이 알려진 경우와 고장 보고율이 알려지지 않은 경우에 고장 모드가 하나인 단일 와이블분포와 고장 모드가 두 가지인 경우의 2-혼합 와이블분포에 대해서 모수추정을 하였다. 마지막으로 고장 보고율을 고려하지 않은 경우의 결과와 비교 분석하였다.
모든 실험은 matlab 을 이용하여 100회의 반복 실험을 수행하였으며, 결과로 나타나는 값들은 반복하여 수행한 실험의 평균값이다.

이론/모형

위 대수우도함수의 모수 (aj, 禺) 의 MLEs (aj, 房) 를 구하기 위해서 각각의 모수 a” 佑에〕관해 일차 편미분하면 부록의 식 (A1) 과 식 (A2) 로 나타나고, 식 (A1) 과 식 (A2) 를 동시에 0으로 하면서 대수우도함수를 최대화하는 MLEs aj과 肩는 Newton-Raphson 방법과 같은 수치적 방법 (numerical method) 을 이용하여 구할 수 있다.

성능/효과

(1) 분석 시점(0, T] 안에 고장 발생한 부품은 고장 원인별 고장 보고율 乌로 보고되고, 고장자료는 집합 D_.에 속하며 우도(likelihood)에 각각 4气£仏 ; %, 陽, . = 1, 2, …, m로 기여한다.
MSEs 는 MLEs C1, &와 모수 j, 爲와의 거리를 나타내는데 MSE[ C₁) 는 10-5 정도의 작은 값을 나타내고 있고, ME(兩 역시 10_「2 정도의 작은 값을 나타내고 있다. 이 결과는 추정된 MLEs 가 일치 추정량 (consistent estimator) 에 거의 일치하는 결과를 보임을 알 수가 있다.
앞선 단일 와이블분포의 결과와 동일하게 2-혼합 와이블분포에서의 각 원인별 수명분포의 모수의 MLEs 는 입력 모수와 거의 일치하게 나타났다. 따라서 각 원인별 고장 보고율을 도입하여 추정된 MLEs 는 추정의 정확성을 증가시킨다는 것을 알 수 있다.
있다. 위 실험 결과는 수명자료 분석시, 고장 보고율이 알려지지 않은 자료가 주어졌을 때, 본 논문에서 제안된 방법으로 알려지지 않은 고장 보고율과 수명 분포의 모수를 동시에 추정한다면 MLEs 의 정확도가 증가함을 알 수 있다.
추정된 고장 보고율을 통한 2-혼합 와이블분포의 MLEs 房, 爲와 a2, 爲는 모수 %, 烘와 a2, 月2에 거의 일치하는 결과를 나타내고 있음을 알 수 있다.
반면에 주어진 고장자료와 알려지지 않은 고장 보고율을 추정하여 부품의 수명분포 모수를 동시에 추정한 결과는 고장 보고율이 매우 낮더라도, 입력 모수와 매우 근접한 MLEs 를 나타내고 있다. 또한 고장 보고율이 알려지지 않은 경우와 고장 보고율이 알려진 경우의 MLEs 를 비교하여 보면 매우 근소한 차이지만 고장 보고율이 알려져 있을 때의 MLEs 가 입력모수와 좀 더 일치하는 결과를 보이고 있고 고장 보고율의 값이 증가함에 따라서 추정된 MLEs 의 정확도는 점점 증가하는 추세를 보이고 있다. 다음의 <Table 6>은 위에서 추정된 MLEs에 대한 MSEs 결과를 나타내고 있다.
위 결과를 각각 插와 席에 관해그래프로 나타내면 다음의<Figure 1>과 <Figure 2>와 같다. 나타나는 바와 같이 고장 보고율을 고려하지 않은 MSE 와 고장 보고율을 고려한 MSE 의 차이는 고장 보고율이 증가함에 따라 현저히 큰 차이를 보임을 알 수 있다.
본 논문의 결과는 주어진 고장자료와 고장 보고율을 고려하여 모수를 추정하면 MLE 가 실제와 일치하였고 고장 보고율이 증가함에 따라 MLE 의 정확도가 증가함을 알 수 있었다. 추후 연구 방향으로 와이블분포 대신에 대수정규분포, 감마분포 그리고 지수분포 등과 같은 고장 원인별 다른 형태의 수명분포를 가진 혼합 모델에 대한 연구가 필요할 것이다.

후속연구

이는 고장 보고율이 알려져 있지 않더라도 본 연구의 모수 추정 알고리듬을 이용한다면 실제에 가까운 MLE 를 구할 수 있고 알려진 고장 보고율을 이용하여 MLE 를 구한다면 더욱 정확도가 증가한 모수 추정값을 구할 수 있음을 알 수가 있다.
추후 연구 방향으로 와이블분포 대신에 대수정규분포, 감마분포 그리고 지수분포 등과 같은 고장 원인별 다른 형태의 수명분포를 가진 혼합 모델에 대한 연구가 필요할 것이다.

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