[논문]모달 파라미터를 이용한 동적 시스템의 운동 방정식 구성

황우석

doi:10.5139/jksas.2007.35.1.040

모달 파라미터를 이용한 동적 시스템의 운동 방정식 구성
Constructing Equations of Motion for a Dynamic System from Modal Parameters 원문보기

한국항공우주학회지 = Journal of the Korean Society for Aeronautical & Space Sciences, v.35 no.1, 2007년, pp.40 - 45

초록
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구조물의 모달 해석 또는 모달 시험은 구조물의 동적 특성을 나타내는 모달 파라미터들을 구하는 과정이다. 모달 파라미터에는 고유 진동수, 감쇠율, 진동 모드의 세 가지 값들이 있다. 본 연구에서는 시스템의 개발과정에서 당연히 수행되는 모달 해석의 결과인 모달 파라미터를 활용하여 시스템 방정식을 구하는 방법에 대한 연구를 수행하였다. 상태 방정식의 고유치와 고유 벡터의 상관관계로부터 물리적 시스템 행렬인 질량, 감쇠, 강성 행렬을 각각 구하는 방법을 개발하였다. 간단한 질량-스프링-댐퍼 시스템과 외팔보에 대한 수치 예제를 통하여 개발된 방법의 유용성과 정확도를 검증하였다

Abstract ▼ AI-Helper

Modal analysis or modal test is a routine process to get the modal parameters of a dynamic system. The modal parameters include the natural frequencies, damping ratios and mode shapes. This paper presents a method that can derive the equations of motion for a dynamic system from the modal parameters obtained by the modal analysis or modal test. The present method based on the relation between the eigenvalues and eigenvectors of the state space equation derives the mass, damping and stiffness matrices of the system. The numerical verifications for the simple mass-spring-damper system and the cantilevered beam prove the efficiency and accuracy of the present method.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 연구에서는 복잡한 수학적 배경과 분석을 필요로 하는 시스템 식별 기법을 도입하지 않더라도 시스템의 개발과정에서 당연히 수행되는 모달 해석의 결과를 활용하여 시스템 방정식을 구하는 방법에 대한 연구를 수행하였다.
그러므로 실험에서 구한 모달파라미터들에는 회전과 관련된 정보가 없는 것이 일반적이다. 본 예제에서는 이러한 상황을 수치적으로 재현하면서 개발된 방법의 유용성이나 정확도를 확인하였다.

가설 설정

(1) 강성행렬은 대칭이다.
(2) 질량행렬은 대각 행렬이다.

제안 방법

대하여 수행하였다. 각 시스템의 유한요소 모델을 구성하고, 이를 해석하여 모달 파라미터들을 계산하였다. 계산된 모달 파라미터들을 이용하여 제안된 방법에 따라 시스템을 구성한 후, 애초의 시스템과 비교하여 구성이 제대로 수행되는지 확인하였다.
계산된 모달 파라미터들을 이용하여 제안된 방법에 따라 시스템을 구성한 후, 애초의 시스템과 비교하여 구성이 제대로 수행되는지 확인하였다. 각 예제에서 각각 다른 방법으로 모달 파라미터들을 계산하였으며, 그 방법들은 각 절에서 설명하였다. 모든 계산은 Matlab을 이용하여 수행하였다.
주파수 응답 함수에서 피크가 생기는 주파수가 고유 진동수이며, 이때 피크치들을 모우면 모드 벡터를 구할 수 있다. 감쇠가 있을 경우, 주파수 응답 함수의 피크가 명확하지 않고 감쇠비를 구하는 것이 복잡하므로, 본 예제에서는 감쇠가 없는 경우를 고려하였다. 실제 모달 시험에서 사용하는 분석 프로그램은 모달 파라미터를 추출하는 정교한 알고리듬을 갖추고 있으므로 감쇠가 포함된 실제 시스템을 분석할 수 있을 것이다.
검증은 단순 질량-스프링-댐퍼 시스템과 외팔보에 대하여 수행하였다. 각 시스템의 유한요소 모델을 구성하고, 이를 해석하여 모달 파라미터들을 계산하였다.
이 운동 방정식을 식(3)의 상태 방정식으로 변환한 후, 고유치 해석을 수행하여 고유 진동수와 고유 모드를 계산하였다. 계산된 모달 파라미터들을 이용하여 앞 절에서 제시한 방법으로 시스템의 운동 방정식을 구성하고 이를 애초의 운동방정식과 비교하였다. 구성 결과를 검토해보니 완벽하게 동일한 운동 방정식이 구성되었음을 볼 수 있었다.
각 시스템의 유한요소 모델을 구성하고, 이를 해석하여 모달 파라미터들을 계산하였다. 계산된 모달 파라미터들을 이용하여 제안된 방법에 따라 시스템을 구성한 후, 애초의 시스템과 비교하여 구성이 제대로 수행되는지 확인하였다. 각 예제에서 각각 다른 방법으로 모달 파라미터들을 계산하였으며, 그 방법들은 각 절에서 설명하였다.
구할 수 있다. 구해진 운동 방정식을 상태 방정식으로 변환한 후, 고유치 해석을 이용하여 모달 파라미터들을 계산하였다. 계산된 모달파라미터들을 이용하여 시스템을 구성하니 3.
동적 시스템의 개발 과정에서 당연히 수행되는 모달 해석이나 시험으로부터 구한 모달 파라미터들을 이용하여 시스템의 운동 방정식을 구성하는 새롭고 간단한 방법을 제시하였다.
하나이다. 먼저, Fig. 2어서와 같이 외팔보를 5개의 보 요소로 모델링하였다. 횡방향 변위와 회전만을 고려하여 절점당 2 자유도를 가지는 보의 단위 강성 행렬과 단위 질량 행렬은 식(13) 과 같다.
수치 데이터를 이용한 검증은 실험에 필연적으로 수반되는 환경적인 오차를 배제할 수 있으므로 개발된 알고리듬의 성능을 평가하는데 적절하다. 물론 궁극적인 목표는 실험적 오차가 포함된 실험 데이터를 이용한 시스템의 구성이지만, 1차적으로 수치적 데이터를 이용한 검증을 수행하여 개발된 알고리듬을 검증하였다.
많은 경우가 대부분이었다. 본 논문에서 개발된 방법은 고유치와 고유 벡터의 기본적인 관계를 이용하여 간단한 행렬 연산만으로 시스템의 운동 방정식을 구성하는 능력을 보여준다.
실제 실험에서는 회전 자유도를 측정할 수 없으므로 횡방향 변위에 해당하는 고유 진동수와 진동 모드만을 고려하였다. 그러므로 Fig.
2(b) 의 외팔보에 대한 애초의 운동 방정식은 10X10 크기의 시스템 행렬을 갖지만 구성된 운동 방정식은 5X5 크기의 시스템 행렬을 갖는다. 이 두 행렬식의 직접적인 비교는 불가능하므로 임의의 절점을 단위 힘으로 가격했을 때, 각 절점에서의 응답을 나타내는 주파수 응답함수를 계산하여 비교하였다. 운동 방정식이 주어졌을 때, 주파수 응답함수는 식(15)를 이용하여 구할 수 있다.

데이터처리

앞 절에서 개발된 방법이 시스템의 운동 방정식을 제대로 구성하는지 알아보기 위하여 수치적 검증을 수행하였다. 수치 데이터를 이용한 검증은 실험에 필연적으로 수반되는 환경적인 오차를 배제할 수 있으므로 개발된 알고리듬의 성능을 평가하는데 적절하다.

이론/모형

다음과 같이 재현하였다. Table 1의 물성치와 치수를 이용하여 유한요소 모델링으로 구한 운동 방정식을 Newmark-P 법으로 시간 적분하어 시간에 따른 각 절점의 운동을 계산하였다[11]. 외팔보의 끝단에 0.
각 예제에서 각각 다른 방법으로 모달 파라미터들을 계산하였으며, 그 방법들은 각 절에서 설명하였다. 모든 계산은 Matlab을 이용하여 수행하였다.

성능/효과

구해진 운동 방정식을 상태 방정식으로 변환한 후, 고유치 해석을 이용하여 모달 파라미터들을 계산하였다. 계산된 모달파라미터들을 이용하여 시스템을 구성하니 3.1 절에서와 같이 정확하게 동일한 운동 방정식을 구할 수 있었다. 하지만 이 방법을 실제로 적용하는데 문제가 있음을 알 수 있다.
계산된 모달 파라미터들을 이용하여 앞 절에서 제시한 방법으로 시스템의 운동 방정식을 구성하고 이를 애초의 운동방정식과 비교하였다. 구성 결과를 검토해보니 완벽하게 동일한 운동 방정식이 구성되었음을 볼 수 있었다. 식(12)와 같이 시스템 요소들의 질량, 감쇠 또는 강성의 물성치를 바꾸어 가며 수행한 검증에서도 완전히 동일한 운동 방정식을 얻을 수 있었다.
수행하였다. 수치 데이터를 이용한 검증은 실험에 필연적으로 수반되는 환경적인 오차를 배제할 수 있으므로 개발된 알고리듬의 성능을 평가하는데 적절하다. 물론 궁극적인 목표는 실험적 오차가 포함된 실험 데이터를 이용한 시스템의 구성이지만, 1차적으로 수치적 데이터를 이용한 검증을 수행하여 개발된 알고리듬을 검증하였다.
질량-스프링-감쇠 시스템의 예제나 외팔보 예제에서 보듯이 시스템의 전체 자유도에 해당하는 모든 모달 파라미터들을 구할 수 있다면 정확하게 시스템을 구성할 수 있었다. 외팔보 예제에서는 횡방향 변위만을 고려한 모드들로부터 시스템을 구성하였는데, 시스템의 동적 특성을 정확하게 재현하는 운동 방정식을 구성할 수 있음을 보여준다.

후속연구

향후 실험적 오차가 수반된 모달 파라미터로부터 시스템을 어느 정도의 오차 범위에서 구성할 수 있는지에 대한 연구를 수행할 예정이고, 이 방법을 구조물의 건전성 평가나 해석 모델의 개선에 활용하는 방법에 대한 연구를 수행할 계획이 다.

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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