[논문]이동최소제곱 다절점 유한요소를 이용한 새로운 전역-국부해석

임재혁; 임세영

이동최소제곱 다절점 유한요소를 이용한 새로운 전역-국부해석
A New Global-Local Analysis Using MLS(Moving Least Square Variable-Node Finite Elements 원문보기

한국전산구조공학회논문집 = Journal of the computational structural engineering institute of Korea, v.20 no.3, 2007년, pp.293 - 301

초록
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본 연구에서는 이동최소제곱 다절점 유한요소를 이용한 새로운 전역-국부해석기법을 제시하였다. 다절점 유한요소는 요소의 변에 임의의 수 절점을 가질 수 있으므로, 여러 개의 유한요소를 요소망의 재구성 없이 동시적으로 결합시킬 수 있다. 이는 응력구배가 집중되는 곳에 유한요소망을 구성하는 데에 있어 큰 편의를 제공한다. 또한 기존의 전역-국부해석기법처럼 중첩된 요소망을 사용하거나, 지배방정식을 두 번 해석할 필요가 없기 때문에 매우 간편하고 정확하다. 제시된 방법론의 성능을 검증하기 위해 응력 집중과 관련된 다양한 다중스케일 문제를 해석하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

We present a new global-local analysis with the aid of MLS(Moving Least Square) variable-node finite elements which can possess an arbitrary number of nodes on element master domain. It enables us to connect one finite element with a few finite elements without complex remeshing. Compared to other type global-local analysis, it does not require any superimposed mesh or need not solve the equilibrium equation twice. To demonstrate the performance of the proposed scheme, we will show several examples in relation to capturing highly local stress field using global-local analysis.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 연구에서는 이동최소제곱기반 다절점 유한요소 (MLS-based variable-node finite elements)를 이용해서 유한요소망 임의의 영역에 요소망을 세분화 할 수 있는 새로운 전역-국부 해석기법을 (인obal니ocal analysis) 제시하였다. 본 유한요소는 요소 경계의 임의의 수의 절점을 가질 수 있으므로, 임의의 수의 유한요소와 완벽한 접합이 가능하다.
하지만 이러한 방법론은 전체 시스템 행렬을 두 번 해석해야 하거나 다른 분해능을 가지는 요소망 사이에 경계조건을 조정해야 하는 등의 번거로움이 있다. 본 연구에서는 이러한 전역-국부 유한요소해석 방법론의 단점을 극복하기 위해 이동최소제곱 다절점 유한요소(Lim, 2007; Lim 등, 2007)를 이용한 새로운 해석법을 제시하고자 한다. 본 방법은 라그랑지 승수, 벌칙함수의 사용이 필요없으며, 경계조건의 보간이나 전체 시스템 행렬을 두 번 해석하는 번거로움을 모두 극복한 방법이다.
본 장에서는 이동최소제곱 다절점 유한요소를 이용한 전역 -국부 유한요소해석에 관해 자세히 설명하도록 하겠다. 응력집중이 예상되는 균열선단을 유한요소망으로 모델링 하기 위해서는 균열선단 주변의 유한요소를 매우 조밀하도록 구성해야 한다.
본 방법은 라그랑지 승수, 벌칙함수의 사용이 필요없으며, 경계조건의 보간이나 전체 시스템 행렬을 두 번 해석하는 번거로움을 모두 극복한 방법이다. 이 방법론의 효율성을 다양한 수치 예제를 통해 보여주도록 하겠다.
이 장에서는 이동최소제곱 근사법(Lancaster, 1981) 에관한 간략한 소개와 이를 마스터영역에서 응용한 이동 최소제곱 다절점 유한요소의 형식화에 대해 소개하도록 하겠다. u(©은 이차원 변위 벡터장이며, 마스터 영역에서 정의된다.

가설 설정

3을 사용하였다. 하중은 무한판의 경계에서 bu=bo = LOpa의 인장력을 받는다고 가정하였다. 유한요소 모델에서 무한판 경계조건을 구현하기 위해서 수식 (10)의 정확해를 유한 요소모델의 경계를 따라 13차 고차 가우스 수치적분을 통해 경계하중 조건으로 환산하여 유한요소해석에 사용하였다.

제안 방법

그림 8과 같이 단순 인장을 받는 사각형 유한요소 모델을 구성하였으며, 전체를 과 仏로 나누어 모델링 하였다. 평면 응력 조건을 가지도록 하였으며, 재료상수는 영의 계수 1X !05Pa, 포와송 비 0.
본 유한요소의 검증을 위해 단순 인장 조각시험을 실시하였다. 그림 8과 같이 단순 인장을 받는 사각형 유한요소 모델을 구성하였으며, 전체를 과 仏로 나누어 모델링 하였다.
n = 2 인 경우에 요소의 부분 공간에영향력을 가지는 절점을 그림 5(b) 에 나타내었다. 수치적분을 위해서는 각각의 부 공간을 3x2수치적분을 실행하였다. 실제로 그림 5(a)의 경우는 잘 알려진 선형-이차 변환요소 (Hughes, 1987)와 같게 되며, 이는 선형요소와 이차요소를 접합하는데 유용하다.
유한요소 모델에서 무한판 경계조건을 구현하기 위해서 수식 (10)의 정확해를 유한 요소모델의 경계를 따라 13차 고차 가우스 수치적분을 통해 경계하중 조건으로 환산하여 유한요소해석에 사용하였다. 원공의 응력집중을 모사하기 위해 Q영역의 하나의 유한요소를 4개의 유한요소 만드는 분할을 2차례 실시하였다. 이때 발생하는 유한요소 모델 경계의 불일치는 (4+n)절점 유한요소를 사용함으로써 불일치 경계면이 없도록 하였다.
하중은 무한판의 경계에서 bu=bo = LOpa의 인장력을 받는다고 가정하였다. 유한요소 모델에서 무한판 경계조건을 구현하기 위해서 수식 (10)의 정확해를 유한 요소모델의 경계를 따라 13차 고차 가우스 수치적분을 통해 경계하중 조건으로 환산하여 유한요소해석에 사용하였다. 원공의 응력집중을 모사하기 위해 Q영역의 하나의 유한요소를 4개의 유한요소 만드는 분할을 2차례 실시하였다.
이 설명에 앞서 편의를 위해 공간상의 근사에 참여하는 절점의 수 및 기저의 수를 Rank(W) 및 NB 라고 하고, 특히 경계에서의 근사의 참여하는 절점의 수 및 기저의 수는 RankB(W) 및 NBB라 고 하겠다. 이동최소제곱 다절점 유한요소의 크로네커 델타 조건과 형상함수의 연속성에 관해 Rank(W)>NB인 경우와 Rank(W)=NB인 경우로 나누어 설명하도록 하겠다.
이러한 문제의 해결을 위해서 본 연구에서 제시된 국부-전역해석기법을 적용하였다. 재료의 균질화를 위해 앞서 언급한 시스템을 구성하는 대표영역 (Representative Volume Element, RVE)의 등가 물성을 구하는 방법을 사용하였다. 이런 균질화 기법의 해의 정확도는 RVm의 체적이 전체시스템에 비해 작을 수록, RVE 의 특성이 전체 시스템의 구성성분과 통계적으로 일치할수록 (statistically equivalent) 높아지는 것으로 알려져 있다.

데이터처리

이 수치 결과를 그림 11(a) ~ (d) 및 표 1에 나타내었다. 수치결과의 비교를 위해서 그림 10의 응력 집중부위인 'A'에 근방에서 가장 가까운 가우스 수치적분 점에서 를 계산하였으며, 에서 상대오차 에너지 놈(Relative Error Energy Norm)를 비교하였다. 표 1 및 그림 11에서 나타나듯이 Q의 요소망이 분화됨에 따라 응력 집중부위의 응력이 정확해인 3.

이론/모형

그러나, 균열, 전위 등의 결함이 발생하는 경우 이러한 균질화 기법은 더 이상 유효하지 않으며, 이를 위해서는 유한요소 망을 국부적으로 세분화하는 노력이 필요하다. 이러한 문제의 해결을 위해서 본 연구에서 제시된 국부-전역해석기법을 적용하였다. 재료의 균질화를 위해 앞서 언급한 시스템을 구성하는 대표영역 (Representative Volume Element, RVE)의 등가 물성을 구하는 방법을 사용하였다.

성능/효과

0에 가까워지고 있으며, 에너지 오차도 이에 따라 감소하고 있음을 확인할 수 있다. 또한 3200절점으로 구성된 그림 11(d)의 참조해의 요소 망에 비해 훨씬 적은 1280절점으로 구성된 그림 11(c)의 유한요소망의 해가 참조해와 0.1% 오차 범위 이내에서 일치함을 확인 할 수 있었다.
수치해석을 위해 그림 13에 복합재료의 양 끝단에 수직 방향으로 150N/mm의 인장력을 가하게 하였으며, 그 수치해석 결과를 그림 14에 나타내었다. 그림 14의。22 응력 분포에서 나타나듯이 균열선단 주변의 응력 분포양상이 잘 일치하는 것을 확인할 수 있었다. 균열 선단의 응력 값은 전체모델을 사용한 경우 845.
이 방법의 정확도를 조각시험, 원공을 포함한 무한판, 균열선단을 포함하는 복합재료 모델링 등의 예제를 통해서 입증하였다. 가우스 수치적분으로 조각시험을 완벽히 만족하며, 원공을 포함한 무한판 문제의 경우 약 0.1% 오차 범위 내에서 참조해와 일치함을 확인 할 수 있었다. 특히 균열 선단을 포함한 복합재료의 모델링의 경우 참조해의 약 15% 정도의 절점을 이용해서 참조해와 잘 일치하는 해를 얻을 수 있었다.
이때 다른 분해능을 가지는 유한요소망의 연결을 위해 (4 + n) 절점 유한요소를 사용하였다. 그리하여 전체모델의 절점 수 23, 512에 비해 약 15%인 3, 624절점만을 사용한 유한요소모델을 얻을 수 있었다. 수치해석을 위해 그림 13에 복합재료의 양 끝단에 수직 방향으로 150N/mm의 인장력을 가하게 하였으며, 그 수치해석 결과를 그림 14에 나타내었다.
본 연구에서는 이러한 전역-국부 유한요소해석 방법론의 단점을 극복하기 위해 이동최소제곱 다절점 유한요소(Lim, 2007; Lim 등, 2007)를 이용한 새로운 해석법을 제시하고자 한다. 본 방법은 라그랑지 승수, 벌칙함수의 사용이 필요없으며, 경계조건의 보간이나 전체 시스템 행렬을 두 번 해석하는 번거로움을 모두 극복한 방법이다. 이 방법론의 효율성을 다양한 수치 예제를 통해 보여주도록 하겠다.
그림 9는 선형요소 간의 결합을 위해 0은 10개의 4절점 유한요소를 사용하였고 Q는 1개의 (4+n)절점 유한요소를 사용한 경우이다. 수치 결과에서 나타나듯이 제안된 유한요소를 이용해서 구성된 유한요소 모델은 요소망 경계에서 적합조건을 만족하기 때문에 조각시험을 완벽하게 통과함을 알 수 있다. (9 + 2n)절점 2차 다절점 유한요소, (5+2n)절점 선형-2차 변환 요소에 대한 조각시험 결과는 Lim 등(2007)의 일에 자세히 나타나 있으며, 모두 조각시험을 통과한다.
실제로 그림 5(a)의 경우는 잘 알려진 선형-이차 변환요소 (Hughes, 1987)와 같게 되며, 이는 선형요소와 이차요소를 접합하는데 유용하다. 하지만 본 논문에서는 이것의 일반화된 형태인 (5 + 2n)절점요소를 제시 하였으며, 하나의 선형요소와 임의의 수의 이차요소의 접합도 가능하다.

참고문헌 (25)

Aminpour, M.A., Ransom, J.B., McCleary, S.L.(1995) A coupled analysis method for structures with independently modeled finite element sub-domains. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 38, pp. 3695-3718

상세보기
Cho, Y.S., Im, S.(2006) MLS-based variable-node elements compatible with quadratic interpolation Part II: application for finite crack element. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 65, pp. 517-547

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Cho, Y.S., Im, S.(2006) MLS-based variable-node elements compatible with quadratic interpolation. Part I: formulation and application for non-matching meshes. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 65, pp. 494-516

상세보기
Cho, Y.S., Jun, S., Im, S., Kim, H.G.(2005) An improved interface element with variable nodes for non-matching finite element meshes. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 194, pp. 3022-3046

상세보기
Choi, C. K., Park, Y. M.(1989) A nonconforming Transition Plate Bending Elements with Variable Mid-side nodes. Computers and Structures, 32, pp. 295-304

상세보기
Choi, C.K., Lee, N.-H.(1993) Three dimensional transition solid elements for adaptive mesh gradation. Structural Engineering and Mechanics, 1, pp. 61-74

상세보기
Choi, C.K., Lee, N.-H.(1996) A 3-D adaptive mesh refinement using variable-node solid transition element. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 39, pp. 1585-1606

상세보기
Choi, C.K., Park, Y. M.(1997) Conforming and nonconforming transition plate bending elements for an adaptive h-refinement. Thin-Walled Structures, 28, pp. 1-20

상세보기
Fish, J., Guttal, R.(1998) The s-version of finite element method for laminated composites. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 39, pp. 3641-3662

상세보기
Hughes, T. J. R.(1987) The finite element method: linear static and dynamic finite element analysis. Prentice-Hall, New York
Jin, X., Li, G., Aluru, R.N.(2001) On the equivalence between least square and kernel approximations in meshless methods. Computer Modeling in Engineering and Science, 2, pp. 341-350
Kadowaki, H., Liu, W. K.(2004) Bridging multi-scale method for localization problems. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 193, pp. 3267-3302

상세보기
Kim, H.G. (2002) Interface Element Method (IEM) for a partitioned system with non-matching interfaces. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 191. pp. 3165-3194

상세보기
Lancaster, P., Salkauskas, K.(1981) Surface generated by moving least squares method. Mathematics of Computation, 37, pp. 141-158

상세보기
Li, S., Liu, W.K.(2004) Meshfree Particle Methods, Springer, New York
Lim, J. H., Im, S.(2007) (4+n)-noded MLS (Moving Least Square)-based finite elements for mesh gradation. Structural Engineering and Mechanics, 25, pp. 91-106

상세보기
Lim, J. H., Im, S., Cho, Y.-S.(2007) MLS (Moving Least Squarer-based finite elements for three-dimensional non-matching meshes and adaptive mesh refinement. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 196, pp. 2216-2228

상세보기
Lim, J. H., Im, S., Cho, Y.-S.(2007) Variable-node finite elements for non-matching meshes by means of MLS(Moving Least Square) scheme. International Journal Numerical Methods in Engineering, available online
Liu, G.R., Gu, Y.T., Dai, K.Y. (2004) Assessment and applications of point interpolation methods for computational mechanics. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 59, pp. 1373-1397

상세보기
Liu, W.K., Jun, S., Z, Y.F.(1995) Reproducing kernel particle methods. International Journal of Numerical Methods in Fluids, 20, pp. 1081-1106

상세보기
Mote, C.D. (1970) Global-local finite element method. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 3, pp. 565-574

상세보기
Nemat-Nasser, S., Hori, M.(1993) Micromechanics, North Holland Publication, Amsterdam
Park, K.C., Felippa, C.A., Rebel, G.(2002) A simple algorithm for localized construction of non-matching structural interfaces. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 53, pp. 2117-2142

상세보기
Quiroz, L., Beckers, P.(1995) Non-conforming mesh gluing in the finite elements methods. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 38, pp. 2165-2184

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Timkshenko, S.P., Goodier, J.N.(1970) Theory of Elasticity (3rd edn), McGraw-Hill, New York

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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