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문제 정의
- Bayesian 방법을 이용한 매개변수의 추정은 매개변수를 미지의 상수로 간주하는 것이 아니라 미지의 난수로 간주하게 됨으로써 추정의 관심이 되는 매개변수의 불확실성의 정도를 확률 모형을 이용하여 표현할 수 있게 된다. 결국 Bayesian 방법을 이용한 매개변수의 추정은 자료로부터 얻은 매개변수에 대한 정보와 매개변수에 대한 과거의 경험 또는 주관을 사전분포로 표현함으로써 보다 정확한 매개변수의 불확실성에 대한 탐색에 그 목적이 있다고 할 수 있다. Bayesian 회귀분석은 최소자승법을 회귀분석에 적용하는 과정에서 확률적 개념을 이용하는 것으로부터 시작된다.
- 본 연구는 수위-유량 관계곡선식의 불확실성을 나타내기 위한 여러 가지 방법을 비교 평가함으로써 합리적으로 불확실성을 표현할 수 있는 방법을 제시하였다. 수위-유량 관계곡선식의 매개변수를 회귀분석으로 추정하는 데 있어서 가장 중요하게 고려해야 하는 회귀잔차의 등분산성과 비등분산성 에 따른 OLS 추정결과를 통계적 실험을 통하여 분석해 보았으며, 비등분산성이 강한 경우에는 OLS 추정결과에 있어서 결정계수가 낮아지고, 불확실성도 과대 추정된다는 결론을 얻을 수 있었다.
가설 설정
- 본 연구에서 영유량 수위는 황금비분할법을 이용하여 추정하였다. 또한 본 연구는 불확실성 측면에서 기존 방법과 Bayesian 회귀분석 방법의 차이점, 장점 및 단점에 중심을 둔 연구이므로, 수위-유량 관계곡선식의 분리는 없는 것으로 가정하여 연구를 수행하였다. 그러나 실무적으로 수위-유량 관계선식의 분리는 최종적인 유량의 산정 값에 중요한 영향을 미칠 수 있으므로 향후에는 주관적인 방법에 의한 수위-유량 관계곡선식의 분리가 아니라 객관적이고 수학적인 방법으로 수위-유량 관계곡선식의 분할을 함께 고려할 수 있는 연구가 필요하리라 판단된다.
- (21)과 같다. 단, 영유량 수위는 황금분할법에 의해 사전에 -0.2로 추정하였으며, 수위-유량 관계곡선식의 분리는 없는 것으로 가정하였다. 주어진 수위 내에서 50개의 수위를 균일분포로부터 무작위적으로 발생시킨 후 수위-유량 관계식으로부터 유량을 산정하였다.
- 06만큼 변화하도록 하여 정규분포로부터 50개의 난수를 발생시켜 각각의 발생된 오차를 유량에 포함하여 오차가 등분산 또는 비등분산적인 유량을 각각 발생하였다. 즉, 비등분산케이스의 분산은 유량에 대한 함수로써 최소 0.1, 최대 0.4의 범위에서 기울기가 0.06인 선형적인 관계를 가지도록 가정하여 사용하였다.
제안 방법
- 그러므로 본 연구에서는 기존 방법과는 달리 정규성이나 선형성의 가정을 사용하지 않고도 불확실성의 범위를 합리적으로 나타내는 것으로 알려진 Bayesian 회귀분석을 이용하여 수위-유량 관계 곡선식의 매개변수를 추정한 후, 유량의 불확실성을 나타내는 범위를 산정하여 기존 방법의 결과와 비교함으로써 적용방법의 장점 및 단점과 적용성을 파악하였다.
- 그러므로 본 연구에서는 먼저 Bayesian 회귀분석방법이 수위-유량 관계곡선식의 매개변수 추정과 유량의 불확실성을 합리적으로 나타내는지를 확인하기 위하여 참값을 알고 있는 수위-유량 관계곡선식으로부터 무작위 오차를 가하여 매개변수를 다시 추정하고 불확실성을 산정하는 통계적 실험을 수행하였으며, 기존 방법과의 장단점을 비교하기 위해 t 분포를 사용하여 불확실성을 산정하는 방법의 결과와 Bayesian 회귀분석 결과를 비교하였다. 또한 Bayesian 회귀분석의 적용성을 알아보기 위하여 유량자료가 비교적 잘 확보된 지점과 그렇지 못한 지점을 안양천 유역 내에서 선별하여 적용하고 그 산정결과를 평가하였다.
- 5 % 추정치에 대한 유량 산정결과는 각 방법의 결과를 통해 비교되어질 필요가 있으며, 이를 이용하여 OLS를 이용한 회귀분석과 Bayesian 회귀분석의 장점과 단점을 파악할 수 있다. 그러므로 본 연구에서는 실제 유량자료를 이용한 수위-유량 관계곡선식의 추정 이전에 참값을 알고 있는 매개변수의 값을 이용하여 각 방법의 비교분석을 위한 통계적 실험을 수행하였다. 참값이 정해진 수위-유량 관계곡선식은 Eq.
- 2로 추정하였으며, 수위-유량 관계곡선식의 분리는 없는 것으로 가정하였다. 주어진 수위 내에서 50개의 수위를 균일분포로부터 무작위적으로 발생시킨 후 수위-유량 관계식으로부터 유량을 산정하였다. 또한 등분산성의 경우와 비등분산성의 경우에 해당되는 유량을 생성하기 위해서 등분산케이스의 경우는 분산이 0.
- OLS 회귀분석은 SPSS 통계 패키지를 이용하여 수행하였고, Bayesian 회귀분석은 Matlab 과 통계프로그램의 일종인 R(Venables and Smith, 2008)을 이용하였다. 특히 Bayesian 회귀분석을 위해서는 각 추정대상 매개변수 당 10,000개씩을 샘플링하였으며, 초기 불안정한 추정값을 제외하기 위하여 처음 1,000개의 샘플링된 추정값은 제외하고 Bayesian 평균값 및 상하한값을 추정하였다.
- 이상의 결과에 대한 실제 적용성을 확인하기 위하여 안양천 유역의 안양, 고척교, 시흥, 학의천 출구, 목감천 출구의 5개 지점에서의 유량자료를 이용하여 개발된 모형을 적용하였다. 선정된 지점의 유량 측정성과는 한국 수자원공사(2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006)와 이길성(2007)의 유량측정성과 자료를 사용하였다.
- 선정된 지점의 유량 측정성과는 한국 수자원공사(2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006)와 이길성(2007)의 유량측정성과 자료를 사용하였다. Table 4에는 각 지점의 자료의 개수 등에 대한 특징을 나타내었으며, 자료의 개수에 따른 적용결과를 분석하기 위하여 자료의 개수에 대한 차이가 있는 지점을 선정하여 개발된 모형을 적용하였다. Fig.
- 적용과정에서도 통계적 실험과 같은 조건을 사용하여 OLS 회귀분석과 Bayesian 회귀분석을 수행하였다. 즉, 수위-유량 관계곡선식의 분리는 실무적으로 필히 고려해야 하는 문제이지만 본 연구에서는 두 가지 방법의 불확실성 측면의 비교평가에 초점을 맞추어 연구를 수행하였으므로 수위-유량 관계곡선식을 분리하지 않고 한 개의 식으로 추정하였다. 또한 Bayesian 회귀분석을 위한 샘플링 개수 및 초기 추정치의 제거수도 통계실험과 마찬가지로 각각 10,000개와 1,000개로 통일하여 적용을 수행하였다.
- 6은 추정된 결과를 이용하여 각 지점에 대한 수 위-유량 관계곡선에 대한 불확실성을 나타내는 결과이며, 회귀분석결과를 이용한 외삽으로 관측자료 보다 큰 유량에 대한 자료에 대해서도 수위-유량 관계곡선을 연장하였다. 불확실성의 산정은 통계적 실험의 결과 표시와 마찬가지로 2Smr과 0.95Se에 의한 불확실성 산정결과와 Bayesian 회귀분석에 의한 불확실성의 산정결과를 함께 도시하였다. 도시결과를 보면 비등분산성이 강하게 나타났던 안양지점을 제외한 모든 지점에서 OLS와 Bayesian 회귀분석의 평균에 대한 유량은 거의 유사하게 산정됨을 알 수 있었으며, 불확실성 측면에서는 Bayesian 회귀분석에 의한 산정결과가 가장 불확실성을 감소시켜 나타냄을 알 수 있었다.
- 위와 같은 통계적 실험의 결과가 실제 유량측정성과를 이용해서도 유사한 결과를 나타내는지를 확인하기 위하여 안양천 유역의 안양, 고척교, 시흥, 학의천, 목감천 지점을 적용지점으로 선정하여 통계적 실험에서와 같은 방법을 적용하여 산정결과를 검증하였다. 현장자료는 참값을 모르므로 OLS와 Bayesian 회귀분석으로 추정된 회귀계수 중 어떤 기법에 의한 추정결과가 참값에 가까운지는 알 수 없어 어느 기법이 우수하다는 단적인 결론을 얻기는 어려웠다.
- 즉, 수위-유량 관계곡선식의 분리는 실무적으로 필히 고려해야 하는 문제이지만 본 연구에서는 두 가지 방법의 불확실성 측면의 비교평가에 초점을 맞추어 연구를 수행하였으므로 수위-유량 관계곡선식을 분리하지 않고 한 개의 식으로 추정하였다. 또한 Bayesian 회귀분석을 위한 샘플링 개수 및 초기 추정치의 제거수도 통계실험과 마찬가지로 각각 10,000개와 1,000개로 통일하여 적용을 수행하였다. Table 5에는 각 지점의 수위-유량 관계곡선식을 추정한 추정결과이며, 여기서 영유량 수위는 통계적 실험과 같은 방법인 황금비분할법을 이용하여 미리 추정하여 사용하고, 두 가지 추정방법으로는 a와 c만 추정하였다.
대상 데이터
- 이상의 결과에 대한 실제 적용성을 확인하기 위하여 안양천 유역의 안양, 고척교, 시흥, 학의천 출구, 목감천 출구의 5개 지점에서의 유량자료를 이용하여 개발된 모형을 적용하였다. 선정된 지점의 유량 측정성과는 한국 수자원공사(2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006)와 이길성(2007)의 유량측정성과 자료를 사용하였다. Table 4에는 각 지점의 자료의 개수 등에 대한 특징을 나타내었으며, 자료의 개수에 따른 적용결과를 분석하기 위하여 자료의 개수에 대한 차이가 있는 지점을 선정하여 개발된 모형을 적용하였다.
데이터처리
- 수위-유량 관계곡선식의 작성과 관련된 Bayesian 방법의 적용은 Moyeed and Clarke(2005)가 Bayesian MCMC를 이용하여 수행한 적이 있으나, 기존방법에 의한 불확실성의 비교평가부분에 대한 연구는 진행된 바 없다. 그러므로 본 연구에서는 먼저 Bayesian 회귀분석방법이 수위-유량 관계곡선식의 매개변수 추정과 유량의 불확실성을 합리적으로 나타내는지를 확인하기 위하여 참값을 알고 있는 수위-유량 관계곡선식으로부터 무작위 오차를 가하여 매개변수를 다시 추정하고 불확실성을 산정하는 통계적 실험을 수행하였으며, 기존 방법과의 장단점을 비교하기 위해 t 분포를 사용하여 불확실성을 산정하는 방법의 결과와 Bayesian 회귀분석 결과를 비교하였다. 또한 Bayesian 회귀분석의 적용성을 알아보기 위하여 유량자료가 비교적 잘 확보된 지점과 그렇지 못한 지점을 안양천 유역 내에서 선별하여 적용하고 그 산정결과를 평가하였다.
- 2로 고정하고, Eq. (1)의 a와 c만을 추정대상으로 하여 OLS를 이용한 회귀분석과 Bayesian 회귀분석을 각각 수행하였다. OLS 회귀분석은 SPSS 통계 패키지를 이용하여 수행하였고, Bayesian 회귀분석은 Matlab 과 통계프로그램의 일종인 R(Venables and Smith, 2008)을 이용하였다.
- (1)의 a와 c만을 추정대상으로 하여 OLS를 이용한 회귀분석과 Bayesian 회귀분석을 각각 수행하였다. OLS 회귀분석은 SPSS 통계 패키지를 이용하여 수행하였고, Bayesian 회귀분석은 Matlab 과 통계프로그램의 일종인 R(Venables and Smith, 2008)을 이용하였다. 특히 Bayesian 회귀분석을 위해서는 각 추정대상 매개변수 당 10,000개씩을 샘플링하였으며, 초기 불안정한 추정값을 제외하기 위하여 처음 1,000개의 샘플링된 추정값은 제외하고 Bayesian 평균값 및 상하한값을 추정하였다.
- Table 1과 Table 2에는 등분산케이스와 비등분산케이스에 대한 OLS를 이용한 회귀분석과 Bayesian 회귀분석에 의한 회귀계수의 95 % 신뢰구간에 대한 추정결과를 비교하였다. 등분산케이스의 경우 두 방법에 의한 회귀계수의 추정결과 a는 다소 과소추정되었고, c는 다소 과대추정된 것을 알 수 있다.
- 적용과정에서도 통계적 실험과 같은 조건을 사용하여 OLS 회귀분석과 Bayesian 회귀분석을 수행하였다. 즉, 수위-유량 관계곡선식의 분리는 실무적으로 필히 고려해야 하는 문제이지만 본 연구에서는 두 가지 방법의 불확실성 측면의 비교평가에 초점을 맞추어 연구를 수행하였으므로 수위-유량 관계곡선식을 분리하지 않고 한 개의 식으로 추정하였다.
- 수위-유량 관계곡선식의 매개변수를 회귀분석으로 추정하는 데 있어서 가장 중요하게 고려해야 하는 회귀잔차의 등분산성과 비등분산성 에 따른 OLS 추정결과를 통계적 실험을 통하여 분석해 보았으며, 비등분산성이 강한 경우에는 OLS 추정결과에 있어서 결정계수가 낮아지고, 불확실성도 과대 추정된다는 결론을 얻을 수 있었다. 이에 대한 대안으로 매개변수를 추정하는 데 있어서 선형성, 정규성 등의 가정이 필요없고 자료의 개수에 크게 영향을 받지 않는 Bayesian 회귀분석을 이용하여 수위-유량 관계곡선식의 매개변수를 추정하고 그에 따른 불확실성을 산정하였다. 통계적 실험 결과 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다.
이론/모형
- 한국수자원공사와 네델란드 Delft Hydraulics가 공동으로 개발한 수문자료 분석시스템에서는 위와 같은 방법으로 B의 첫 번째 추정치를 구한 후, 첫 번째 추정치의 2 m 이내에서 변화시켜 가면서 오차제곱의 합을 최소로 하는 매개변수들을 추정하는 방법을 채택하고 있다(한국수자원공사, 2001). 또한 수자원분석시스템 구축기법에 관한 연구(이길성, 2001)에서 개발된 수위-유량 관계곡선 시범시스템에서는 영유량 수위인 B를 1차원 최적화 기법중 하나인 황금비 분할법(golden section method)을 이용하여 추정한 후 비선형 최적화 기법을 사용하여 나머지 매개변수들을 결정하였다. 황금비 분할법은 비선형 최적화를 수행하기 위한 방법 중 하나로써 고대로부터 사용되는 황금비율을 이용하여 적절한 값을 선정하여 반복하여 목적함수를 산정함으로써 최적해를 추정하는 방법이다.
- 본 연구에서 영유량 수위는 황금비분할법을 이용하여 추정하였다. 또한 본 연구는 불확실성 측면에서 기존 방법과 Bayesian 회귀분석 방법의 차이점, 장점 및 단점에 중심을 둔 연구이므로, 수위-유량 관계곡선식의 분리는 없는 것으로 가정하여 연구를 수행하였다.
- 위에서 살펴 본 바와 같이 수위유량 관계곡선식의 매개변수들을 추정하는 일은 유량의 정확성 측면에서 매우 중요한 일이라 할 수 있으며, 주로 Eq. (2)와 같이 로그 변환된 수위-유량 관계곡선식에 대해 OLS를 이용한 선형 회귀분석을 수행함으로써 회귀계수를 추정하는 방법이 이용된다.
- 사전분포는 크게 자료에 기반한 사전분포와 자료에 기반하지 않은 사전분포로 구분할 수 있다. 자료에 기반한 사전분포를 구성하기 위해서는 인근 유량자료로부터 분석하고자 하는 지점의 사전분포를 유도할 수 있으나, 본 연구의 회귀분석에 있어서는 회귀계수에 대한 인근 자료를 이용할 수가 없어 자료에 기반한 사전분포를 사용하는 것이 불가능하므로 Sorensen and Gianola(2002)가 제안한 다음과 같은 균일분포(uniform distribution)를 사용하였다. 이와 같은 균일분포는 회귀계수에 대한 사전정보를 전혀 알 수 없다는 것을 반영한 것으로써 사전분포가 모형의 분산에만 관련되어짐을 나타낸 것이다.
성능/효과
- 잔차가 등분산적인 경우 잔차도(residual plot)는 주어진 범위 내에서 골고루 퍼져 있는 형상을 나타내게 되지만 비등분산적인 경우 증가 또는 감소하는 트럼펫 형태의 형상을 나타내는 것이 일반적이다. OLS를 사용한 회귀분석 결과의 잔차가 비등분산적인 경우는 추정된 회귀계수가 부정확할 가능성이 커지게 됨에 따라 결정계수가 낮아지고 회귀모형의 정확도가 감소된다.
- 이론적으로 OLS를 사용한 회귀분석과 Bayesian 회귀분석의 경우 등분산가정만 만족되면 각 방법의 평균에 대한 유량 산정결과는 거의 유사한 결과로 산정되어야 하며, 그렇지 않을 경우에는 각 방법의 평균에 대한 유량 산정결과부터 다른 결과를 보여야 한다. 또한 불확실성 측면에서 95 % 신뢰구간에 해당되는 하위 2.5% 추정치와 상위 97.5 % 추정치에 대한 유량 산정결과는 각 방법의 결과를 통해 비교되어질 필요가 있으며, 이를 이용하여 OLS를 이용한 회귀분석과 Bayesian 회귀분석의 장점과 단점을 파악할 수 있다. 그러므로 본 연구에서는 실제 유량자료를 이용한 수위-유량 관계곡선식의 추정 이전에 참값을 알고 있는 매개변수의 값을 이용하여 각 방법의 비교분석을 위한 통계적 실험을 수행하였다.
- 이는 참값에 포함된 오차가 회귀분석의 추정과정에서 발생시킨 오차로 판단된다. 또한 Table 1을 보면, OLS의 추정결과와 Bayesian 회귀분석의 평균에서의 추정결과는 거의 유사하게 나타나는 것을 알 수 있었으나, 불확실성을 나타내는 상한값과 하한값의 추정오차가 Bayesian 회귀분석의 경우 OLS보다 작게 산정되어 불확실성 측면에서 Bayesian 회귀분석이 OLS에 의한 회귀분석보다 우수한 결과를 보임을 알 수 있었다. 비등분산케이스의 경우에는 평균에 있어서 등분산케이스보다는 큰 차이를 나타내는 것으로 산정되었다.
- 비등분산케이스의 경우에는 평균에 있어서 등분산케이스보다는 큰 차이를 나타내는 것으로 산정되었다. 그러나 OLS에 의한 추정결과는 특히 불확실성 측면에서 등분산케이스 보다 훨씬 증가된 범위를 보여준 반면 Bayesian 회귀분석의 결과는 오차의 특성이 비등분산적인 경우에도 불확실성이 크게 증가되지 않는 것을 확인할 수 있었다.
- 50과 비교하였다. 비교 결과 OLS를 이용한 경우보다 Bayesian 회귀분석을 이용한 경우가 보다 참값에 근사한 값을 나타내는 것을 알 수 있었으며, 특히 최종적인 유량산정에 큰 영향을 미치는 매개변수인 c의 값은 두 기법에 의한 차이가 0.05로써 이에 의한 유량산정에 있어서의 오차가 크게 발생됨을 알 수 있었다.
- 이와 같은 결과로부터 등분산케이스의 경우에는 OLS에 의한 회귀분석과 Bayesian 회귀분석은 평균에 의한 확정적인 값만을 이용할 경우 큰 차이를 보이지 않아 분석절차가 비교적 간단한 OLS에 의한 회귀분석을 수행하는 것이 유리할 수 있다는 결론을 얻을 수 있었다. 그러나 불확실성 측면에서 상한과 하한을 함께 추정해야 하는 경우에는 Bayesian 회귀분석에 의한 불확실성의 산정결과가 OLS에 비해 훨씬 감소되어 표현 됨을 알 수 있었다.
- 이와 같은 결과로부터 등분산케이스의 경우에는 OLS에 의한 회귀분석과 Bayesian 회귀분석은 평균에 의한 확정적인 값만을 이용할 경우 큰 차이를 보이지 않아 분석절차가 비교적 간단한 OLS에 의한 회귀분석을 수행하는 것이 유리할 수 있다는 결론을 얻을 수 있었다. 그러나 불확실성 측면에서 상한과 하한을 함께 추정해야 하는 경우에는 Bayesian 회귀분석에 의한 불확실성의 산정결과가 OLS에 비해 훨씬 감소되어 표현 됨을 알 수 있었다. 비등분산케이스의 경우에는 참값과의 비교결과 OLS에 의한 추정값보다 Bayesian 회귀분석에 의한 추정값이 다소 참값에 가까운 결과를 제시하는 것을 알 수 있었으며, 불확실성의 감소에 있어서도 Bayesian 회귀분석이 훨씬 감소된 불확실성을 나타낼 수 있어 유리하다는 결론을 얻을 수 있었다.
- 그러나 불확실성 측면에서 상한과 하한을 함께 추정해야 하는 경우에는 Bayesian 회귀분석에 의한 불확실성의 산정결과가 OLS에 비해 훨씬 감소되어 표현 됨을 알 수 있었다. 비등분산케이스의 경우에는 참값과의 비교결과 OLS에 의한 추정값보다 Bayesian 회귀분석에 의한 추정값이 다소 참값에 가까운 결과를 제시하는 것을 알 수 있었으며, 불확실성의 감소에 있어서도 Bayesian 회귀분석이 훨씬 감소된 불확실성을 나타낼 수 있어 유리하다는 결론을 얻을 수 있었다. 회귀계수의 불확실성 측면에서 얻은 결과는 수위-유량 관계곡선에서 나타나는 불확실성에 대한 결과라기보다는 회귀분석 과정에서 발생하는 OLS 회귀분석과 Bayesian 회귀 분석의 차이에 대한 비교평가라고 할 수 있다.
- 95Se를 산정하였다. 등분산케이스의 경우 평균에 대한 OLS와 Bayesian 회귀분석 결과는 거의 일치하는 곡선으로 추정되었고 2Smr에 의한 불확실성 산정결과는 Bayesian 회귀분석에 의한 불확실성 산정 결과보다 약간 증가되어 산정되는 것을 알 수 있었다. 그러나 개별오차를 나타내는 2Smr에 의한 불확실성 산정결과는 측정유량이 존재하는 구간까지만 불확실성을 산정할 수 있기 때문에 불확실성이 크게 증가되어 지는 유량이 큰 구간에서의 비교는 불가능하였다.
- 그러나 개별오차를 나타내는 2Smr에 의한 불확실성 산정결과는 측정유량이 존재하는 구간까지만 불확실성을 산정할 수 있기 때문에 불확실성이 크게 증가되어 지는 유량이 큰 구간에서의 비교는 불가능하였다. 또한 0.95Se에 의한 불확실성의 산정결과는 유량이 증대됨에 따라 Bayesian 회귀분석에 의한 불확실성보다 훨씬 증가된 불확실성을 나타내는 것을 알 수 있었다. 비등분산케이스의 경우에도 평균에 대한 결과부터 다소 차이가 나는 것을 알 수 있었는데, 특히 유량이 증대됨에 따라 OLS의 결과는 유량을 과대추정하고 있음을 알 수 있었다.
- 95Se에 의한 불확실성의 산정결과는 유량이 증대됨에 따라 Bayesian 회귀분석에 의한 불확실성보다 훨씬 증가된 불확실성을 나타내는 것을 알 수 있었다. 비등분산케이스의 경우에도 평균에 대한 결과부터 다소 차이가 나는 것을 알 수 있었는데, 특히 유량이 증대됨에 따라 OLS의 결과는 유량을 과대추정하고 있음을 알 수 있었다. 또한 불확실성 측면에서 2Smr과 0.
- 비등분산케이스의 경우에도 평균에 대한 결과부터 다소 차이가 나는 것을 알 수 있었는데, 특히 유량이 증대됨에 따라 OLS의 결과는 유량을 과대추정하고 있음을 알 수 있었다. 또한 불확실성 측면에서 2Smr과 0.95Se에 의한 산정결과 모두 등분산케이스에 비하여 불확실성을 크게 증가시켜 표현하였다.
- 5에 나타내었다. 얻어진 잔차도를 보면 안양 지점의 경우 뚜렷한 트렘펫 형태의 잔차도로써 비등분산성이 존재하는 것을 알 수 있으며, 안양 외에도 고척교, 시흥 지점 등 자료의 개수가 많은 지점에서는 비등 분산성이 일정 정도 존재하는 것을 알 수 있었다. 또한 학의천과 목감천은 잔차의 특성이 등분산적이라고 할 수 있는 데, 이 지점에서도 자료의 개수가 증가한다면 잔차의 특성도 비등분산적으로 바뀌어 질 것으로 예측할 수 있어 대부분의 수위-유량 관계곡선에서는 유량이 증가함에 따라 오차가 증가되는 형태를 가지는 비등분산적인 특성을 가지는 것을 확인할 수 있었다.
- 얻어진 잔차도를 보면 안양 지점의 경우 뚜렷한 트렘펫 형태의 잔차도로써 비등분산성이 존재하는 것을 알 수 있으며, 안양 외에도 고척교, 시흥 지점 등 자료의 개수가 많은 지점에서는 비등 분산성이 일정 정도 존재하는 것을 알 수 있었다. 또한 학의천과 목감천은 잔차의 특성이 등분산적이라고 할 수 있는 데, 이 지점에서도 자료의 개수가 증가한다면 잔차의 특성도 비등분산적으로 바뀌어 질 것으로 예측할 수 있어 대부분의 수위-유량 관계곡선에서는 유량이 증가함에 따라 오차가 증가되는 형태를 가지는 비등분산적인 특성을 가지는 것을 확인할 수 있었다.
- Table 5는 통계적 실험결과와 유사한 결과를 나타내는 것을 알 수 있다. 즉 OLS와 Bayesian 회귀분석의 평균에 대한 결과는 거의 유사하게 추정되어지지만, 불확실성을 나타내는 상한과 하한 추정치는 OLS 회귀분석보다 Bayesian 회귀분석이 보다 감소되어 결과를 산정하게 됨을 알 수 있다. 또한 비등분산적 특성이 강했던 안양, 시흥 등의 지점에서 특히 Bayesian 회귀분석에 의한 불확실성의 산정결과가 많이 감소된 범위를 보여주는 것을 알 수 있었다.
- 즉 OLS와 Bayesian 회귀분석의 평균에 대한 결과는 거의 유사하게 추정되어지지만, 불확실성을 나타내는 상한과 하한 추정치는 OLS 회귀분석보다 Bayesian 회귀분석이 보다 감소되어 결과를 산정하게 됨을 알 수 있다. 또한 비등분산적 특성이 강했던 안양, 시흥 등의 지점에서 특히 Bayesian 회귀분석에 의한 불확실성의 산정결과가 많이 감소된 범위를 보여주는 것을 알 수 있었다. 그러나 참값을 모르는 현장 자료를 이용하는 데 있어서 회귀계수의 추정결과를 이용한 두 방법상의 결과의 비교는 신뢰구간의 감소만으로는 OLS기법과 Bayesian 회귀분석 중 어떤 기법이 우수하다고 결론내리기 어려울 것으로 판단된다.
- 또한 비등분산적 특성이 강했던 안양, 시흥 등의 지점에서 특히 Bayesian 회귀분석에 의한 불확실성의 산정결과가 많이 감소된 범위를 보여주는 것을 알 수 있었다. 그러나 참값을 모르는 현장 자료를 이용하는 데 있어서 회귀계수의 추정결과를 이용한 두 방법상의 결과의 비교는 신뢰구간의 감소만으로는 OLS기법과 Bayesian 회귀분석 중 어떤 기법이 우수하다고 결론내리기 어려울 것으로 판단된다.
- 95Se에 의한 불확실성 산정결과와 Bayesian 회귀분석에 의한 불확실성의 산정결과를 함께 도시하였다. 도시결과를 보면 비등분산성이 강하게 나타났던 안양지점을 제외한 모든 지점에서 OLS와 Bayesian 회귀분석의 평균에 대한 유량은 거의 유사하게 산정됨을 알 수 있었으며, 불확실성 측면에서는 Bayesian 회귀분석에 의한 산정결과가 가장 불확실성을 감소시켜 나타냄을 알 수 있었다.
- 불확실성 측면에서 대부분의 실측 자료들은 Bayesian 회귀분석의 하한과 상한 추정값 사이에 존재함으로써 Bayesian 회귀분석 결과가 실측 자료가 가지는 불확실성을 가장 합리적이고도 감소시켜 나타냄을 확인할 수 있었다. 그러나 본 연구에서 다루지 않은 수위-유량 관계곡선의 분리에 대한 문제를 고려하여 각 구간별 유량을 산정하고 이에 대한 불확실성을 산정하면, 2Smr과 0.
- 본 연구는 수위-유량 관계곡선식의 불확실성을 나타내기 위한 여러 가지 방법을 비교 평가함으로써 합리적으로 불확실성을 표현할 수 있는 방법을 제시하였다. 수위-유량 관계곡선식의 매개변수를 회귀분석으로 추정하는 데 있어서 가장 중요하게 고려해야 하는 회귀잔차의 등분산성과 비등분산성 에 따른 OLS 추정결과를 통계적 실험을 통하여 분석해 보았으며, 비등분산성이 강한 경우에는 OLS 추정결과에 있어서 결정계수가 낮아지고, 불확실성도 과대 추정된다는 결론을 얻을 수 있었다. 이에 대한 대안으로 매개변수를 추정하는 데 있어서 선형성, 정규성 등의 가정이 필요없고 자료의 개수에 크게 영향을 받지 않는 Bayesian 회귀분석을 이용하여 수위-유량 관계곡선식의 매개변수를 추정하고 그에 따른 불확실성을 산정하였다.
- 1) 회귀분석에 있어서 잔차가 등분산적인 특성을 가지는 경우에는 OLS에 의한 평균추정값과 Bayesian 회귀분석의 평균 추정값은 거의 동일한 결과를 보이므로, 확정적인 결론만을 필요로 하고 잔차가 등분산적인 경우에는 OLS에 의한 회귀분석을 사용하는 것이 분석을 위한 노력을 고려할 때 유리하다고 판단할 수 있었다.
- 2) 회귀분석에 있어서 잔차가 등분산적이라도 불확실성 측면의 결과를 이용하는 데 있어서는 OLS 회귀분석보다 Bayesian 회귀분석이 불확실성을 감소시켜 표현해 주기 때문에 유리하다고 할 수 있다.
- 3) 잔차의 특성이 비등분산적인 경우 OLS에 의한 회귀분석 결과는 잔차의 영향으로 인해 결정계수가 감소되고 최종적인 유량 산정결과를 과대추정할수 있으므로 Bayesian 회귀분석을 사용하는 것이 확정적인 결론만을 필요로 하거나 불확실성 측면의 결과를 필요로 하는 경우 모두 합리적일 수 있다. 단, 확정적인 결론만을 필요로 하는 경우 통계적 측면에서 가중최소제곱법(WLS)이나 일반화최소제곱법(GLS)를 사용하면 OLS 적용 시 발생하는 오차를 감소시킬 수 있다.
- 단, 확정적인 결론만을 필요로 하는 경우 통계적 측면에서 가중최소제곱법(WLS)이나 일반화최소제곱법(GLS)를 사용하면 OLS 적용 시 발생하는 오차를 감소시킬 수 있다. 특히 비등분산케이스의 경우 통계적 실험에서 사용된 참값과의 비교 결과 Bayesian 회귀분석이 OLS보다 참값에 보다 근사한 변수를 추정하는 것을 알 수 있었다.
- 4) 개별적인 수위에 대한 불확실성의 산정은 전체오차를 이용한 것보다 불확실성이 감소되어 산정되어지지만, 외삽구간에 대한 불확실성을 산정할 수 없으므로 이를 위해서는 Bayesian 회귀분석을 수행하는 것이 유리하다.
- 5) 측정자료의 개수가 작은 경우 t 분포에 의한 오차의 산정은 과소 또는 과대추정의 위험이 있으나 Bayesian 회귀분석은 회귀분석 시 필요한 가정들과 자료의 개수에 대한 제한이 필요 없으므로 합리적으로 사용될 수 있고, 신규로 측정된 자료를 포함하여 다시 불확실성을 산정하는 경우 측정자료를 바로 반영할 수 있어 유용하게 사용될 수 있다.
- 현장자료는 참값을 모르므로 OLS와 Bayesian 회귀분석으로 추정된 회귀계수 중 어떤 기법에 의한 추정결과가 참값에 가까운지는 알 수 없어 어느 기법이 우수하다는 단적인 결론을 얻기는 어려웠다. 그러나 현장자료를 이용하는 경우에도 기존의 불확실성 산정 기법보다는 Bayesian 회귀분석에 의한 불확실성의 산정이 보다 불확실성을 감소시켜 나타내주므로 기존의 두 기법인 2Smr과 0.95Se보다는 Bayesian 회귀분석이 우수하다는 결론을 내릴 수 있었다.
후속연구
- (1996)은 수위-유량 관계곡선의 분석 및 활용을 위한 의사결정지원시스템을 개발하였다. 이 시스템은 하도의 안정 또는 불안정 상태를 통계적 기법을 사용하여 식별하고 이에 따라 수위-유량 관계곡선식을 개발할 수 있게 구성되어 있으며, 계절별로 서로 다른 관계식 유도 및 이상자료 검정 등이 가능하다. 곡선식 분할은 하천단면의 형상에 따라 사용자가 입력하게 되어 있고 곡선식 형태는 지수형태이며 OLS 방법에 의해 매개변수들이 추정된다.
- 또한 본 연구는 불확실성 측면에서 기존 방법과 Bayesian 회귀분석 방법의 차이점, 장점 및 단점에 중심을 둔 연구이므로, 수위-유량 관계곡선식의 분리는 없는 것으로 가정하여 연구를 수행하였다. 그러나 실무적으로 수위-유량 관계선식의 분리는 최종적인 유량의 산정 값에 중요한 영향을 미칠 수 있으므로 향후에는 주관적인 방법에 의한 수위-유량 관계곡선식의 분리가 아니라 객관적이고 수학적인 방법으로 수위-유량 관계곡선식의 분할을 함께 고려할 수 있는 연구가 필요하리라 판단된다. 위에서 살펴 본 바와 같이 수위유량 관계곡선식의 매개변수들을 추정하는 일은 유량의 정확성 측면에서 매우 중요한 일이라 할 수 있으며, 주로 Eq.
- 회귀계수의 불확실성 측면에서 얻은 결과는 수위-유량 관계곡선에서 나타나는 불확실성에 대한 결과라기보다는 회귀분석 과정에서 발생하는 OLS 회귀분석과 Bayesian 회귀 분석의 차이에 대한 비교평가라고 할 수 있다. 그러므로 수위-유량 관계곡선에서 나타나는 불확실성을 비교 평가하기 위해서는 OLS의 평균결과로부터 유량을 산정한 후 전체오차인 0.95Se와 개별적인 오차인 2Smr을 산정하고 이 결과를 Bayesian 회귀분석결과로부터 얻은 유량과 비교할 필요가 있다.
- 불확실성 측면에서 대부분의 실측 자료들은 Bayesian 회귀분석의 하한과 상한 추정값 사이에 존재함으로써 Bayesian 회귀분석 결과가 실측 자료가 가지는 불확실성을 가장 합리적이고도 감소시켜 나타냄을 확인할 수 있었다. 그러나 본 연구에서 다루지 않은 수위-유량 관계곡선의 분리에 대한 문제를 고려하여 각 구간별 유량을 산정하고 이에 대한 불확실성을 산정하면, 2Smr과 0.95Se에 의한 불확실성이 어느 정도 감소되어 질 것으로 예측되므로, 수위-유량 관계곡선의 분리와 이에 따른 불확실성의 감소 영향을 알아보는 것도 향후 중요한 연구과제라 할 수 있을 것이며, 이 때 Bayesian 회귀분석의 복잡한 절차를 시스템화 하여 일괄적으로 처리하기 위한 응용프로그램의 개발도 중요한 부분이라 할 수 있다.
- 본 연구에서는 본론에 언급한 것과 같이 수위-유량 관계곡선식의 작성에 있어서 필수적인 단계인 수위-유량 관계곡선의 분리에 대한 문제는 함께 다루지 않았다. 그러므로 향후 Bayesian 방법을 사용함에 있어서 수위-유량 관계곡선식을 분리해야 하는 경우 각 구간에 따라 Bayesian 회귀분석의 복잡한 절차를 간단하게 구성할 수 있는 사용자 시스템의 마련과 분리지점을 객관적으로 추정할 수 있는 방법도 함께 마련되어야 할 필요가 있으며, 이와 같은 시스템을 통하여 더욱 많은 지점에서의 불확실성 분석을 수행함으로써 본 연구에서 사용된 기법의 신뢰성 및 적용성을 제고할 수 있으리라 판단된다.
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