본 논문에서는 다양한 차종의 영향을 반영할 수 있고, 차량과 교량의 연성운동방정식을 구성하여 시간 단계별 직접해를 산정할 수 있는 수치해석기법을 제시하였다. 운동방정식의 해는 직접적분법인 Newmark ${\beta}$을 이용하여 해석 단계별로 구성된 유효강성행렬과 유효하중벡터를 바탕으로 정적평형방정식의 해를 구하는 원리와 동일하게 산정하였다. 또한 해석의 효율성을 증진시키기 위하여 유효강성행렬은 Skyline 법에 의해 재구성하였으며, Cholesky의 행렬 분해기법을 동시에 적용하여 직접적인 역행렬 계산에서 야기되는 오차의 발생을 최소화 하였다. 또한 기존선 철도차량인 새마을 PMC 열차와 디젤 견인 무궁화 열차에 대한 3차원 정밀수치해석 모델을 개발하였고, 각 차량은 차체와 전 후방 대차에 각각 6자유도씩 고려하여 총 18자유도로 수치모델을 작성하였다. 교량은 3차원 공간뼈대 요소를 이용하여 모델링하였고, 차륜과 레일 접촉면의 불규칙성은 미국의 FRA에서 규정하고 있는 연직방향 및 횡방향틀림에 대한 PSD 함수를 이용하여 궤도틀림을 수치적으로 구현하였다. 제시된 수치해석 기법은 12 m, 18 m형 판형교의 실측결과를 이용하여 타당성을 검증하였으며, 실측 및 수치해석결과는 교량의 1차 휨 고유진동수의 2.0배를 기준으로 Low pass filtering 하였다.
본 논문에서는 다양한 차종의 영향을 반영할 수 있고, 차량과 교량의 연성 운동방정식을 구성하여 시간 단계별 직접해를 산정할 수 있는 수치해석기법을 제시하였다. 운동방정식의 해는 직접적분법인 Newmark ${\beta}$을 이용하여 해석 단계별로 구성된 유효강성행렬과 유효하중벡터를 바탕으로 정적평형방정식의 해를 구하는 원리와 동일하게 산정하였다. 또한 해석의 효율성을 증진시키기 위하여 유효강성행렬은 Skyline 법에 의해 재구성하였으며, Cholesky의 행렬 분해기법을 동시에 적용하여 직접적인 역행렬 계산에서 야기되는 오차의 발생을 최소화 하였다. 또한 기존선 철도차량인 새마을 PMC 열차와 디젤 견인 무궁화 열차에 대한 3차원 정밀수치해석 모델을 개발하였고, 각 차량은 차체와 전 후방 대차에 각각 6자유도씩 고려하여 총 18자유도로 수치모델을 작성하였다. 교량은 3차원 공간뼈대 요소를 이용하여 모델링하였고, 차륜과 레일 접촉면의 불규칙성은 미국의 FRA에서 규정하고 있는 연직방향 및 횡방향틀림에 대한 PSD 함수를 이용하여 궤도틀림을 수치적으로 구현하였다. 제시된 수치해석 기법은 12 m, 18 m형 판형교의 실측결과를 이용하여 타당성을 검증하였으며, 실측 및 수치해석결과는 교량의 1차 휨 고유진동수의 2.0배를 기준으로 Low pass filtering 하였다.
In this study, the numerical method is presented, which can consider the various train types and can solve the equations of motion for a vehicle-bridge interaction analysis by non-iteration procedure through formulating the coupled equations of motion. The coupled equations of motion for the vehicle...
In this study, the numerical method is presented, which can consider the various train types and can solve the equations of motion for a vehicle-bridge interaction analysis by non-iteration procedure through formulating the coupled equations of motion. The coupled equations of motion for the vehicle-bridge interaction are solved by the Newmark ${\beta}$ of a direct integration method, and by composing the effective stiffness matrix and the effective force vector according to a analysis step, those can be solved with the same manner of the solving procedure of equilibrium equations in static analysis. Also, the effective stiffness matrix is reconstructed by the Skyline method for increasing the analysis effectiveness. The Cholesky's matrix decomposition scheme is applied to the analysis procedure for minimizing the numerical errors that can be generated in directly calculating the inverse matrix. The equations of motion for the conventional trains are derived, and the numerical models of the conventional trains are idealized by a set of linear springs and dashpots with 16 degrees of freedom. The bridge models are simplified by the 3 dimensional space frame element which is based on the Euler-Bernoulli theory. The rail irregularities of vertical and lateral directions are generated by the PSD functions of the Federal Railroad Administration (FRA). The results of the vehicle-bridge interaction analysis are verified by the experimental results for the railway plate girder bridges of a span length with 12 m, 18 m, and the experimental and analytical data are applied to the low pass filtering scheme, and the basis frequency of the filtering is a 2 times of the 1st fundamental frequency of a bridge bending.
In this study, the numerical method is presented, which can consider the various train types and can solve the equations of motion for a vehicle-bridge interaction analysis by non-iteration procedure through formulating the coupled equations of motion. The coupled equations of motion for the vehicle-bridge interaction are solved by the Newmark ${\beta}$ of a direct integration method, and by composing the effective stiffness matrix and the effective force vector according to a analysis step, those can be solved with the same manner of the solving procedure of equilibrium equations in static analysis. Also, the effective stiffness matrix is reconstructed by the Skyline method for increasing the analysis effectiveness. The Cholesky's matrix decomposition scheme is applied to the analysis procedure for minimizing the numerical errors that can be generated in directly calculating the inverse matrix. The equations of motion for the conventional trains are derived, and the numerical models of the conventional trains are idealized by a set of linear springs and dashpots with 16 degrees of freedom. The bridge models are simplified by the 3 dimensional space frame element which is based on the Euler-Bernoulli theory. The rail irregularities of vertical and lateral directions are generated by the PSD functions of the Federal Railroad Administration (FRA). The results of the vehicle-bridge interaction analysis are verified by the experimental results for the railway plate girder bridges of a span length with 12 m, 18 m, and the experimental and analytical data are applied to the low pass filtering scheme, and the basis frequency of the filtering is a 2 times of the 1st fundamental frequency of a bridge bending.
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문제 정의
따라서 본 연구에서는 차량과 교량의 연성운동방정식을 구성하여 시간 단계별 직접해를 산정할 수 있는 수치해석 기법을 제시하였고, 기존선 증속주행에 대비하여 다양한 차량에 의한 기존선 교량의 동적응답 특성 분석을 위하여 새마을 PMC 열차와 디젤 견인 무궁화 열차에 대한 3차원 정밀수치모델을 개발하였다.
본 연구는 차량과 교량의 연성운동방정식을 구성하여 시간 단계별 직접해를 산정할 수 있는 수치해석 기법을 제시하고, 기존선 증속주행에 대비하여 다양한 차량에 의한 기존선 교량의 동적응답 특성 분석을 위하여 새마을 PMC 열차와 디젤 견인 무궁화 열차에 대한 3차원 정밀수치모델을 제시한 것이다. 이 연구로 얻은 주요결과를 요약하면 다음과 같다.
8량 1조의 연속된 2개의 조합으로 최대 16량 편성으로 확장하여 운행이 가능하다. 본 연구에서는 8량 1조에 대해서만 고려하는 것으로 하였다.
가설 설정
각 차량의 차체와 전·후방 대차는 각각 6자유도를 고려하여 총 18자유도로 수치모델을 작성하였다. 1차 및 2차 현가장치는 스프링과 댐퍼요소를 이용하여 구성하였으며 모든 변위는 각 구성 질량의 질량중심에서만 발생하는 것으로 가정하였다. 차체 및 전·후방 대차의 질량 및 자유도, 1·2차 현가장치의 기호는 다음과 같다.
기존선 판형교는 도상이 없는 무도상 교량으로 레일이 주형에 직결되어 있다. 3차원 공간뼈대 요소를 이용하여 거더, 레일 및 침목을 모델링 하였으며, 레일 및 침목은 거더에 강결되어 있는 것으로 가정하였다.
여기서, α, β는 비례상수로 감쇠행렬이 고유치해석을 통한 고유벡터에 대한 직교성을 만족하며 고유벡터가 질량에 대한 직교성을 이용하여 정규화 되었다는 가정을 바탕으로 i, j번째 모드를 고려하면 다음의 식 (7)과 같이 나타낼 수 있다. 본 연구에서는 표 3에 나타낸 휨 1, 2차 모드에 대응되는 고유진동수 값을 적용하였으며, 각각의 모드별 감쇠비는 2%로 일정한 것으로 가정하였다.
감쇠행렬은 교량의 강성과 질량에 일정한 비율로 선형비례하는 조합으로 표현하였다. 이와 같은 비례상수는 각 모드별 감쇠비가 일정한 것으로 가정하여 휨 1, 2차 모드에 대응하는 고유치를 이용하여 결정하였다.
제안 방법
1. 기존선 철도 차량인 새마을 PMC 8량, 디젤 1량 견인 무궁화 열차에 대한 수치모델을 제시하였으며, 각 차량에 대한 운동방정식을 유도하였다.
2. 다양한 형태의 차량을 고려하여 철도교량의 동적응답을 예측할 수 있는 차량 및 교량의 상호작용 연성해석기법을 이용 하여 차량 및 교량의 동적운동방정식의 직접해를 산정할 수 있는 방법을 제시하였다.
교량의 질량행렬 [Mb]는 2절에서 서술한 바와 같이 일관질량과 집중질량을 선택적으로 적용할 수 있으며 본 연구에서는 집중질량을 적용하였다. 교량의 감쇠행렬 [Cb]는 질량과 강성에 대한 일정한 비율의 선형조합의 형태로 다음의 식으로 표현된다.
따라서 본 연구에서는 상호작용해석 결과에 대해 실측결과와 동일한 수준으로 데이터 후 처리를 하였다.
12 m형 판형교를 대상으로 하였으며, 새마을 PMC 8량, 디젤 1량 견인 무궁화 열차 모델을 적용하였다. 또한 기존선 차량인 경우 60 km/h에서 최대 운행 가능속도인150 km/h까지 10 km/h씩 증속하여 차량 모델별 최대 수직가속도 및 수직변위 응답을 비교하였다.
질량행렬은 강성행렬 구성에 적용되는 형상함수를 이용하여 질량을 구성하는 일관질량(consistence mass)과 이동방향으로만 인접요소의 질량을 집중시키고 회전방향 관성력은 무시하는 집중질량(lumped mass)을 선택적으로 고려할 수 있게 하였다. 또한 부부재의 질량은 주거더의 질량중심의 값으로 변환하여 적용하였다. 감쇠행렬은 교량의 강성과 질량에 일정한 비율로 선형비례하는 조합으로 표현하였다.
축상 스프링은 3개의 이동방향 강성을 갖는 스프링 요소로 모델링하였고, 부쉬는 3개의 이동방향 강성 및 감쇠 특성값을 갖는 스프링과 댐퍼 요소의 조합으로 모델링 하였다. 또한 수직 오일댐퍼는 연직방향 감쇠 특성값을 갖는 댐퍼 요소로 모델링 하였다. 차체와 대차 사이의 2차 현가장치는 에어스프링, 부쉬, 수직·수평 댐퍼 및 요댐퍼로 구성되어 있다.
본 연구에서는 FRA에서 규정하고 있는 6개의 궤도등급 중 궤도품질이 가장 우수한 class 6을 적용하였으며, 2,000개의 sampling function을 이용하여 시간 단계별 차륜과 레일의 접촉점에서 궤도틀림을 산정하였다.
본 절에서는 이동하중, 이동질량 및 3차원 차량모델의 차량수치모델에 따른 응답특성을 비교하였다. 12 m형 판형교를 대상으로 하였으며, 새마을 PMC 8량, 디젤 1량 견인 무궁화 열차 모델을 적용하였다.
이들 중 에어스프링과 부쉬는 3개의 이동방향 강성 및 감쇠 특성값을 갖는 스프링 및 댐퍼 요소로 모델링 하였으며, 수직·수평 댐퍼는 수직 방향 및 수평 방향 감쇠 특성을 갖는 댐퍼 요소를 적용하였다.
전·후방 대차는 동일한 형식으로 각각 차체와 동일하게 각각 6자유도를 고려하여 수치모델을 작성하였다.
질량행렬은 강성행렬 구성에 적용되는 형상함수를 이용하여 질량을 구성하는 일관질량(consistence mass)과 이동방향으로만 인접요소의 질량을 집중시키고 회전방향 관성력은 무시하는 집중질량(lumped mass)을 선택적으로 고려할 수 있게 하였다. 또한 부부재의 질량은 주거더의 질량중심의 값으로 변환하여 적용하였다.
그림 4에 나타낸 것처럼 디젤기관차는 1개의 차체질량과 2개의 대차질량으로 구성되어 있다. 차체는 3방향 이동자유도와 3방향 회전자유도를 고려하여 총 6개의 변위가 차체의 강체 질량중심에 작용하는 것으로 하였다. 전·후방 대차는 동일한 형식으로 각각 차체와 동일하게 각각 6자유도를 고려하여 수치모델을 작성하였다.
그림 3에 나타낸 바와 같이 동력차의 질량은 1개의 차체질량과 2개의 대차 질량으로 구성되어 있다. 차체는 3방향 이동자유도와 3방향 회전자유도를 고려하였다. 전두부 동력대차와 후두부 부수대차도 차체와 동일하게 3방향 이동자유도와 3방향 회전자유도를 고려하였다.
차륜과 대차 사이의 1차 현가장치는 축상 스프링, 부쉬 및 수직 오일댐퍼로 구성되어 있다. 축상 스프링은 3개의 이동방향 강성을 갖는 스프링 요소로 모델링하였고, 부쉬는 3개의 이동방향 강성 및 감쇠 특성값을 갖는 스프링과 댐퍼 요소의 조합으로 모델링 하였다. 또한 수직 오일댐퍼는 연직방향 감쇠 특성값을 갖는 댐퍼 요소로 모델링 하였다.
해석결과는 현재 공용중인 철도판형교의 지간 중앙에서 차종별 최대 변위 이력과 횡방향 및 연직방향 최대 가속도 응답의 실측결과를 이용하여 검증 하였다. 12 m형 판형교의 경우 계측은 상행선에서 실시하였으며 총 70개의 열차에 대해서 운행열차의 교량 통과에 따른 지간 중앙에서 수직·수평 가속도(Av, Ah) 및 수직·수평 처짐(Dv, Dh) 신호를 수집하였다.
대상 데이터
본 절에서는 이동하중, 이동질량 및 3차원 차량모델의 차량수치모델에 따른 응답특성을 비교하였다. 12 m형 판형교를 대상으로 하였으며, 새마을 PMC 8량, 디젤 1량 견인 무궁화 열차 모델을 적용하였다. 또한 기존선 차량인 경우 60 km/h에서 최대 운행 가능속도인150 km/h까지 10 km/h씩 증속하여 차량 모델별 최대 수직가속도 및 수직변위 응답을 비교하였다.
12 m형 판형교의 경우 계측은 상행선에서 실시하였으며 총 70개의 열차에 대해서 운행열차의 교량 통과에 따른 지간 중앙에서 수직·수평 가속도(Av, Ah) 및 수직·수평 처짐(Dv, Dh) 신호를 수집하였다.
18 m형 판형교의 경우 계측은 하행선에서 실시하였으며 총 72개의 열차에 대해서 지간 중앙에서의 수직·수평 가속도(Av, Ah) 및 처짐(Dv, Dh) 신호를 수집하였다.
각 차량의 차체와 전·후방 대차는 각각 6자유도를 고려하여 총 18자유도로 수치모델을 작성하였다.
18 m형 판형교의 경우 계측은 하행선에서 실시하였으며 총 72개의 열차에 대해서 지간 중앙에서의 수직·수평 가속도(Av, Ah) 및 처짐(Dv, Dh) 신호를 수집하였다. 각각의 실험은 초당 1000개의 실측 데이터로 시간 이력을 구성하였다. 대상 교량별 측정센서 부착 형상은 그림 6에 나타내었다.
그림 8은 디젤 1량 견인 무궁화 9량 편성 열차에 의한 지간 중앙에서의 연직방향 변위에 대한 수치해석결과를 실측결과와 비교하여 나타낸 것이다. 대상 교량은 18 m형 판형교로 열차의 주행속도는 83.94 km/h 이다. 그림에 나타낸 것처럼 전두부 디젤기관차부의 해석결과는 실측결과와 잘 일치하고 있음을 알 수 있으나 이후 객차부에서는 약간의 편차가 발생하였다.
그림 7은 새마을 PMC 8량에 의한 지간 중앙에서의 연직방향 변위이력에 대한 상호작용 해석결과를 실측결과와 비교하여 나타낸 것이다. 대상 교량은 현재 공용중인 18 m형 판형교이며, 실측 운행 차량의 주행속도는 86.30 km/h 이다. 그림에서 알 수 있듯이 해석결과는 실측결과와 상당히 유사함을 알 수 있으며 차량의 교량 통과 이후의 여진 부분에서 약간의 차이가 발생하였다.
본 연구에서 적용된 차량 모델은 새마을 PMC 열차와 디젤 견인 무궁화 열차이다. 각 차량의 차체와 전·후방 대차는 각각 6자유도를 고려하여 총 18자유도로 수치모델을 작성하였다.
본 연구에서는 그림 1과 표 2에 나타낸 것처럼 12 m 및 18 m형 판형교를 대상으로 하였다. 기존선 판형교는 도상이 없는 무도상 교량으로 레일이 주형에 직결되어 있다.
디젤 견인 무궁화 열차는 디젤 기관차의 편성 량수에 따라서 디젤 1량 견인 형식과 2량 견인 형식으로 구분 되며 객차는 6량 혹은 8량으로 편성되어 있다. 본 연구에서는 디젤 1량 견인 형식을 기본으로 객차는 8량으로 구성하였다.
이론/모형
궤도틀림에 있어 PSD는 궤도품질에 대한 정보를 포함하고 있어 차량 및 교량의 진동 산정시 상당히 중요한 의미를 갖게 된다. 본 연구에서는 식 (1)과 식(2)와 같이 미국의 FRA에서 규정하고 있는 연직방향 및 횡방향 틀림에 대한 PSD 함수를 적용하였다(Fryba 1996).
차량행렬은 개별적 차량에 대한 운동방정식, 스프링에 의한 탄성위치에너지, 댐퍼에 의한 소산에너지를 각각 유도한 후 Hamilton 원리에 의하여 Euler 방정식의 형태로 유도된 식 (8)을 이용하여 개별적 자유도 별로 구성된 식을 행렬식으로 구성하였다. 차종별 운동방정식은 부록에 나타내었다.
성능/효과
3. 제시된 해석기법을 이용한 수치해석 결과는 실측에 의한 지간 중앙에서의 변위 및 최대 수직·수평 가속도 응답과의 비교를 통하여 교량의 동적응답 예측에 상당한 신뢰도가 있음이 검증 되었다.
4. 본 연구에서 비교·분석한 결과로부터 이동질량 해석기법은 철도 판형교와 같이 활하중 비중이 큰 경우 과도한 부가질량 효과를 나타내어 최대 가속도 응답을 가장 크게 평가하였으며, 이동하중 해석기법도 제시된 해석기법에 비해 최대 가속도 응답을 약간 과대평가 하였다.
열차의 운행속도가 90 km/h~100 km/h에서는 실측결과가 수치해석결과 보다 크게 나타났으나, 이후의 속도 구간에서는 수치해석결과와 실측결과는 잘 일치하였다. 또한, 속도별 최대 가속도 응답은 실측결과에서 실측 데이터 수의 부족으로 속도에 따른 영향이 크게 나타나고 있지 않았다.
그러나 운행속도가 130 km/h 이상의 속도대역에서는 이동하중 모델에 의한 응답이 3차원 차량 모델에 의한 응답에 비해 증가하는 것을 알 수 있다. 이동질량 모델에 의한 응답은 60 km/h이상의 속도를 제외한 전 속도대역에서 이동하중 및 3차원 차량 모델에 의한 응답값을 크게 상회하는 것으로 나타났다. 철도 판형교와 같이 교량의 중량에 비해 차량의 중량 비율이 더 큰 경우 이동질량 모델은 교량에 과도한 부가 질량효과를 유발(Akin 1989)시켜 상대적으로 다른 차량모델에 비해 교량의 진동수준을 과대평가하는 것으로 판단된다.
그림 10은 무궁화 열차에 의한 18 m형 판형교의 지간중앙에서의 열차의 속도에 따른 최대 수직·수평 가속도 응답을 실측결과와 비교하여 나타낸 것이다. 최대 수직가속도 응답의 경우 열차의 운행속도가 80 km/h인 경우 실측결과가 수치해석에 의한 결과에 비해 약간 크게 분석되었으나 90km/h 근방에서는 수치해석결과와 실측결과는 상당히 잘 일치하는 것으로 나타났다. 최대 수평가속도 응답의 경우 실운행 열차의 운행속도 구간대역에서 수치해석 결과는 실측결과를 상당히 잘 반영하는 것으로 분석되었다.
최대 수직가속도 응답의 경우 열차의 운행속도가 80 km/h인 경우 실측결과가 수치해석에 의한 결과에 비해 약간 크게 분석되었으나 90km/h 근방에서는 수치해석결과와 실측결과는 상당히 잘 일치하는 것으로 나타났다. 최대 수평가속도 응답의 경우 실운행 열차의 운행속도 구간대역에서 수치해석 결과는 실측결과를 상당히 잘 반영하는 것으로 분석되었다.
후속연구
국내 실험 여건상 기존선 구간에서 실운행 열차를 대상으로 운행 열차의 증속에 따른 다양한 차종별 영향성을 검토하는 것은 현실적으로 불가능하기 때문에 검증된 수치해석기법에 의한 평가가 수반되어야 할 것으로 판단된다. 그러나 현재 기존선 철도교량에 대한 수치적 접근은 이동하중 해석에 의존하고 있어 판형교의 동특성을 수치적으로 명확히 구현하지 못하고 있는 실정이다.
이동질량 모델에 의한 응답은 속도증가에 따라 최대 수직변위 응답이 증가하는 경향을 나타내고 있어 다른 해석방법에 의한 응답과 차이가 발생하는 것으로 분석되었다. 또한 이동질량 모델은 차량의 속도 및 중량에 따라 이동하중 모델에 의한 응답에 비해 상당한 오차가 발생(Akin 1989) 될 수 있어 교량의 고정하중 대비 활하중 비중이 큰 교량에 이동질량 모델을 적용할 때는 차량의 관성효과를 재평가 할 필요가 있을 것으로 판단된다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
차량-교량 상호작용 해석에 최근 많이 이용되는 방법은 무엇인가?
그러나 기존의 이동하중 해석기법과 이동질량 해석기법은 교량상을 통과하는 차량의 동특성을 반영할 수 없으며, 노면과 레일의 불규칙성을 고려 할 수 없어 실제적인 물리현상을 명확히 구현할 수 없는 문제가 있었다. 또한 최근에 그 적용성이 확대되어진 차량-교량 상호작용 해석에서는 차량과 교량을 서로 분리하여 개별적인 운동방정식을 구성하는 방법이 가장 많이 적용 되고 있다(Mulcahy 1983, Fafard 1993, Yau 1999, Sun 2002, 김성일 2000, 최성락 2001, Xia 2001, Lei 2002, Majka 2007). 그러나 이와 같이 차량 시스템과 교량 시스템을 분리하여 운동방정식을 구성하게 되면 해석 단계별로 교량관련 행렬과 차량관련 행렬 요소들이 변하지 않는 장점이 있으나 현 해석 단계에서 가정된 변위를 바탕으로 반복적으로 해를 수렴시키게 되어 정식화 과정이 다소 복잡해지는 경향이 있다.
기존의 이동하중 해석기법과 이동질량 해석기법은 어떠한 문제점이 존재하는가?
또한 최근 컴퓨터 용량의 비약적 발전을 토대로 정밀 차량모델에 의한 교량의 동적응답을 추정 할 수 있는 기법이 개발 되었다. 그러나 기존의 이동하중 해석기법과 이동질량 해석기법은 교량상을 통과하는 차량의 동특성을 반영할 수 없으며, 노면과 레일의 불규칙성을 고려 할 수 없어 실제적인 물리현상을 명확히 구현할 수 없는 문제가 있었다. 또한 최근에 그 적용성이 확대되어진 차량-교량 상호작용 해석에서는 차량과 교량을 서로 분리하여 개별적인 운동방정식을 구성하는 방법이 가장 많이 적용 되고 있다(Mulcahy 1983, Fafard 1993, Yau 1999, Sun 2002, 김성일 2000, 최성락 2001, Xia 2001, Lei 2002, Majka 2007).
차량과 교량을 서로 분리하여 개별적인 운동방정식을 구성하는 방법은 어떠한 장단점이 존재하는가?
또한 최근에 그 적용성이 확대되어진 차량-교량 상호작용 해석에서는 차량과 교량을 서로 분리하여 개별적인 운동방정식을 구성하는 방법이 가장 많이 적용 되고 있다(Mulcahy 1983, Fafard 1993, Yau 1999, Sun 2002, 김성일 2000, 최성락 2001, Xia 2001, Lei 2002, Majka 2007). 그러나 이와 같이 차량 시스템과 교량 시스템을 분리하여 운동방정식을 구성하게 되면 해석 단계별로 교량관련 행렬과 차량관련 행렬 요소들이 변하지 않는 장점이 있으나 현 해석 단계에서 가정된 변위를 바탕으로 반복적으로 해를 수렴시키게 되어 정식화 과정이 다소 복잡해지는 경향이 있다.
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