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문제 정의
- 본 연구에서는 동역학적 방법을 이용하여 GPS 위성의 궤도를 결정하고 그 특성을 분석하였다. 이를 위해서 위성에 영향을 미치는 가속도를 계산한 후, 개발된 multi- step 방식의 수치적분기를 이용하여 관성(천구기준)좌표계에서 적분함으로써 위성의 위치, 속도 및 초기값에 대한 편미분 정보를 구했다.
- 위성궤도 결정과 관련된 국내 연구 동향에 대해서는 배태석(2009)에 의해 분석되어 있으며, 본 연구에서는 동역학적 방법을 통해 GPS 위성의 정밀궤도를 결정하고, 이를 바탕으로 GPS 위성의 궤도오차 특성 분석과 위성 궤도 결정 정확도 향상을 위한 방안을 제시하였다. 본 연구를 위해서 2009년 3월의 전체 GPS 위성의 궤도를 수치적분으로 구하고 이를 IGS(International GNSS Service) 정밀궤도에 적합시킴으로써 위성궤도 미지수를 추정했으며, 그에 따른 궤도오차 특성을 분석했다.
제안 방법
- 최대 차수는 12차로 제한되어 있으며 차수 변경은 한 단계씩 이루어지고, 적분간격은 2배씩 증가 또는 감소된다. 또한 적분 누적오차를 최소화 하기 위해서 초기값은 궤도의 중앙에 설정하고 역방향 및 순방향의 순서로 적분이 가능하도록 개발했다.
- 본 연구를 위해서 2009년 3월의 전체 GPS 위성의 궤도를 수치적분으로 구하고 이를 IGS(International GNSS Service) 정밀궤도에 적합시킴으로써 위성궤도 미지수를 추정했으며, 그에 따른 궤도오차 특성을 분석했다.
- 일반적으로 IGS 정밀궤도에서 속도정보는 주어지지 않으므로 회전행렬의 시간에 대한 미분값에 위 치 벡터를 곱하여 천구기준좌표계 에서 의 속도정 보를 계산한다(식 (8) 우측 첫번째 항). 본 연구에서 모델링한 미지수는 각 위성마다 초기점(각 날짜의 12시 위치)의위치, 속도 및 9개의 태양복사압 계수로 구성되어 있다. 최소제곱조정으로 위성궤도 미지수를 구하기 위해서는 수치적분된 위성궤도 및 위성궤도 미지수에 대한 편미분값을 필요로 하며, IGS에서 공표한 정밀궤도를 외부관측값으로 사용했다.
- 본 연구에서는 2009년 3월 한달 동안 전체 GPS 위성의 궤도를 계산했다. 이를 위해 각 시점에서의 가속도 및 편미분값을 계산하고 수치적분을 통해 위성 궤도를 결정했다.
- 계산할 수 있다. 본 연구에서는 JPL(Jet Propulsion Laboratory)에서 제공하는 DE405를 이용하여 태양계 천체의 위치벡터를 계산한 후 이를 이용하여 위성에 미치는 가속도를 계산했다. DE405에서 제공하는 좌표는 천구좌표계상에서의 값이므로 별도의 천구좌표계로의 변환은 필요없다.
- 정확하게 계산할 것인가이다. 본 연구에서는 가속도 뿐만 아니라 위성궤도 미지수에 대한 편미분 값을 동시에 적분함으로써 GPS 관측값 또는 정밀궤도를 이용하여 위성궤도 미지수를 최소제곱방법으로 결정할 수 있도록 했다. 특정시점에서 위성의 위치벡터를 위성궤도 미지수에 대한 편미분(variational partial)은 Bae(2006) 에 잘 설명되어 있다.
- 지구중력장모델은 케플러항, J2 및 기타 지구중력장 모델로 세분하여 표시했으며, 그 외 달, 태양에 의한 인력과 태양복사압의 상대적인 크기를 비교했다. 수치적분 누적오차를 줄이기 위해 궤도 초기값 위치 인 12시를 중심으로 전반 12시간에 대해서 역방향 적분과 이후 12시간에 대한 순방향 적분을 수행했다. 따라서 그림에서 보는 바와 같이 12시 부근에서는 낮은 차수로 인해 적분간격이 짧으며, 시간이 지나면서 차수 증가와 함께 적분간격도 안정적으로 변화함을 알 수 있다.
- 따라서 그림에서 보는 바와 같이 12시 부근에서는 낮은 차수로 인해 적분간격이 짧으며, 시간이 지나면서 차수 증가와 함께 적분간격도 안정적으로 변화함을 알 수 있다. 수치적분된 위치 및 편미분정보는 일반적인 GPS 위성궤도와 깉-이 매 15분마다 이진파일로 저장했다.
- 전체 계산 시간은 하루 24시간 31개 위성을 기준으로 대략 24초 정도 소요되었으며, 위성 운동방정식이 정의된 관성(천구기준)좌표계로의 변환을 위해서 속도 및 정확도를 고려하여 IAU2000A 모델을 적용하였다(배태석, 2009). 위성궤도 결정을 위해 개발된 모든 프로그램은 리눅스 기반 C++ 언어로 작성되었으며, 지구/ 천구기준좌표계 변환행렬용 장동각 계산을 위해 IERS(Intemational Earth Rotation and Reference Systems Service)에서 제공한 FORTRAN 코드를 링크하여 사용했다.
- 따라서 지구조석을 적용히기 위해달/태양에 의한 지구포텐셜 변화식(McCarthy and Petit, 2003, 식(1))을 그대로 적용할 수 있다. 이 외에도 시간에 따른 지구중력장의 변화, 극운동의 원심력 효과에 의한 solid Earth pole tide를 고려해야 하며, CSR3.0 모델을 이용하여 ocean tide 영향을 보정했다. 구면좌표계 상에서 계산된 지구중력장 가속도는 지구중심 직각좌표계로 변환하고, 이를 다시 운동방정식이 정의되는 관성좌표계로 변환해야 한다.
- 궤도를 계산했다. 이를 위해 각 시점에서의 가속도 및 편미분값을 계산하고 수치적분을 통해 위성 궤도를 결정했다. 전체 계산 시간은 하루 24시간 31개 위성을 기준으로 대략 24초 정도 소요되었으며, 위성 운동방정식이 정의된 관성(천구기준)좌표계로의 변환을 위해서 속도 및 정확도를 고려하여 IAU2000A 모델을 적용하였다(배태석, 2009).
- 결정하고 그 특성을 분석하였다. 이를 위해서 위성에 영향을 미치는 가속도를 계산한 후, 개발된 multi- step 방식의 수치적분기를 이용하여 관성(천구기준)좌표계에서 적분함으로써 위성의 위치, 속도 및 초기값에 대한 편미분 정보를 구했다. 최소제곱조정 방법으로 위성궤도의 초기값 및 태양복사압 모델 계수를 결정하고, 그 결과를 이용하여 적용된 가속도 모델 및 수치적분기의 정확도를 검증했다.
- 지구중력장모델은 케플러항, J2 및 기타 지구중력장 모델로 세분하여 표시했으며, 그 외 달, 태양에 의한 인력과 태양복사압의 상대적인 크기를 비교했다. 수치적분 누적오차를 줄이기 위해 궤도 초기값 위치 인 12시를 중심으로 전반 12시간에 대해서 역방향 적분과 이후 12시간에 대한 순방향 적분을 수행했다.
- 이를 위해서 위성에 영향을 미치는 가속도를 계산한 후, 개발된 multi- step 방식의 수치적분기를 이용하여 관성(천구기준)좌표계에서 적분함으로써 위성의 위치, 속도 및 초기값에 대한 편미분 정보를 구했다. 최소제곱조정 방법으로 위성궤도의 초기값 및 태양복사압 모델 계수를 결정하고, 그 결과를 이용하여 적용된 가속도 모델 및 수치적분기의 정확도를 검증했다. 2009년 3월 한달 동안 전체 31개 GPS 위성에 대한 평균적인 궤도오차는 5.
- DE405에서 제공하는 좌표는 천구좌표계상에서의 값이므로 별도의 천구좌표계로의 변환은 필요없다. 표 1은 2(X)9년 3월 1 일의 위성(PRN12) 에 미치는 각 천체의 인력을 24시간 평균한 값으로서, 달 및 태양 이외의 천체는 위성궤도에 미치는 영향이 미미하므로(10-1m/s2이하) 본 연구에서는 태양복사압 모델의 경험적 모델링으로 대체하였다.
이론/모형
- GPS 위성의 경우 일반적으로 8차 정도로 충분하다고 알려져 있으나(Grejcer Brzezinska, 1995),지구중력장 모델 및 위성궤도결정 정확도 향상으로 최근에는 8차 이상의 고차항까지 모델링에 반영하고 있다.EGM2008 모델(Pavlis et al., 2008)은 최고차항 2160까지 지원하지만 현재 공표되는 대부분의 위성궤도가 EGM96 또는 이에 상당하는 지구중력장 모델을 바탕으로 계산되므로 본 연구에서는 EGM96 모델을 적용하여 차수 (degree/order) 12까지 계산했다. EGM96은 tide-free 모델이므로 지구의 permanent tide에 의한 지구중력장 변화를 포함하고 있지 않다.
- 벡터이다. 또한 지구(또는 달)에 의한 태양의 부분적인 일식을 고려하기 위해 Conicsd 모델을 사용했으며, 태양이 실제로 보이는 비율은 다음과 같이 구할 수 있다
- 본 연구에서는 Shampine/Gordon 알고리즘을 이용하여 수치적 분기를 개발하였다. 이 알고리즘은 n개의 이전 데이터를 라그랑지 방법을 이용하여 내삽한 후 n+1 번째의 근사해를 계산하는 Adams-Bashforth 방법과("예측"), n+1 위치에서의 근사해를 이용하여 같은 위치에서 향상된 해를 결정하는 Adams-Moulton 방법("수정")으로 구성되 어 있다(Shampine and Gordon, 1975).
- 이를 위해 각 시점에서의 가속도 및 편미분값을 계산하고 수치적분을 통해 위성 궤도를 결정했다. 전체 계산 시간은 하루 24시간 31개 위성을 기준으로 대략 24초 정도 소요되었으며, 위성 운동방정식이 정의된 관성(천구기준)좌표계로의 변환을 위해서 속도 및 정확도를 고려하여 IAU2000A 모델을 적용하였다(배태석, 2009). 위성궤도 결정을 위해 개발된 모든 프로그램은 리눅스 기반 C++ 언어로 작성되었으며, 지구/ 천구기준좌표계 변환행렬용 장동각 계산을 위해 IERS(Intemational Earth Rotation and Reference Systems Service)에서 제공한 FORTRAN 코드를 링크하여 사용했다.
- 구면좌표계 상에서 계산된 지구중력장 가속도는 지구중심 직각좌표계로 변환하고, 이를 다시 운동방정식이 정의되는 관성좌표계로 변환해야 한다. 지구/천구기준좌표계 변환은 IAU 권고에 따라 IAU2000A 모델을 사용하여 NRO 방법을 적용하고(배태석. 2009), 이를 위한 극운동은 IERS Bulletin A를 사용했다.
- 태양복사압은 ECOM(Extended CODE Orbit Model; Beutler et al., 1994; Springer et al., 1999)을 기본 모델로 하고, 주성분인 태양-위성 방향의 직접적인 태양복사압은 ROCK 모델로부터 계산하며 거리 및 태양 일식의 영향을 고려해 준다. 태양-위성 벡터를 기준으로 하는 좌표계의 각 축 방향의 가속도는 회전행렬을 이용해서 천구기준좌표계로 변환한다.
성능/효과
- 미치는 가속도의 정확한 모델링과 2) 누적오차를 최소화하며 효율적인 적분을 수행할 수 있는 수 치적 분기의 개발이 필수적이다.
- 그러나 본 논문에서 적용한 태양복사압 모델 ECOMe 궤도 1주기에 대한 경험적 모델만을 포함하고 있어서 결정된 위성궤도의 잔차에서 2주기에 해당하는 오차를 분명하게 보여주고 있다. 따라서 위성궤도 미지수의 확장에 대한 추가적인 연구가 필요할 것으로 판단된다.
- 둘째, 지구(또는 달)에 의한 태양 일식은 2009년 3월의 경우 최대 10개의 위성에 영향을 미치지만 전체적인 위성궤도 오차에는 큰 영향이 없는 것으로 나타났다. 그러나 일부 위성의 경우에는 태양복사압 모델에 따라 추가적인 정확도 향상도 가능할 것으로 판단된다.
- 또한 24시간 궤도의 중앙을 초기값으로 정하고 양방향으로 적분할 수 있도록 개발함으로써 위성 궤도의 전파 오차를 최소화할 수 있다.
- 마지막으로 GPS 가속도 모델링 중 가장 중요한 태양복사압 모델의 적합성을 검증하기 위해 위성궤도 잔차를 24시간 전체에 대해서 표현한 결과(그림 7), 위성의 진행방향(Transverse) 및 방사방향(Radial)에서 위성궤도 2주기 (twice per revolution)에 해당하는 잔차 변화가 뚜렷이 나타난다. 이는 각 성분별 잔차에 대한 Fourier 스펙트럼을 계산하면 더욱 분명하게 확인할 수 있다(그림 8; 원으로 표시한 부분).
- 셋째, 위성의 종류에 따른 궤도 오차는 큰 차이를 보이지 않는 것으로 보이며, 위성궤도 진행방향을 기준으로 하는 좌표계 상에서의 오차도 큰 편향성을 보이지는 않는다. 그러나 본 논문에서 적용한 태양복사압 모델 ECOMe 궤도 1주기에 대한 경험적 모델만을 포함하고 있어서 결정된 위성궤도의 잔차에서 2주기에 해당하는 오차를 분명하게 보여주고 있다.
- 3월 1일부터 15일까지는 태양 일식을 경험하는 위성의 개수가 최대 10개에 달하지만 그림 4에서 보는 것처럼 전체적인 RMS는 큰 차이가 없고, 다만 날짜에 따라 일부 위성에 의해 RMS가 증가하는 경우가 있었다. 위성의 종류별 정확도를 평가하기 위해서 3월 24일 하루 동안 31개 위성에 대한 RMS를 계산한 결과(그림5) 위성의 Block별 궤도결정 정확도는 큰 차이가 없는 것으로 나타났으며, 이는 다른 날짜에도 비슷한 경향을 보이고 있다.
- 첫째, 개발된 수치적분기는 GPS 위성의 고도를 감안했을 때 마이크로미터 수준의 정확도로 수치적분이 가능하다. 또한 24시간 궤도의 중앙을 초기값으로 정하고 양방향으로 적분할 수 있도록 개발함으로써 위성 궤도의 전파 오차를 최소화할 수 있다.
후속연구
- 이와 같은 사실은 태양복사압 모델에서 1주기에 해당하는 요소만 포함한 결과로서 보다 정확한 모델링을 위해서는 2주기 항을 포함시킬 필요가 있을 것으로 판단된다. 그러나 추가적인 미지수 도입을 위해서는 미지수 사이의 상관관계에 대한 연구가 선행되어야 할 것으로 판단된다.
- 그러나 본 논문에서 적용한 태양복사압 모델 ECOMe 궤도 1주기에 대한 경험적 모델만을 포함하고 있어서 결정된 위성궤도의 잔차에서 2주기에 해당하는 오차를 분명하게 보여주고 있다. 따라서 위성궤도 미지수의 확장에 대한 추가적인 연구가 필요할 것으로 판단된다.
- 이는 각 성분별 잔차에 대한 Fourier 스펙트럼을 계산하면 더욱 분명하게 확인할 수 있다(그림 8; 원으로 표시한 부분). 이와 같은 사실은 태양복사압 모델에서 1주기에 해당하는 요소만 포함한 결과로서 보다 정확한 모델링을 위해서는 2주기 항을 포함시킬 필요가 있을 것으로 판단된다. 그러나 추가적인 미지수 도입을 위해서는 미지수 사이의 상관관계에 대한 연구가 선행되어야 할 것으로 판단된다.
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