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가설 설정
- 시계열 모형에서 결측값 대체방법을 살펴보기 위해 시계열 &는 정상시 계열이라고 가정하자.
- 11)의 ZT과 ZT의 최적 특성을 실제로 비교할 수 없다는 빈도학파(frequentist) 관점에서는 논쟁의 여지가 있다. 최우추 정량 ZT은 결측값 ZT를 고정된 모수로 간주하는 가정 하에 (2.6)에 의해 MSE(ZT)를 얻는다. 반면 추정량 ZT는 ZT을 (2.
제안 방법
- 따라서 본 논문에서는 16개 시도 자료를 8개의 도별자료로 재분류하여 공간에 대한 특성을 고정하여 분석하였다. 결측값이 제외된 Mumps자료를 이용하여 모형 식별과 모수를 추정하고 그에 따라 앞에서 추정된 모수를 사용하여 언급한 두 가지 추정 방법을 통해서 결측값을 추정하였으며 또한 추정의 정도를 비교하였다. 또, 실제 데이터를 이용하여 추정된 결측값을 대체한 후에 예측력을 비교하였다.
- 실증분석 사례로 사용된 자료는 한국 질병관리본부에서 제2군 전염병으로 관리하고 있는 Mumps자료로써, 시간과 공간에 따라 전염성이 매우 강한 특징을 가지고 있다. 따라서 본 논문에서는 16개 시도 자료를 8개의 도별자료로 재분류하여 공간에 대한 특성을 고정하여 분석하였다. 결측값이 제외된 Mumps자료를 이용하여 모형 식별과 모수를 추정하고 그에 따라 앞에서 추정된 모수를 사용하여 언급한 두 가지 추정 방법을 통해서 결측값을 추정하였으며 또한 추정의 정도를 비교하였다.
- 결측값이 제외된 Mumps자료를 이용하여 모형 식별과 모수를 추정하고 그에 따라 앞에서 추정된 모수를 사용하여 언급한 두 가지 추정 방법을 통해서 결측값을 추정하였으며 또한 추정의 정도를 비교하였다. 또, 실제 데이터를 이용하여 추정된 결측값을 대체한 후에 예측력을 비교하였다.
- 모형 식별은 자기 상관함수(Autocorrelation Function: ACF)와 편차자기 상관함수(Partial Autocorrelation Function: PACF) 등의 감소 패턴을 보면서 차수를 식별하였고 AIC, BIC등을 통해 모형을 선택하였다. 이에 8개 도의 식별된 모형과 모수 추정 결과는 표 1과 같다.
- 그러나 최적 추정량처럼 조건부 기대값인지 사후 분포의 평균 인지는 분석가의 선택에 달려 있다. 본 논문에서는 이 두 방법들을 사례 연구를 통해 비교해 보았다.
- 본 논문은 실제 시계열 자료를 사용하여 동일한 결측값을 최우주 정방법과 확률변수 방법을 이용하여 대체하고 ARMA모형에 적합시켜 두 방법에 따른 예측 결과를 비교 분석하였다. 실증분석 사례로 사용된 자료는 한국 질병관리본부에서 제2군 전염병으로 관리하고 있는 Mumps자료로써, 시간과 공간에 따라 전염성이 매우 강한 특징을 가지고 있다.
- 본 논문의 구성은 2절에서 최우추정방법과 확률변수 방법으로 결측값을 대체하는 방법을 비교 설명하였고, 3절에서는 사례연구로써 Mumps자료에 대해 결측값을 추정하여 추정의 정도를 비교하고, 4절에서는 각 방법에 대한 도별 Mumps자료에 대한 월별 예측력을 비교하였고 5절에서는 결론 및 향후 연구 과제를 제시하였다.
- 여기서 한국의 Mumps 자료는 8개 도로 재분류하였다. 사용된 Mumps 자료는 연속성 자료가 아닌 빈도 자료로 Poisson 분포를 따르는 변수이므로, 원래의 자료를 분산안정화변환(여기서, #)과 12차 계절차분을 취한 후 정상시 계열이 되었고, 이 자료를 정규분포로 근사시키 기 위해 각 도별로 평균과 표준편차를 구해 자료를 표준화하였다. 여기서 2005년 5월 자료가 결측값이 고 2001 년 1월 ~ 2005년 12월 자료까지의 월별 자료만을 이용하여 모형을 추정, 결측값을 대체했고 나머지 자료(2006년 1 월 ~ 2006년 9월)는 예측력을 비교하는 데 사용했다.
- 실제로 완전한 관찰 값은 결측값과 측정값의 합으로 생각해야 한다. 즉, 결측 자료 또는 결측값이 존재하더라도 자료 분석 방법은 달라지지 않고 전통적인 방법을 이용하여 분석한다.
대상 데이터
- 본 논문에 사용된 Mumps 자료는 추정에 2001년 1월~ 2005년 12월 자료까지의 월별 자료를 활용하였고 나머지 자료(2006년 1월~ 2006년 9월)는 예측력을 파악하는 데 사용하였다. 최우추정법과확률변수방법에 의해결측값을 대체한 후의 모형의 예측력 비교는 아래의 예측 오차 제곱합(Sum of square for forecasting error: SSF)을 사용하였고 8개 도의 Mumps 월별 자료에 대한 관측값과 예측값의 비교 결과는 표4와 같다.
- 본 논문에서 사용된 Mumps는 한국질병관리본부(Korea Center for Disease Control and Prevention)에서 2001년 1 월부터 2006년 9월까지 전염성 감시체계로 전산보고된 16개 시도의 월별 Mumps 자료이다. 여기서 한국의 Mumps 자료는 8개 도로 재분류하였다.
- 대체하고 ARMA모형에 적합시켜 두 방법에 따른 예측 결과를 비교 분석하였다. 실증분석 사례로 사용된 자료는 한국 질병관리본부에서 제2군 전염병으로 관리하고 있는 Mumps자료로써, 시간과 공간에 따라 전염성이 매우 강한 특징을 가지고 있다. 따라서 본 논문에서는 16개 시도 자료를 8개의 도별자료로 재분류하여 공간에 대한 특성을 고정하여 분석하였다.
- 사용된 Mumps 자료는 연속성 자료가 아닌 빈도 자료로 Poisson 분포를 따르는 변수이므로, 원래의 자료를 분산안정화변환(여기서, #)과 12차 계절차분을 취한 후 정상시 계열이 되었고, 이 자료를 정규분포로 근사시키 기 위해 각 도별로 평균과 표준편차를 구해 자료를 표준화하였다. 여기서 2005년 5월 자료가 결측값이 고 2001 년 1월 ~ 2005년 12월 자료까지의 월별 자료만을 이용하여 모형을 추정, 결측값을 대체했고 나머지 자료(2006년 1 월 ~ 2006년 9월)는 예측력을 비교하는 데 사용했다.
- 여기서 한국의 Mumps 자료는 8개 도로 재분류하였다. 사용된 Mumps 자료는 연속성 자료가 아닌 빈도 자료로 Poisson 분포를 따르는 변수이므로, 원래의 자료를 분산안정화변환(여기서, #)과 12차 계절차분을 취한 후 정상시 계열이 되었고, 이 자료를 정규분포로 근사시키 기 위해 각 도별로 평균과 표준편차를 구해 자료를 표준화하였다.
데이터처리
- 최우추정법과확률변수방법에 의해결측값을 대체한 후의 모형의 예측력 비교는 아래의 예측 오차 제곱합(Sum of square for forecasting error: SSF)을 사용하였고 8개 도의 Mumps 월별 자료에 대한 관측값과 예측값의 비교 결과는 표4와 같다.
이론/모형
- Dunsmuii과 Robinson (1981)은 결측값이 존재할 때 결측값 대체방법으로 우도함수를 이용한 최우 추정 방법을 제안했고, Pena와 Tiao (1991)은 결측값 대체방법으로 확률변수 방법을 제안하여 최우 추정 방법과 비교하였다. 두 연구 모두 ARMA모형을 통해 연구되었다.
성능/효과
- 결과를 살펴보면, 8개 도의결 측값 추정 결과 강원, 전남의 경우는 같았고, 충북을 제외한 나머지 5개 지역의 경우 확률변수 방법이 관측값에 좀 더 가깝게 추정되었음을 알 수 있다. 추정된 결측값을 대체하여 완비자료에 대한 모수 추정을 한 결과는 표3과 같다.
- 본 논문에서는 시계열자료에서 존재하는 결측값을 대체하는 방법으로 최우추정방법과 베 이지 안방 법의 확률변수 방법을 이용해 8개 도의 Mumps 자료에 대해 각각 1개의 결측값을 만들고 두 가지 추정 방법에 따른 결측값을 추정하여 그 추정의 정도를 비교한 결과 대부분의 지역에서 확률 변수방법이 추정의 정도가 더 좋았으며, 두 가지 방법에 의해 추정된 결측값을 각각 대체한 후 추가적으로 미래 9개월에 대한 예측력을 예측 오차제곱합(SSF)를 구하여 비교한 결과 역시 확률변수 방법이 좋은 예측력을 보임을 알 수 있었 다.
- 예측 오차 제곱합(SSF)를 비교해보면 강원, 전남은 동일한 예측값을 보였고, 그 이외의 지역에 대한 예측력의 결과를 보면 확률변수 방법이 최우추정방법에 비해 더 좋은 예측력을 보여주고 있음을 알 수 있다.
후속연구
- 본 논문에서는 공간을 고정해 놓고 시간만을 고려한 선형시계열모형 인 ARMA모형에 대해서 결측치 대체방법을 살펴보았고, 추후 연구계획으로 ARMA모형을 포함하는 보다 폭넓은 비선형 시계열 모형 인 중선형모형(Bilinear Model)과 시간과 공간을 동시에 고려한 공간시계열 중선형모형(Space-Time Bilinear Model)으로 확장하여 시간과 공간에 종속되어 있는 결측치의 대체방법에 대해 연구할 계획 이다.
- 결측값을 고정된 모수로 간주하는 것은 모순적 인 것으로 생각될 수 있다. 시계열 분석에서 정상성을 만족한다면 결측값을 확률 변수로 간주하는 것이 적용하기에 더 일반적일 것이다. 그러나 최적 추정량처럼 조건부 기대값인지 사후 분포의 평균 인지는 분석가의 선택에 달려 있다.
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