[논문]동적 시스템의 감쇠행렬 추정

이건명; 김경주; 주영호

doi:10.5050/ksnvn.2009.19.10.1021

Abstract ▼ AI-Helper

Finite element models of dynamic systems can be updated in two stages. In the first stage, mass and stiffness matrices are updated neglecting damping. In the second stage, a damping matrix is estimated with the mass and stiffness matrices fixed. Methods to estimate a damping matrix for this purpose ...

Finite element models of dynamic systems can be updated in two stages. In the first stage, mass and stiffness matrices are updated neglecting damping. In the second stage, a damping matrix is estimated with the mass and stiffness matrices fixed. Methods to estimate a damping matrix for this purpose are proposed in this paper. For a system with proportional damping, a damping matrix is estimated using the modal parameters extracted from the measured responses and the modal matrix calculated from the mass and stiffness matrices from the first stage. For a system with non-proportional damping, a damping matrix is estimated from the impedance matrix which is the inverse of the FRF matrix. Only one low or one column of the FRF matrix is measured, and the remaining FRFs are synthesized to obtain a full FRF matrix. This procedure to obtain a full FRF matrix saves time and effort to measure FRFs.

주제어

AI 본문요약
AI-Helper

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문제 정의

FRF 행렬의 모든 요소를 측정하여야 하는 번거로움을 피하기 위하여 본 논문에서는 FRF 행렬의 한 행이나 열만을 측정하고, 이로부터 나머지 요소들을 예측하는 방법을 고안하였다. 하나의 FRF는 다음 식과 같이 모드매개변수의 식으로 나타낼 수 있다.
이 논문에서는 2 단계로 유한요소모형을 개선하는 방법을 제안하였다. 첫 단계에서는 감쇠를 무시하고 유한요소모형의 질량과 강성행렬을 최적화 기법을 이용하여 개선한다.
비례감쇠가 아닌 경우에는 FRF행렬의 역행렬인 임피던스 행렬을 이용하여 감쇠행렬을 추정한다. 이 논문에서는 감쇠를 추정하는 이 두 가지 방법의 타당성과 문제점을 시뮬레이션 데이터를 사용하여 고찰하고자 한다.
첫 단계에서는 감쇠를 무시하고 계의 질량행렬과 강성행렬을 개선하고, 두 번째 단계에서는 첫 단계에서 구해진 질량, 강성행렬을 고정시키고 감쇠행렬을 구한다. 이 논문에서는 이러한 2단계 모형 개선과정의 두 번째 단계에 적용할 수 있는 감쇠행렬 추정 방법을 제안하였다.

가설 설정

이 새로운 계의 FRF를 구하고, 계가 비례감쇠라는 가정하에이 FRF로부터 모드매개변수를 추출한 다음 식 (4)를 사용하여 감쇠행렬을 구하였다. 이 때에도 계의 질량행렬과 강성행렬은 정확한 값을 알고 있다고 가정하였다. 새로운 계의 원래의 감쇠행렬과 추정된 감쇠행렬을 아래에 나타내었다.

제안 방법

노이즈가 이 감쇠행렬 추정 방법의 정확도에 미치는 영향을 고찰하기 위하여 FRF 행렬을 식 (5)를 이용하여 구하는 대신 시뮬레이션을 수행하여 구하였다. Fig.
이 감쇠행렬 추정 방법을 실제 계인 앞에서 다룬 외팔보에 적용하였다. 모형개선 첫 단계에서 추정한 질량행렬과 강성행렬, 그리고 이 감쇠행렬 추정 방법을 사용하여 추정한 감쇠행렬로부터 예측한 FRF를 Fig. 6에 나타내고, 측정한 FRF와 비교하였다. Fig.
비례감쇠가 아닌 계에 위의 감쇠행렬 추정 방법을 적용하였을 때의 정확도를 고찰하기 위하여 이 방법을 비례감쇠가 아닌 계에 적용하였다. Fig.
적용 과정 및 결과는 이 논문의 주된 관심사가 아니므로 간략하게 설명하겠다. 외팔보의 FEA를 위하여 외팔보를 같은 길이의 5개의 보요소로 나누었다. 이와 같이 하면 외팔보는 5개의 절점을 갖게 되고, 각 절점은 병진자유도와 회전자유도를 가지므로 외팔보는 총 10개의 자유도를 갖게 된다.
위에서 설명한 유한요소모형 개선 방법을 길이 0.27 m, 폭 0.034 m, 두께 0.0015 m, 밀도 7850 kg/m³의 강철 외팔보에 적용하였다. 적용 과정 및 결과는 이 논문의 주된 관심사가 아니므로 간략하게 설명하겠다.
또 다른 접근방법은 Lin⁽⁴⁾과 Imregun⁽⁵⁾이 개발한 주파수응답함수(FRF : frequency response function)법이 있다. 이 접근방법에서는 측정한 FRF와 유한요소모형으로부터 예측한 FRF를 일치시키기 위해서 요소수 정계수를 계산하고, 이 요소수정계수를 요소의 강성 행렬과 질량행렬에 곱함으로써 유한요소모형을 개선한다.

대상 데이터

이와 같이 하면 외팔보는 5개의 절점을 갖게 되고, 각 절점은 병진자유도와 회전자유도를 가지므로 외팔보는 총 10개의 자유도를 갖게 된다. 외팔보의 실험데이터는 고정단으로부터 두 번째 절점에 가속도계를 부착하고, 각 절점에 충격해머로 충격력을 가하여 측정한 5개의 FRF이다. 측정 주파수 범위는 0~1200 Hz이고, 데이터 사이의 주파수 간격은 1 Hz이다.

데이터처리

두 감쇠행렬을 비교하면 그 차이가 작지 않음을 알 수 있다. 그리고 이 계의 원래의 FRF와 추정된 감쇠행렬을 사용하여 예측한 FRF를 Fig. 5에서 비교하였다. 이상의 결과로써 이 감쇠행렬 추정 방법을 비례감쇠가 아닌 경우에 적용하면 추정 결과에 큰 오차가 있을 수 있으므로 비례감쇠가 아닌 경우에 적용할 수 있는 다른 감쇠행렬 추정 방법이 필요함을 확인할 수 있다.

이론/모형

노이즈가 이 감쇠행렬 추정 방법의 정확도에 미치는 영향을 고찰하기 위하여 FRF 행렬을 식 (5)를 이용하여 구하는 대신 시뮬레이션을 수행하여 구하였다. Fig. 3의 질량 m₁에 sweep sinewave 형태의 힘이 작용할 때의 각 질량의 응답을 Runge-Kutta 법으로 구하고, 힘과 응답 데이터에 FFT를 취한 다음, 그 비로서 FRF를 구하였다. 이렇게 구한 FRF가 오차를 포함하도록 하기 위하여 averaging, windowing 등의 신호처리를 수행하지 않았다.
4와 같다. 모드매개변수는 complex exponential법을 이용하여 FRF로부터 추출하여 Table 2에 나열하였다. 모형개선의 첫 단계에서 정확한 질량행렬과 강성행렬이 구하여졌다는 가정하에, 식 (4)를 이용하여 추정한 감쇠행렬은 다음과 같다.
최적화 기법을 적용하기 위하여 목적함수는 FEA로 예측한 응답과 실험으로 측정한 응답의 차이로 이루어진다. 응답의 형태로 고유진동수와 모드형을 선택하였고, 모드형 사이의 차이는 MAC(modal assurance criterion)값을 이용한다. 이때 목적함수는 다음 식과 같이 나타난다.

성능/효과

이 때 노이즈 레벨은 노이즈의 rms값과 원래 신호의 rms값의 비로서 정의한다. 노이즈를 포함한 데이터에 본 감쇠행렬 추정 방법을 적용하여 추정한 감쇠행렬의 추정 오차는 32.1 %나 되었다. 이로서 이 감쇠행렬 추정 방법은 노이즈에 매우 민감한 것을 알 수 있다.

후속연구

이 감쇠계수 추정 방법을 비례감쇠가 아닌 실제계에 적용하여 그 특성을 고찰하는 것은 향후 연구에서 수행할 예정이다. 비례감쇠계는 비례감쇠가 아닌 계의 특별한 경우이므로 향후 연구를 통하여 이 추정 방법이 개선이 되면 이 방법을 비례감쇠계의감쇠행렬 추정에도 적용할 수 있을 것이다.
이 감쇠계수 추정 방법을 비례감쇠가 아닌 실제계에 적용하여 그 특성을 고찰하는 것은 향후 연구에서 수행할 예정이다. 비례감쇠계는 비례감쇠가 아닌 계의 특별한 경우이므로 향후 연구를 통하여 이 추정 방법이 개선이 되면 이 방법을 비례감쇠계의감쇠행렬 추정에도 적용할 수 있을 것이다.
5에서 비교하였다. 이상의 결과로써 이 감쇠행렬 추정 방법을 비례감쇠가 아닌 경우에 적용하면 추정 결과에 큰 오차가 있을 수 있으므로 비례감쇠가 아닌 경우에 적용할 수 있는 다른 감쇠행렬 추정 방법이 필요함을 확인할 수 있다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	주파수응답함수는 어떤 방식으로 유한요소모형을 개선하는가?	또 다른 접근방법은 Lin(4)과 Imregun(5)이 개발한 주파수응답함수(FRF : frequency response function)법이 있다. 이 접근방법에서는 측정한 FRF와 유한요소모형으로부터 예측한 FRF를 일치시키기 위해서 요소수 정계수를 계산하고, 이 요소수정계수를 요소의 강성 행렬과 질량행렬에 곱함으로써 유한요소모형을 개선한다.
	유한요소해석을 사용하여 예측한 응답과 실제 실험으로 측정한 응답 사이에는 차이가 있을 수 있으므로 이 두 응답을 일치시키기 위해 무엇을 개선하는 방법에 대해 연구를 수행하고 있는가?	요즘 동적 하중을 받는 복잡한 기계시스템이나 구조물의 응답을 예측하는 것은 설계단계에서 필수적이 되었으며, 이 목적을 위하여 유한요소해석(FEA : finite element analysis)이 널리 이용되고 있다. 그러나 이 방법을 사용하여 예측한 응답과 실제 실험으로 측정한 응답 사이에는 차이가 있을 수 있으므로 이 두 응답을 일치시키기 위하여 유한요소 모형을 개선하는 방법에 관한 연구가 활발히 수행되어왔다. 관련된 연구들은 참고문헌에 조사, 요약되어 있다(1,2).
	감도 해석은 어떻게 변수를 변화시키는가?	모형 개선(model updating)에의 접근 방법의 하나로 감도 해석(3)이 있다. 감도 해석에서는 모형의 응답, 예를 들면 고유값과 고유벡터의 개선변수(updating variable)에 대한 감도를 구하고, 이 감도에 따라서 개선변수를 변화시킨다. 또 다른 접근방법은 Lin(4)과 Imregun(5)이 개발한 주파수응답함수(FRF : frequency response function)법이 있다.

참고문헌 (11)

Mottershead, J. E. and Friswell, M. I., 1993, “Model Updating in Structural Dynamics : a Survey,” Journal of Sound and Vibration, Vol. 167, pp. 347-375

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Friswell, M. I. and Mottershead, J. E., 1995, “Finite Element Model Updating in Structural Dynamics,” Kluwer Academic Publishers, Massachusetts
Kim, S. Y. and Lee, D. H., 2006, “Identification of Fractional-derivative-model Parameters of Viscoelastic Materials Using an Optimization Technique,” Transactions of the Korean Society for Noise and Vibration Engineering, Vol. 16, pp. 1192-1200

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Lin, R. M. and Ewins, D. J., 1994, “Analytical Model Improvement Using Frequency Response Functions,” Mechanical Systems and Signal Processing, Vol. 8, pp. 437-458

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Imregun, M., Visser, W. J. and Ewins, D. J., 1995, “Finite Element Model Updating Using Frequency Response Function Data - I. Theory and Initial Investigation,” Mechanical Systems and Signal Processing, Vol. 9, pp. 187-202

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Lu, Y. and Tu, Z., 2004, “A Two-level Neural Network Approach for Dynamic FE Model Updating Including Damping,” Journal of Sound and Vibration, Vol. 275, pp. 931-952

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Lin, R. M. and Zhu, J., 2006, “Model Updating of Damped Structures Using FRF Data,” Mechanical Systems and Signal Processing, Vol. 20, pp. 2200-2218

상세보기
Minas, C. and Inman, D. J., 1988, “Correcting Finite Element Models with Measured Modal Results Using Eigenstructure Assignment Methods,” Proceedings of the 6th International Modal Analysis Conference, pp. 583-587
User's Guide(Version 3), 2004, Optimization Toolbox For Use with MATLAB, The MathWorks Inc., Natick, Massachusetts
Ewins, D. J, 1995, “Modal Testing : Theory and Practice,” Research Studies Press Ltd., Somerset, chap. 4
Ozgen, G. O. and Kim, J. H., 2009, “Error Analysis and Feasibility Study of Dynamic Stiffness Matrix-based Damping Matrix Identification,” Journal of Sound and Vibration, Vol. 320, pp. 60-83

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