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문제 정의
- 2002년에 개최된 한·일 월드컵의 조 편성 문제를 생각해 보자.
- 본 연구에서는 학교 수업 시간에 월드컵 축구의 예제를 통하여 확률·통계나 경우의 수를 설명할 수 있는 사례를 살펴보았다.
- 특히 월드컵 축구는 대회 시작 전의 조 추첨에서 우승팀 결정에 이르기까지 모든 단계가 경우의 수 및 확률·통계와 깊이 연관되어 있다. 본 연구에서는 확률분야의 경우 의 수 모형으로 설명할 수 있는 몇 가지의 스포츠 예제들을 월드컵 축구를 중심으로 소개한다. 또한 통계 모형을 이용한 시뮬레이션을 통해 2010 남아공 월드컵을 앞둔 시점이라 가정하고 본선 진출 팀 각각의 16강 진출 확률과 우승 확률을 계산하는 논리적 방법을 제안하였다.
- (1) 축구실력이라는 변수를 만들어 내는 과정을 생각하여 보라. 월드컵에 진출한 각국의 축구실력이 객관적으로 공정하게 평가되는 과정이 축구에 관련한 통계적인 변수들에 의해 결정된다는 사실을 다른 학생들과 함께 토론해 보라.
가설 설정
- 우선 (1)번 문제는 특별한 공식이 없고, 적절한 기준(예를 들면, 1위 팀의 승점)에 따라 경우를 나눈 뒤 끈기 있게 생각하여 풀 문제라고 생각한다. (2)번 문제에서는 (1)번의 결과와 순열을 고려해야 할 것이며, (3)번 문제에서는 (1)번의 결과와, 사물을 여러 그룹으로 나누는 경우의 수를 이용하면 될 것이다.
- p(|X − Y | > kσ)가 발생이 되면 승부가 결정되고 그렇지 않으면 무승부가 난다는 가정을 한다.
- 이 확률변수는 어떤 확률변수인가? 구체적으로 답하라. 두 확률변수는 독립임을 가정하라. 만약 독립이 아님을 가정하게 되는 경우 이는 실제 어떤 의미인가?
- 나이지리아가 한국과 경기를 했을 때 지거나 비길 확률이 얼마나 되는지, 혹은 아르헨티나가 그리스와 경기를 했을 때 이길 확률과 같은 값을 구할 수 있다. 물론 이 경우는 www.fifa.com 에서 발표한 점수를 각 팀의 평균 실력으로 가정한다.
- 이런 경과를 이변이라 칭한다. 배정된 4개 팀 중 최상위 팀이 최하위 팀의 평균 점수까지 떨어질 수 있다고 가정하자. 그렇다면 σ에 대한 추정값을 짐작할 수 있겠는가? 기초통계학에서 배운 정규분포의 성질에 의거한 경험의 규칙(rule of thumb)에 따르면 평균을 중심으로 ±2σ 혹은 ±3σ에는 전체 자료의 95% 내지 99%가 포함된다는 사실을 기억하라.
- 그리고 두 팀의 평균 축구실력은 동일하다. 즉, 평균과 표준편차가 같은 정규분포라고 가정한다. 그렇다면 두 팀 간의 경기결과는 새로운 확률변수로 탄생이 된다.
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