수요와 조도계수의 불확실성을 고려한 상수도관망의 최적설계 Optimal Design of Water Distribution System considering the Uncertainties on the Demands and Roughness Coefficients원문보기
상수도관망의 최적설계는 단목적함수와 고정된 수리학적 변수로 구성된 비용최소화의 문제로 시작되었다. 하지만, 미래의 불확실한 수요량의 변동과 같이 상수도관망 내에 존재하는 여러 불확실성을 고려하여 설계하는 것이 실제 상수도관망의 거동을 보다 적절히 예측하는 것이다. 따라서 상수도관망 내 존재하는 불확실성을 양적으로 고려하는 다양한 방법이 연구되어 상수도관망의 최적설계에 반영되었고, 다목적함수를 사용한 최적화문제도 다루게 되었다. 본 연구에서는 관망의 절점에서의 수요량과 관의 조도계수를 불확실성을 가진 변수로 두고, 비용 최소화와 관망의 강건성 (Robustness)을 최대화 하는 두 가지 목적함수를 가진 다목적함수 최적화 문제를 다루었다. 최적화 과정은 비용최소화와 불확실성을 고려한 최종 최적화의 두 과정으로 나뉜다. 각 절점에서의 수요량과 관의 조도계수는 베타확률밀도함수 (Beta PDF)를 사용, Latin Hypercube 샘플링 방법으로 불확실성을 고려하였고, 다목적함수의 최적화는 유전자 알고리듬 (Multi-objective Genetic Algorithms, MOGA)을 사용하였다. 제안된 방법은 New York Tunnels이라는 실제 상수도관망에 적용하여 적용성을 검증 하였고 그 결과를 분석하였다. 다목적 최적화 문제에서 최적화가 진행될 수 록 초기 값에 모여 있던 점들이 그 점 주위를 시작으로 해 공간에 최적 해를 찾아 오른쪽 아래 부분으로 탐색해 나가는 것을 확인할 수 있었고 최적설계의 해는 해 공간에서 Pareto Front를 구성하며 파레토 최적해를 구하였다.
상수도관망의 최적설계는 단목적함수와 고정된 수리학적 변수로 구성된 비용최소화의 문제로 시작되었다. 하지만, 미래의 불확실한 수요량의 변동과 같이 상수도관망 내에 존재하는 여러 불확실성을 고려하여 설계하는 것이 실제 상수도관망의 거동을 보다 적절히 예측하는 것이다. 따라서 상수도관망 내 존재하는 불확실성을 양적으로 고려하는 다양한 방법이 연구되어 상수도관망의 최적설계에 반영되었고, 다목적함수를 사용한 최적화문제도 다루게 되었다. 본 연구에서는 관망의 절점에서의 수요량과 관의 조도계수를 불확실성을 가진 변수로 두고, 비용 최소화와 관망의 강건성 (Robustness)을 최대화 하는 두 가지 목적함수를 가진 다목적함수 최적화 문제를 다루었다. 최적화 과정은 비용최소화와 불확실성을 고려한 최종 최적화의 두 과정으로 나뉜다. 각 절점에서의 수요량과 관의 조도계수는 베타확률밀도함수 (Beta PDF)를 사용, Latin Hypercube 샘플링 방법으로 불확실성을 고려하였고, 다목적함수의 최적화는 유전자 알고리듬 (Multi-objective Genetic Algorithms, MOGA)을 사용하였다. 제안된 방법은 New York Tunnels이라는 실제 상수도관망에 적용하여 적용성을 검증 하였고 그 결과를 분석하였다. 다목적 최적화 문제에서 최적화가 진행될 수 록 초기 값에 모여 있던 점들이 그 점 주위를 시작으로 해 공간에 최적 해를 찾아 오른쪽 아래 부분으로 탐색해 나가는 것을 확인할 수 있었고 최적설계의 해는 해 공간에서 Pareto Front를 구성하며 파레토 최적해를 구하였다.
The optimal design of water distribution system have started with the least cost design of single objective function using fixed hydraulic variables, eg. fixed water demand and pipe roughness. However, more adequate design is accomplished with considering uncertainties laid on water distribution sys...
The optimal design of water distribution system have started with the least cost design of single objective function using fixed hydraulic variables, eg. fixed water demand and pipe roughness. However, more adequate design is accomplished with considering uncertainties laid on water distribution system such as uncertain future water demands, resulting in successful estimation of real network's behaviors. So, many researchers have suggested a variety of approaches to consider uncertainties in water distribution system using uncertainties quantification methods and the optimal design of multi-objective function is also studied. This paper suggests the new approach of a multi-objective optimization seeking the minimum cost and maximum robustness of the network based on two uncertain variables, nodal demands and pipe roughness uncertainties. Total design procedure consists of two folds: least cost design and final optimal design under uncertainties. The uncertainties of demands and roughness are considered with Latin Hypercube sampling technique with beta probability density functions and multi-objective genetic algorithms (MOGA) is used for the optimization process. The suggested approach is tested in a case study of real network named the New York Tunnels and the applicability of new approach is checked. As the computation time passes, we can check that initial populations, one solution of solutions of multi-objective genetic algorithm, spread to lower right section on the solution space and yield Pareto Optimum solutions building Pareto Front.
The optimal design of water distribution system have started with the least cost design of single objective function using fixed hydraulic variables, eg. fixed water demand and pipe roughness. However, more adequate design is accomplished with considering uncertainties laid on water distribution system such as uncertain future water demands, resulting in successful estimation of real network's behaviors. So, many researchers have suggested a variety of approaches to consider uncertainties in water distribution system using uncertainties quantification methods and the optimal design of multi-objective function is also studied. This paper suggests the new approach of a multi-objective optimization seeking the minimum cost and maximum robustness of the network based on two uncertain variables, nodal demands and pipe roughness uncertainties. Total design procedure consists of two folds: least cost design and final optimal design under uncertainties. The uncertainties of demands and roughness are considered with Latin Hypercube sampling technique with beta probability density functions and multi-objective genetic algorithms (MOGA) is used for the optimization process. The suggested approach is tested in a case study of real network named the New York Tunnels and the applicability of new approach is checked. As the computation time passes, we can check that initial populations, one solution of solutions of multi-objective genetic algorithm, spread to lower right section on the solution space and yield Pareto Optimum solutions building Pareto Front.
* AI 자동 식별 결과로 적합하지 않은 문장이 있을 수 있으니, 이용에 유의하시기 바랍니다.
문제 정의
하지만 이전까지 흔히 사용해 왔던 정규분포 또는 균일분포를 사용한 추정은 확률밀도함수의 범위가 fC에서 00로 현실에서는 거의 일어나기 힘든 각 자료들의 극치값이 선택될 수 있어 모형의 경제적인 설계를 저해하는 요인으로 작용하기도 하였다. 따라서 본 연구에서는 베타분포를 이용하여 수요량과 조도계수의 발현 가능 구간을 유한하게 지정, 합리적인 구간의 값을 사용할 수 있도록 하였다. 또한 모수 a, b의 변환으로 지점에서의 수요량과 관의 조도 계수의 변화 양상에 적합한 분포형을 획득할 수 있도록 하였다.
즉, 더 큰 o를 가지면 그 네트워크는 더 큰 강건성을 가진다. 따라서 제안된 접근법의 목적은 최대의 a 값을 구하는데 있다.
구성하였다. 목적함수는 비용 최소화와 상수도관망의 강건성(Robustness}의 최대화에 대한 것이었다. 여기서 강건성은 주로 불확실성 모델을 구축할 때 외란에 민감하지 않은 성질을 나타내는 것으로 항공기 등의 최적 설계에 자주 사용되는 용어이다 (김주현, 2008).
본 연구는 불확실성을 고려하며 비용최소화와 네트워크의 강건성을 최대화하는 두 개의 목적함수로 구성된 상수도 관망의 최적설계에 대한 보다 발전된 접근법을 제시하였다. 네트워크의 강건성과 상수도관망의 불확실한 상태의 변화를 반영하기 위해 샘플링 방법이 사용되었고, 샘플링은 구성된 시나리오를 바탕으로 진행되었다.
가설 설정
본 연구에서는 지점의 수요량과 관의 조도계수가 베타확률 밀도함수 (Beta PDF)를 가지는 불확실성이 존재하는 자료라고 가정하였다. 여기서 베타분포(Beta distribution)은 구간 (0, 1)상의 연속형 확률변수의 분포를 표현하는데 사용될 수 있으며, 베타분포의 모수 a, b의 값에 따라 구간 (0, 1) 상에여러 가지 분포형태를 나타낼 수 있다.
본 연구에서도 절점에서의 수요량과 관의 조도계수를 불확실성을 가진 변수로 가정하였고 목적함수 또한 확정론적 모형과는 달리 두 가지의 목적함수를 동시에 만족시키도록 모형을 구성하였다. 목적함수는 비용 최소화와 상수도관망의 강건성(Robustness}의 최대화에 대한 것이었다.
제안 방법
예를 들어, 지점에서의 수요량은 일정 수치를 기준으로 실제 재현 값이 산포되어 있는 반면, 관의 조도계수는 관의 매설 이후 일정하게 감소한다. 그러므로 상한값과 하한값의 범위를 설정할 수 있는 베타함수를 이용하여 지점에서의 수요량과 관의 조도계수의 양상의 모의하고 현실적인 재현 범위를 제공하였다.
예를 들어, 본 논문에서는 각관 조합이 가지는 비용과 매개변수 a에 따라 다음 그림 3과 같은 2차원 평면상에 각 인구의 위치를 나타낸 후 식 (10) 에 의해 순위를 결정한다. 다목적 유전자 알고리듬에서 재생산은 위의 과정에서 정해진 순위에 의해 높은 순위의 인구가 선택될 확률이 높도록 구성하였다. 본 연구에서 보다 쉬운 해 공간과 파레토 프론트의 이해를 위해 y을 o로 두는 대신 -a로 두어 위치시킨 점의 왼쪽 아래에 다른 점이 존재할 경우, 그 점은 지배당한 것으로 본다.
네트워크의 강건성과 상수도관망의 불확실한 상태의 변화를 반영하기 위해 샘플링 방법이 사용되었고, 샘플링은 구성된 시나리오를 바탕으로 진행되었다. 두 개의 불확실성을 가진 변수인 절점에서의 수요량과 관의 조도계수는 범위가 일정하게 주어지는 베타확률밀도함수에서 샘플링 되어 일정한 수치를 기준으로 산포되어 있는 지점 수요량의 특성과 매설 이후 일정하게 감소하는 관의 조도계수 각각의 특성을 적절히 모의하였다. 샘플링 방법으로는 MC 방법의 대안으로 개발되었던 LH 샘플링 방법이 사용되어 보다 적은 샘플링 횟수로 보다더 다양한 상수도관망 내 특성 변화를 모의할 수 있었고, 기존의 샘플링 방법에 비해 모의의 효율성을 증진 시켰다.
두 번째 단계에서는 첫 번째 단계에서 산출된 확정론적 결과를 초기조건으로 하는 비용최소화와 네트워크의 강건성을 최대화하는 두 가지 목적함수를 가진 상수도 관망의 최적화문제를 해결한다. 두 번째 단계에서 고려되는 불확실성은 지점에서의 수요량과 관의 조도 계수이며, 베타 함수 (Beta function)을 이용하여 상한치와 하한치 범위를 제한한 후, LH 방법으로 샘플링하여 불확실성을 고려한다. 또한 계산시간 단축을 위해 네트워크의 강건성을 중요절점 (critical node)만을 대상으로 산정 하였다.
최적설계의 문제는 먼저 압력수두와 유속에 대한 제한조건을 가진 상수도관망 비용최소화의 단 목적 함수로 해를 구하여 그 결과를 초기조건으로 최적해의 파레토 최적해를 찾는 상수도 관망의 비용최소화와 강건성의 최대화의 다목적 함수의 문제로 접근하였다. 두 번째 단계에서는 본 연구의 목적과 같이 불확실성을 고려한 상태에서 두 목적함수를 최적화하였다.
따라서, 본 연구에서는 상수도관망 내 지점 수요량과 관의 조도 계수가 불확실성을 가진다는 조건을 고려하여 시스템의 최소비용과 강건성의 최대화를 위한 다목적 함수를 2단계 모의를 통해 최적화하였다. 첫 번째 단계에서는 계산시간을 줄이기 위해 불확실성을 고려하지 않은 확정론적인 비용 최소화 최적 설계를 시도한다.
LH 샘플링 방법은 확률밀도함수로부터 동일한 확률로 고려한 n개의 중복되지 않은 구간으로 나누어 각 구간에서 n개의 다른 값을 추출해 낸다. 또한 LH 샘플링 방법으로 샘플링할 때 미리 구성된 시나리오에 의해 어느 구간에서 값을 추출해낼 것인지를 결정한다. LH방법의 사용으로 MC방법보다 적은 횟수의 샘플링으로 충분한 개수의 변수를 얻을 수 있어 계산시간을 효율적으로 줄일 수 있다.
두 번째 단계에서 고려되는 불확실성은 지점에서의 수요량과 관의 조도 계수이며, 베타 함수 (Beta function)을 이용하여 상한치와 하한치 범위를 제한한 후, LH 방법으로 샘플링하여 불확실성을 고려한다. 또한 계산시간 단축을 위해 네트워크의 강건성을 중요절점 (critical node)만을 대상으로 산정 하였다. 제안된 모형은 New York Tumnels 네트워크(University of Exeter, Centre for Water Systems)에 적용하여 그 적용성을 입증하였다.
따라서 본 연구에서는 베타분포를 이용하여 수요량과 조도계수의 발현 가능 구간을 유한하게 지정, 합리적인 구간의 값을 사용할 수 있도록 하였다. 또한 모수 a, b의 변환으로 지점에서의 수요량과 관의 조도 계수의 변화 양상에 적합한 분포형을 획득할 수 있도록 하였다. 예를 들어, 지점에서의 수요량은 일정 수치를 기준으로 실제 재현 값이 산포되어 있는 반면, 관의 조도계수는 관의 매설 이후 일정하게 감소한다.
본 연구에서는 두 가지 형태의 베타분포의 확률밀도함수를 사용하였다. (1) 지점에서의 수요량 샘플링을 위해서 수요량에 대한 베타 확률 밀도함수는 모수 a, b를 모두 4.
본 연구에서는 먼저 불확실성을 고려하지 않은 상태에서 관의 직경을 결정변수로 하고 각 절점에서의 압력이 최소요구압력보다 높다는 제약조건을 이용하여 최소비용을 결정하는 최적화 모형을 구성하였다. 전형적인 최소비용 설계의 목적함수는 지수승의 형태로 관경(D)과 관의 길이(L)를 독립변수로 가진다.
있다. 수리학적 값의 계산과 유전자 알고리듬을 이용한 최적화는 Visual Basic 고, US Environmental Protection Agency에서 개발한 상수도관망 프로그램인 EPANET을 연동하여 실행하였다. 이 과정에서 손실 수두의 계산은 Hagen-Williams 공식을 이용하였으며, 네트워크 내 관은 Hazen-Williams C 계수가 100인 주철관이다.
실제 관경으로 구성되어 있다. 재생산 방법은 순위에 의한 선택을 하였고, 교차 방법은 다점 교차로 85%의 교차 비율로 돌연변이 비율은 5%로 구성되었다.
통해 최적화하였다. 첫 번째 단계에서는 계산시간을 줄이기 위해 불확실성을 고려하지 않은 확정론적인 비용 최소화 최적 설계를 시도한다. 두 번째 단계에서는 첫 번째 단계에서 산출된 확정론적 결과를 초기조건으로 하는 비용최소화와 네트워크의 강건성을 최대화하는 두 가지 목적함수를 가진 상수도 관망의 최적화문제를 해결한다.
첫 번째 단계의 단 목적 비용최소화 문제의 해를 초기조건으로 사용하는 효용성에 대한 확인을 해보기 위해, 초기조건으로 입력된 값들을 붉은 색 원으로 표시하였다. -a가 최대가 되는 해, 즉 가장 낮은 강건성을 가지는 해는 가장 저렴한 비용의 강건성이 낮은 해이고 이는 첫 번째 단계의 비용 최소화 문제의 해이다.
하지만 제안된 접근법의 혁신적인 측면은 최적설계의 단계가 두 단계로 나뉘어 보다 효율적인 설계방법을 제공한다는 것이다. 최적설계의 문제는 먼저 압력수두와 유속에 대한 제한조건을 가진 상수도관망 비용최소화의 단 목적 함수로 해를 구하여 그 결과를 초기조건으로 최적해의 파레토 최적해를 찾는 상수도 관망의 비용최소화와 강건성의 최대화의 다목적 함수의 문제로 접근하였다. 두 번째 단계에서는 본 연구의 목적과 같이 불확실성을 고려한 상태에서 두 목적함수를 최적화하였다.
대상 데이터
불확실성을 고려한 다목적 함수 최적화 설계의 새로운 접근법을 적용한 사례연구 네트워크는 New York tunnels로 19개의 절점과 1개의 저수지, 21개의 관으로 구성되어 있다. 수리학적 값의 계산과 유전자 알고리듬을 이용한 최적화는 Visual Basic 고, US Environmental Protection Agency에서 개발한 상수도관망 프로그램인 EPANET을 연동하여 실행하였다.
이론/모형
네트워크의 강건성과 상수도관망의 불확실한 상태의 변화를 반영하기 위해 샘플링 방법이 사용되었고, 샘플링은 구성된 시나리오를 바탕으로 진행되었다. 두 개의 불확실성을 가진 변수인 절점에서의 수요량과 관의 조도계수는 범위가 일정하게 주어지는 베타확률밀도함수에서 샘플링 되어 일정한 수치를 기준으로 산포되어 있는 지점 수요량의 특성과 매설 이후 일정하게 감소하는 관의 조도계수 각각의 특성을 적절히 모의하였다.
전형적인 최소비용 설계의 목적함수는 지수승의 형태로 관경(D)과 관의 길이(L)를 독립변수로 가진다. 본 연구에서는 Quindry 등(1981)이 제시한 비용 최소화를 위한 목적함수 식을 사용하며, 사용성에 대한 절점의 압력 제한 조건은 상하수도시설기준(2004)에 제시된 1.53 k* gf7cm 수두: 15.3 m)을 기준으로 한다.
비용최소화와 강건성의 최대화 문제는 알고리듬 자체의 특별한 향상 없이 다목적 유전자 알고리듬을 사용하였다. 하지만 제안된 접근법의 혁신적인 측면은 최적설계의 단계가 두 단계로 나뉘어 보다 효율적인 설계방법을 제공한다는 것이다.
수리학적 값의 계산과 유전자 알고리듬을 이용한 최적화는 Visual Basic 고, US Environmental Protection Agency에서 개발한 상수도관망 프로그램인 EPANET을 연동하여 실행하였다. 이 과정에서 손실 수두의 계산은 Hagen-Williams 공식을 이용하였으며, 네트워크 내 관은 Hazen-Williams C 계수가 100인 주철관이다.
또한 계산시간 단축을 위해 네트워크의 강건성을 중요절점 (critical node)만을 대상으로 산정 하였다. 제안된 모형은 New York Tumnels 네트워크(University of Exeter, Centre for Water Systems)에 적용하여 그 적용성을 입증하였다.
위에 나타낸다. 파레토 프론트를 찾는 방법은 여러 가지가 있으나 본 연구에서 사용된 방법은 Fonseca & Fleming-ranking approach (Fonseca 등, 1993)이다. 이 방법은 두 개의 목적함수를 가진 최적화 문제에 있어 먼저 모든 인구를 x축과 y으로 구성된 해 공간 위해 그 값에 따라 위치시키며, 위치에 따른 각 인구의 순위를 매김으로써 최적화를 시작한다.
성능/효과
-a가 최대가 되는 해, 즉 가장 낮은 강건성을 가지는 해는 가장 저렴한 비용의 강건성이 낮은 해이고 이는 첫 번째 단계의 비용 최소화 문제의 해이다. 1.486x10“원의 비용을 가지는 해까지 초기조건으로부터 그려진 일련의 선을 따라 구성되고 있는 것으로 보아 초기조건의 이용은 효율적인 접근방법임을 알 수 있다. 또한 다목적 최적화 문제에서 최적화가 진행될 수록 초기조건에 모여 있던 점들이 그 점 주위를 시작으로 해 공간에 최적 해를 찾아 오른쪽 아래 부분으로 탐색해 나가는 것을 확인할 수 있었으며 이 또한 초기조건 이용의 장점을 설명해 준다.
1000번 정도의 계산을 거쳐 최적화된 관경을 얻었고, 관 18, 19의 관경이 증가한 관을 제외하고는 거의 모든 관에서관경의 감소를 확인할 수 있었다. 원래의 관망을 구성하는 모든 관의 관경과 길이에 의한 총 비용은 2.
따라서, 어떠한 해가 비용이 작고 강건성이 클 수로 해공간에서 왼쪽 아래에 위치하게 된다. 30 개의 인구수로 최적화문제를 다루어 계단 형태의 Pareto Front를 구성하였고, 비용이 어느 수치를 넘어 가면 강건성에 단계적 증가가 발생하였다. 그 결과 해는 비슷한 강건성 수준을 가지는 4개의 소그룹으로 나뉘어졌다.
또한 LH 샘플링 방법으로 샘플링할 때 미리 구성된 시나리오에 의해 어느 구간에서 값을 추출해낼 것인지를 결정한다. LH방법의 사용으로 MC방법보다 적은 횟수의 샘플링으로 충분한 개수의 변수를 얻을 수 있어 계산시간을 효율적으로 줄일 수 있다. 예를 들어 그림 2에서 MC방법으로 샘플링을 할 경우 평균값 주위의 값들이 추출될 확률이 높고 따라서 비정상적인 상태의 값을 고려해 주기 위해서는 많은 샘플링이 수반된다.
486x10“원의 비용을 가지는 해까지 초기조건으로부터 그려진 일련의 선을 따라 구성되고 있는 것으로 보아 초기조건의 이용은 효율적인 접근방법임을 알 수 있다. 또한 다목적 최적화 문제에서 최적화가 진행될 수록 초기조건에 모여 있던 점들이 그 점 주위를 시작으로 해 공간에 최적 해를 찾아 오른쪽 아래 부분으로 탐색해 나가는 것을 확인할 수 있었으며 이 또한 초기조건 이용의 장점을 설명해 준다.
예를 들어, 만약 설계자가 미래의 실현가능한 상수도 관망의 상태를 충분히 고려한 설계를 하고 싶다면 강건성이 높은 해를 선택하면 되고, 비용이 더 민감한 문제라면 비용을 최소화한 관의 조합을 선택하여 설계에 반영하면 되는 것이다. 본 연구의 결과는 수요와 조도계수의 불확실성을 고려한 상태에서 상수도관망의 비용과 강건성의 상쇄효과(trade off) 를 가진 선택 안을 제시한다. 최소비용의 해와 최대 강건성의 해 각각에서 관경의 변화는 다음 표 3과 같다.
불확실성을 고려하며 비용최소화와 강건성을 최대화한 상수도 관망의 최적설계에서 비용은 최소 1.412x10“원에서 최대 1.883x10“원의 범위를 가졌다. 이것은 New York Tunnels의 상수도관망은 최대의 강건성을 가지기 위해 133% 의 비용을 더 들여야 한다는 것을 의미한다.
두 개의 불확실성을 가진 변수인 절점에서의 수요량과 관의 조도계수는 범위가 일정하게 주어지는 베타확률밀도함수에서 샘플링 되어 일정한 수치를 기준으로 산포되어 있는 지점 수요량의 특성과 매설 이후 일정하게 감소하는 관의 조도계수 각각의 특성을 적절히 모의하였다. 샘플링 방법으로는 MC 방법의 대안으로 개발되었던 LH 샘플링 방법이 사용되어 보다 적은 샘플링 횟수로 보다더 다양한 상수도관망 내 특성 변화를 모의할 수 있었고, 기존의 샘플링 방법에 비해 모의의 효율성을 증진 시켰다.
감소를 확인할 수 있었다. 원래의 관망을 구성하는 모든 관의 관경과 길이에 의한 총 비용은 2.228x10“원에서 비용 최소화한 비용 1.412x10“원으로, 사용성에 대한 제한조건을 만족시키며 8.157x10“원을 절감하는 결과를 낳았다.
21개 관 중 7개의 관의 크기가 변경되었다. 총 5개의 관이 최대 강건성을 얻기 위해 확장이 되었고, 1개의 관이 관경이 감소되었다. 자세히 살펴보면, 관경이 확장된 관 중, 관 1, 3, 13에서는 관 4, 17에 비해 적은 관경의 변화가 있었고 관 4, 17에서는 배우 큰 관경의 크기 증가가 있었는데, 이것은 New York Tunnels 관망 구성 자체의 특성에 기인한 것이다.
표 3에서 볼 수 있듯이 최대 강건성을 가지는 관망을 구성하기 위해서 첫 번째 단계에서 얻은 최소비용의 해에서 전체 21개 관 중 7개의 관의 크기가 변경되었다. 총 5개의 관이 최대 강건성을 얻기 위해 확장이 되었고, 1개의 관이 관경이 감소되었다.
후속연구
그 결과 해는 비슷한 강건성 수준을 가지는 4개의 소그룹으로 나뉘어졌다. 결과의 보다 정확한 분석을 위해서 유전자 알고리듬 구성 시 30개 보다 더 많은 인구수를 가지고 최적화를 시켜 각 그룹사이의 빈 공간에 어떤 해가 존재하는지 확인을 위해 또한 보다 더 조밀한 Pareto Front를 구성 할 필요가 있다.
제공할 것이다. 마지막으로, 다양한 시나리오 구성 방법에 대한 연구로 더 현실적인 상수도관망의 모의를 실현할 필요가 있다.
향후 30개 보다 더 많은 인구수를 이용한 최적화를 통해 더 조밀한 파레토 프론트를 구할 수 있으며 이때 더 많은가능해를 제공할 것이다. 마지막으로, 다양한 시나리오 구성 방법에 대한 연구로 더 현실적인 상수도관망의 모의를 실현할 필요가 있다.
참고문헌 (16)
김주현, 김병곤, 전상욱, 전용희, 이동호 (2008) 신경망으로 구축된 불확실성 모델을 이용한 전투기 날개의 강건 최적 설계, 한국학공우주학회지, 제36권, 제2호, pp. 99-104.
상수도 시설 기준 (2004) 한국상하수도협회
Alperovits, E. and Shamir, U. (1977) Design of optimal water distribution systems. Water Resources Research, Vol. 13, No. 6, pp. 885-900.
Babayan, A.V., Kapelan, Z., Savic, D.A., and Walters, G.A. (2005) Least cost design of robust water distribution networks under demand uncertainty. J. Water Resour. Plann. Manage., Vol. 131, No. 5, pp. 375-382.
Babayan, A.V., Kapelan, Z., Savic, D.A., and Walters, G.A. (2006) Comparison of two methods for the stochastic least cost design of water distribution systems. Engineering Optimization, Vol. 38, No. 3, pp. 281-297.
Dandy, G.C., Simpson, A.R., and Murphy, L.J. (1993) A review of pipe network optimisation techniques. in Proc. WATERCOMP, Melbourne, Australia, pp. 373-383.
Fonseca, C.M. and Fleming, P.J. (1993) Genetic algorithms for multiobjective optimization: Formulation, discussion and generalization. Proc., 5th Int. Conf. on Genetic Algorithms, S. Forrest, ed, Morgan Kaufmann, San Mateo, Calif., pp. 416-423.
Gregory D.W. and Kelly H.J. (1998) A User's Guide to LHS: Sandiais Latin Hypercube Sampling Software. Sandia National Laboratories, Albuquerque, NM., SAND98-0210
Gupta, I. (1969) Linear Programming Analysis of a Water Supply System. IIE Transactions, Vol. 1, No. 1, pp. 56-61.
Gupta, I., Hassan M.Z., and Cook J. (1972) Linear Programming Analysis of a Water Supply System with Multiple Supply Points. IIE Transactions, Vol. 4, No. 3, pp. 200-204.
Kapelan, Z.S., Savic, D.A., and Walters, G.A. (2005) Multiobjective design of water distribution systems under uncertainty. Water Resour. Res., Vol. 41, No. 11, W11407-1nW11407-15.
Lansey, K.E., Ning Duan, Mays, L.W., and Yeou-Kung, T. (1989) Water distribution system design under uncertainties. J. Water Resour. Plann. Manage., Vol. 115, No. 5, pp. 630-645.
Quindry, G., Brill, E.D., and Liebman, J.C. (1981) Optimisation of Looped Water Distribution Systems. J. Environmental Engineering Division, ASCE, Vol. 107, pp 665-679.
Simpson, A.R., Dandy, G.C., and Murphy, L.J. (1994) Genetical algorithm compared to other techniques for pipe optimisation. J. Water Resour. Plann. Manage., Vol. 120, No. 4, pp. 1589-1603.
Xu, C. and Goulter, I.C. (1999) Reliability-based optimal design of water distribution network. J. Water Resour. Plann. Manage., Vol. 125, No. 6, pp. 352-362.
Yates, D.F., Templeman, A.B., and Boffey, T.B. (1984) The computational complexity of the problem of determining least capital cost designs for water supply networks. Engineering Optimization, Vol. 7, No. 2, pp. 142-155.
※ AI-Helper는 부적절한 답변을 할 수 있습니다.