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문제 정의
- 특히 자유표면을 갖는 비압축성 유체에 관한 유동 시뮬레이션의 경우, 비압축성과 자유표면의 두 가지 조건을 충족시켜야 한다. 따라서 본 장에서는 이러한 문제에 대해 기존의 MPS법의 비압축성 조건과 자유표면 입자를 탐색하기 위한 알고리즘의 문제점을 개선하여 유동장 특히 압력장의 안정화를 꾀하기로 한다.
- 본 연구에서는 기존의 MPS법에서 나타나는 압력의 불안정한 진동을 억제하기 위하여, 커넬 함수 및 입자간 충돌모델에서의 충돌계수들에 관한 최적조건을 산출하였다. 또한, 압력에 관한 포아송 방정식의 생성항(source term)과 구배모델, 그리고 자유표면 입자의 탐색방법을 개량하였다.
- 본 연구에서는 입자를 이용한 유체 시뮬레이션 기법 중 MPS법을 이용하여 기존의 MPS법이 내포하는 공간 및 시간적 압력 진동을 안정화시키기 위하여 다양한 개량을 수행하였다. 먼저, 입자가 이동하지 않는 정수압 문제에서 커넬 함수와 입자충돌 모델의 충돌계수들에 대한 수치실험을 수행하여 최적의 커넬 함수와 충돌계수를 도출하였다.
제안 방법
- 또한, 압력에 관한 포아송 방정식의 생성항(source term)과 구배모델, 그리고 자유표면 입자의 탐색방법을 개량하였다. 개량된 방법을 정수압 문제 및 Martin and Moyce[10]의 댐 붕괴 문제에 적용하여 실험 및 해석해와 비교하였으며, 기존의 MPS법과도 비교하였다.
- 하지만 식 (17)만으로는 자유표면 입자간 간격이 좁은 경우, 주변 입자 탐색 범위가 좁은 경우 그리고 적은 수의 입자를 사용하여 시뮬레이션 하는 경우에는 자유표면 입자 탐색의 정확도가 떨어진다는 문제점이 있다. 따라서 본 논문에서는 자유표면 입자 판정에 기존의 입자수밀도를 이용한 식 (13)과 입자 개수를 이용한 식 (17)을 동시에 만족시켜 두 방법의 단점을 상호보완 하였다.
- 본 연구에서는 기존의 MPS법에서 나타나는 압력의 불안정한 진동을 억제하기 위하여, 커넬 함수 및 입자간 충돌모델에서의 충돌계수들에 관한 최적조건을 산출하였다. 또한, 압력에 관한 포아송 방정식의 생성항(source term)과 구배모델, 그리고 자유표면 입자의 탐색방법을 개량하였다. 개량된 방법을 정수압 문제 및 Martin and Moyce[10]의 댐 붕괴 문제에 적용하여 실험 및 해석해와 비교하였으며, 기존의 MPS법과도 비교하였다.
- 먼저, 입자가 이동하지 않는 정수압 문제에서 커넬 함수와 입자충돌 모델의 충돌계수들에 대한 수치실험을 수행하여 최적의 커넬 함수와 충돌계수를 도출하였다. 또한, 유체 입자의 동적 거동을 포함하는 댐 붕괴 문제에 대해 포아송 방정식의 생성항, 자유표면 탐색법 및 구배모델을 개량하였다. 개량된 방법을 이용하여 정수압 문제와 댐 붕괴 시뮬레이션을 수행하였으며, 각각의 경우에 대해 해석해와 실험결과와 비교하였다.
- 본 연구에서는 입자를 이용한 유체 시뮬레이션 기법 중 MPS법을 이용하여 기존의 MPS법이 내포하는 공간 및 시간적 압력 진동을 안정화시키기 위하여 다양한 개량을 수행하였다. 먼저, 입자가 이동하지 않는 정수압 문제에서 커넬 함수와 입자충돌 모델의 충돌계수들에 대한 수치실험을 수행하여 최적의 커넬 함수와 충돌계수를 도출하였다. 또한, 유체 입자의 동적 거동을 포함하는 댐 붕괴 문제에 대해 포아송 방정식의 생성항, 자유표면 탐색법 및 구배모델을 개량하였다.
- 자유표면 경계조건으로 운동학적 경계조건과 동역학적 경계조건이 있다. 본 연구에서 동역학적 경계조건은 자유표면 입자의 압력을 대기압과 동일한 값으로 고정하고, 운동학적 경계조건은 자유표면 입자를 직접 이동함으로써 만족시킨다. 두 경계조건을 만족시키기 위해서는 자유표면 입자의 탐색이 선행되어야 한다.
- 본 절에서는, 입자간 충돌 모델에 사용되는 계수인 충돌거리 a와 반발계수 b에 관하여 수치실험을 통해 최적의 값을 도출하기로 한다. Fig.
- 0초이다. 비교를 위하여 수조 바닥의 중심 P1 지점에서 압력을 측정하였다.
- 점성의 영향은 고려하였고 표면장력의 영향은 무시하였다. 비교를 위하여 수조의 바닥으로부터 0.02[m] 떨어진 오른쪽 측벽의 P2 지점에서 압력을 계측하였다. Table 1에는 앞서 서술된 개선 방법을 이용하여 다양한 계산 조건을 요약하였다.
- 앞서 설명한 입자 상호작용 모델을 이용하여, Fig. 4에 보이는 바와 같이, 수조의 폭과 수심은 각각 0.4 [m]인 2차원 사각 수조내의 정수압 문제에 적용하였다. 사용한 총 입자 개수는 약 1700개이며 이 중 유체 입자는 1600개이다.
- 전술한 개량된 MPS법을 이용하여 Fig. 11과 같이 초기 형상을 갖는 2차원의 수조 내의 댐 붕괴 문제에 적용하였다. 물기둥의 폭과 높이는 각각 0.
- Hibi and Yabushita[7]는 두 단계에 걸쳐 압력계산을 하였다. 첫 번째는 기존의 MPS법에 의해 압력을 계산한 뒤 계산된 압력으로 가속도를 산출하여 입자를 이동한다. 두 번째는 후술하는 압력의 포아송(Poisson) 방정식의 생성항(source term)을 입자속도에 대한 무발산(divergence free) 조건을 적용하여 별도의 압력계산을 하지만, 두 번째 단계의 압력은 타 계산에 반영되지 않으며 결과출력에만 관여하게 된다.
- 초기 입자간 거리가 시뮬레이션의 결과에 미치는 영향을 분석하기 위하여 l0를 0.005[m], 0.01[m], 0.015[m], 0.02[m]인 경우에 대하여 시뮬레이션을 수행하였다. 초기 입자간 거리가 작아질수록 입자 개수는 증가한다.
대상 데이터
- 4 [m]인 2차원 사각 수조내의 정수압 문제에 적용하였다. 사용한 총 입자 개수는 약 1700개이며 이 중 유체 입자는 1600개이다. 중력가속도와 밀도는 각각 9.
데이터처리
- 또한, 유체 입자의 동적 거동을 포함하는 댐 붕괴 문제에 대해 포아송 방정식의 생성항, 자유표면 탐색법 및 구배모델을 개량하였다. 개량된 방법을 이용하여 정수압 문제와 댐 붕괴 시뮬레이션을 수행하였으며, 각각의 경우에 대해 해석해와 실험결과와 비교하였다. 결과적으로 유동장의 압력장이 크게 안정화되었으며 정확도도 향상되었음을 알 수 있었다.
이론/모형
- 특히, MPS법의 압력진동 억제에 관하여 다양한 선행연구가 진행되어 왔다. Suesoshi and Naito[6]는 압력 진동을 억제하기 위해 각 입자별 보조 계산점을 이용한 ALE(Arbitary Lagrangian and Eulerian)법을 적용하였다. 이 방법은 1 시간스텝에서 입자점과 보조 계산점에서의 계산을 별도로 수행하여, 결과적으로 더 많은 계산시간은 소요되었지만 압력진동을 상당부분 안정화시킬 수 있었다.
- 이러한 입자법의 예로는 크게 Koshizuka and Oka.[4]가 제안한 MPS(Moving Particle Semi-implicit)법과 Monagan[5]이 제안한 SPH(Smoothed Particle Hydrodynamics)법을 들 수 있다. MPS법에서는, 미분연산을 위해 커넬함수 기반의 차분 알고리즘을 사용하지만, SPH법에서는 커넬함수가 직접 미분된 형태의 방정식을 사용하고 있으며, 격심한 자유표면 운동과 함께 최근에는 유체-고체 연성 해석에의 응용이 활발히 진행되고 있다.
- 이 경우 압력장이 연속적으로 부드럽게 표현되는 반면, 계산의 오차가 매 시간 스텝마다 축적되게 된다. 따라서 본 연구에서는 포아송 방정식의 생성항에 전술한 두 가지의 장점을 사용하는 Tanaka and Masunaga[14]가 제안한 식 (16)을 사용하였다.
- 입자간 상호작용 모델은 커넬 함수에 기초한다. 커넬 함수에 따른 시뮬레이션 결과의 의존도를 비교하기 위하여 식 (3)과 같은 세 종류의 커넬 함수를 이용하였다.
성능/효과
- 14에서 기호(symbol)들은 Martin and Moyce[10]의 실험 결과를 나타내며, SOLA-VOF[1]의 결과와 기존 MPS법과 개량된 MPS법에 의한 시뮬레이션 결과를 나타낸다. 개량된 MPS법의 경우 첨단부분이 수조 바닥에서 수평방향으로의 진행속도가 기존의 MPS법에 비해 지연됨이 관찰되었으며, 실험에 보다 근접한 결과를 보여준다.
- 9는 l0에 따른 P1 지점에서 압력의 상대오차율을 나타낸다. 결과적으로 l0가 작아짐에 따라 상대오차율이 줄어들며, 수렴하는 경향을 보이고 있다.
- 개량된 방법을 이용하여 정수압 문제와 댐 붕괴 시뮬레이션을 수행하였으며, 각각의 경우에 대해 해석해와 실험결과와 비교하였다. 결과적으로 유동장의 압력장이 크게 안정화되었으며 정확도도 향상되었음을 알 수 있었다.
- Fig, 12(e)는 자유표면 입자의 탐색방법에 따른 비교결과이다. 기존의 탐색 방법에 비해 본 연구에서 제안한 탐색 방법은 시간에 따라 압력진동을 안정시키는 것으로 나타났다. 마지막으로 압력 구배 모델을 수정한 경우의 비교결과를 Fig.
- 12(a)는 기존의 MPS법과 5장에서 설명한 생성항의 개량에 따른 변화된 알고리즘을 적용한 시뮬레이션을 비교한 결과이다. 생성항의 개량에 따라 압력 진동이 크게 감소하였으며, 이는 압력 진동의 원인 중 하나가 압력에 관한 포아송 방정식의 생성항에 있었음을 확인 할 수 있다. Fig.
- 기존 압력 구배모델에 사용된 식 (4)에 사용한 #은 운동량 보존법칙을 만족함에 있어서 작용 반작용 법칙을 성립시키지 않지만 새롭게 제안된 식 (18)은 운동량 보존과 작용 반작용 법칙을 모두 만족하게 된다. 시뮬레이션의 결과, 시간에 따른 압력 진동의 경향은 큰 차이를 보이지 않지만 새롭게 제안된 구배모델의 경우, 유체가 벽면에 재충돌하는 두 번째와 세 번째의 압력 극치 값 부근의 압력 진동이 다소 안정됨을 알 수 있다.
- Suesoshi and Naito[6]는 압력 진동을 억제하기 위해 각 입자별 보조 계산점을 이용한 ALE(Arbitary Lagrangian and Eulerian)법을 적용하였다. 이 방법은 1 시간스텝에서 입자점과 보조 계산점에서의 계산을 별도로 수행하여, 결과적으로 더 많은 계산시간은 소요되었지만 압력진동을 상당부분 안정화시킬 수 있었다. Hibi and Yabushita[7]는 두 단계에 걸쳐 압력계산을 하였다.
- 이상으로부터, 상대오차율과 상대표준편차율을 최소화할 수 있는 a, b의 구간이 존재하며, 이를 적절히 선정함에 따라 유동장을 안정화시킬 수 있음을 알 수 있다.
후속연구
- 향후 보다 다양한 공학적 문제에 적용하여 그 타당성을 검증할 예정이다.
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