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가설 설정
- 외부 반지름에 대한 내부 반지름의 비, 즉 ri/ ro는 0,5로 고정되었다. 재료의 탄성 계수 및 포아송비는 200 GPa 및 0.3으로 가정되었다.
제안 방법
- 다른 연구자들과의 결과 비교를 위해서 섹터 각도 60°및 FF 경계조건을 가지는 예제에 대한 해석이 먼저 수행되었다.
- 다음 장에서는 지배 미분 방정식의 해석적 해의 개발 과정을 보이고 이어 본 연구에서 개발된 해의 수렴성와 정확성을 보여 주기 위하여 다양한 경계 조건 및 섹터 중심 각도를 가지는 예제를 선정하여 해석을 수행한다. 제안식으로 결정된 처짐 변위및 내부모멘트 값은 다른 해석적 연구결과와 비교 분석된다.
- 해를 유도하기 위한 첫 번째 스텝으로 지배 방정식에 나타난 편미분 방정식(PDE, partial differential equation)을 Levy 타입 해를 가정하고 적절한 수학적 처리를 통해 상미분 방정식 (ODE, ordinary differential equation)으로 전환하는 것이다. 다음으로 전환된 상미분 방정식에 대한 4차의 특성 방정식(characteristic equation)을 취하고 이에 대한 폐쇄 형식의 정해(closed-form solution)를 도출한다. 도출된 해의 실수 부분 및 복소수 부분을 오일러 공식 등으로 처리하여 최종 적으로 제차 및 비제차 방정식(homogeneous and nonhomogeneous equations)의 해의 조합으로 환형 섹터판의 처짐 변위에 대한 시리즈 타입의 해를 완성한다.
- 본 연구에서 제안된 식의 결과를 여타의 다른 해석적 및 수치적 방식으로 수행된 연구결과와 비교하였다. 또한 범용 유한 요소 해석 프로그램인 ABAQUS에서 제공하는 4절점 및 8부절점 판요소를 이용한 선형 탄성 해석도 수행하여그 결과를 비교하였다. 제안식으로 얻어진 판의 수직 처짐 변위 및 내부모멘트 값은 8절점 판요소를 이용한 유한 요소 해석의 결과가 높은 수준으로 일치함이 확인되면서 제안식의 정확성이 검증되었다.
- 본 논문에서는 고전적인 박판 이론에 근거하여 환형 섹터판의 처짐 변위에 대한 지배미분방정식의 해를 3차원 극좌표 시스템에서 Levy 타입 시리즈 형태로 새롭게 개발한다. 환형 섹터판은 반지름 방향(radial direction)으로 단순지지 되어 있고, 원주 방향(circumferential direction)으로는 단순지지 또는 고정지지 되어 있다.
- 수직 분포하중을 받는 환형 섹터판은 반지름 방향으로 단순지지되어 있고, 원주 방향으로는 단순지지, 고정지지, 또는 이들의 조합 등으로 경계조건이 설정되었다. 본 연구에서 제안된 시리즈 형식의 해에 대한 수렴성 및 정확성을 검증하기 위하여 다양한 섹터 중심 각도 및 경계 조건을 가지는 예제 판을 선택하여 해석을 수행하였다. 본 연구에서 제안된 식의 결과를 여타의 다른 해석적 및 수치적 방식으로 수행된 연구결과와 비교하였다.
- 본 해의 개발과정에서 4차의 편미분 지배 방정식에 대한 폐쇄 형식의 해석적 해를 성공적으로 유도하였다. 수학 이론의 적용 뿐 아니라 해석적 수학 처리 프로그램을 활용하여 구체적 이고 체계적인 수식을 수립하고 전개하였다. 개발된 해석적 해는 여타의 연구에서 찾아 볼 수 없는 단순한 형태를 가지면서도 수렴성 및 정확성에서는 매우 우수함을 보였다.
- 결과의 검증을 위하여 범용 유한요소해석 프로그램인 ABAQUS (2004)를 이용하여 선형 탄성 해석이 추가적으로 수행되었다. 해석 시 4절점 쉘요소인 S4R와 8절점 쉘요소인 S8R의 두 가지 요소가 모두 적용되어 그 결과의 차이를 또한 비교하였다. 예제 모델 구성시 추가적인 요소 수의 증가가 해석 결과의 정확도에 영향을 주지 않을 정도로 충분한 요소 수가 고려되었다.
데이터처리
- 다른 연구자들과의 결과 비교를 위해서 섹터 각도 60°및 FF 경계조건을 가지는 예제에 대한 해석이 먼저 수행되었다. 결과의 검증을 위하여 범용 유한요소해석 프로그램인 ABAQUS (2004)를 이용하여 선형 탄성 해석이 추가적으로 수행되었다. 해석 시 4절점 쉘요소인 S4R와 8절점 쉘요소인 S8R의 두 가지 요소가 모두 적용되어 그 결과의 차이를 또한 비교하였다.
- 제안식으로 결정된 처짐 변위및 내부모멘트 값은 다른 해석적 연구결과와 비교 분석된다. 또한 제안된 해의 정확성을 입증하기 위하여 범용 유한 요소 해석 프로그램인 ABAQUS(2004)를 이용한 선형 탄성 해석의 수행 결과와도 비교된다.
- 본 연구에서 제안된 시리즈 형식의 해에 대한 수렴성 및 정확성을 검증하기 위하여 다양한 섹터 중심 각도 및 경계 조건을 가지는 예제 판을 선택하여 해석을 수행하였다. 본 연구에서 제안된 식의 결과를 여타의 다른 해석적 및 수치적 방식으로 수행된 연구결과와 비교하였다. 또한 범용 유한 요소 해석 프로그램인 ABAQUS에서 제공하는 4절점 및 8부절점 판요소를 이용한 선형 탄성 해석도 수행하여그 결과를 비교하였다.
- 다음 장에서는 지배 미분 방정식의 해석적 해의 개발 과정을 보이고 이어 본 연구에서 개발된 해의 수렴성와 정확성을 보여 주기 위하여 다양한 경계 조건 및 섹터 중심 각도를 가지는 예제를 선정하여 해석을 수행한다. 제안식으로 결정된 처짐 변위및 내부모멘트 값은 다른 해석적 연구결과와 비교 분석된다. 또한 제안된 해의 정확성을 입증하기 위하여 범용 유한 요소 해석 프로그램인 ABAQUS(2004)를 이용한 선형 탄성 해석의 수행 결과와도 비교된다.
이론/모형
- 식 (17a) 및 (17b)에서 포한되어 있는 제곱근 기호 안의 수식이 구체적으로 가질 수 있는 값의 범위를 그림 3에 보였다. 그림 3에서 구현된 그래프는 해석적 연산 및 도식이 가능한 수학 프로그램인 Maple(Heck 2003)을 이용하여 얻었다. λ값이 0.
- 판의 두께가 다른 치수에 비해 상대 적으로 커질 때에는 전단변형의 영향은 판의 처짐 계산에 영향을 줄 수 있다. 전단변형이 고려된 두꺼운 판에 대한 이론은 Reissner(1945)과 Mindlin(1951)에 의하여 선도되었다.
성능/효과
- 수학 이론의 적용 뿐 아니라 해석적 수학 처리 프로그램을 활용하여 구체적 이고 체계적인 수식을 수립하고 전개하였다. 개발된 해석적 해는 여타의 연구에서 찾아 볼 수 없는 단순한 형태를 가지면서도 수렴성 및 정확성에서는 매우 우수함을 보였다. 수직 분포하중을 받는 환형 섹터판은 반지름 방향으로 단순지지되어 있고, 원주 방향으로는 단순지지, 고정지지, 또는 이들의 조합 등으로 경계조건이 설정되었다.
- 제안식으로 얻어진 판의 수직 처짐 변위 및 내부모멘트 값은 8절점 판요소를 이용한 유한 요소 해석의 결과가 높은 수준으로 일치함이 확인되면서 제안식의 정확성이 검증되었다. 또한 제안식은 수렴성 측면에서도 최초 4개의 시리즈 항만으로 충분한 정확도를 확보할 수 있을 정도의 우수함을 보였다. 본 연구의 성과는 추후 진행될 환형 섹터판의 다양한 거동 연구를 위한 기초 자료로 활용될 수 있을 것으로 예상된다.
- 예제 모델 구성시 추가적인 요소 수의 증가가 해석 결과의 정확도에 영향을 주지 않을 정도로 충분한 요소 수가 고려되었다. 반지름 및 원주 방향으로 20개 이상의 요소가 고려되면 충분히 정확한 결과를 얻을 수 있었으며 더 이상의 요소 분할은 정확도의 증가에 영향을 주지 않는 것으로 파악되었다.
- 표 1에는 제안된 식 (21)로부터 결정된 최대 무차원 처짐량을 ABAQUS 해석 결과 및 다른 연구자들 (Aghdam 등 2007; Cheung과 Chan 1981; Harik 1984; Salehi와 Turvey 1991; Kobayashi와 Turvey 1994)의 해석적 및 수치적 연구 결과와 비교하여 보여준다. 본 연구에서 제안한 식으로부터 구한 처짐량이 ABAQUS 8절점 해석결과와 가장 근접하다는 것을 표 1에서 확인할 수 있다. 표 2에는 식 (21)~(23)로부터 구한 반지름 및 원주 방향 내부모멘트를 역시 다른 연구자 및 ABAQUS해석 결과와 비교하여 보여주고 있다.
- 3차원 극좌표 시스템에서 탄성 휨거동을 하는 환형 섹터판에 대한 Levy 타입의 시리즈를 포함하는 해석적 해가 개발되었다. 본 해의 개발과정에서 4차의 편미분 지배 방정식에 대한 폐쇄 형식의 해석적 해를 성공적으로 유도하였다. 수학 이론의 적용 뿐 아니라 해석적 수학 처리 프로그램을 활용하여 구체적 이고 체계적인 수식을 수립하고 전개하였다.
- 해석 시 4절점 쉘요소인 S4R와 8절점 쉘요소인 S8R의 두 가지 요소가 모두 적용되어 그 결과의 차이를 또한 비교하였다. 예제 모델 구성시 추가적인 요소 수의 증가가 해석 결과의 정확도에 영향을 주지 않을 정도로 충분한 요소 수가 고려되었다. 반지름 및 원주 방향으로 20개 이상의 요소가 고려되면 충분히 정확한 결과를 얻을 수 있었으며 더 이상의 요소 분할은 정확도의 증가에 영향을 주지 않는 것으로 파악되었다.
- 또한 범용 유한 요소 해석 프로그램인 ABAQUS에서 제공하는 4절점 및 8부절점 판요소를 이용한 선형 탄성 해석도 수행하여그 결과를 비교하였다. 제안식으로 얻어진 판의 수직 처짐 변위 및 내부모멘트 값은 8절점 판요소를 이용한 유한 요소 해석의 결과가 높은 수준으로 일치함이 확인되면서 제안식의 정확성이 검증되었다. 또한 제안식은 수렴성 측면에서도 최초 4개의 시리즈 항만으로 충분한 정확도를 확보할 수 있을 정도의 우수함을 보였다.
후속연구
- 또한 제안식은 수렴성 측면에서도 최초 4개의 시리즈 항만으로 충분한 정확도를 확보할 수 있을 정도의 우수함을 보였다. 본 연구의 성과는 추후 진행될 환형 섹터판의 다양한 거동 연구를 위한 기초 자료로 활용될 수 있을 것으로 예상된다.
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