본 연구에서는 비선형 카오스 계열에 대한 잡음의 영향 분석을 위하여 대표적인 비선형 카오스 특성을 보이는 것으로 알려진 Logistic Map 자료계열을 이용하여 연구를 수행하였다. 잡음을 임의로 추가하여 잡음 수준에 따라 자료계열을 재생성 하였으며 비선형 자료의 분석 방법으로 활용되고 있는 상태공간 재건, 상관차원 추정, BDS 통계, DVS 알고리즘 분석을 실시하였다. 분석 결과 자료계열은 잡음의 수준이 높아짐에 따라 비선형 카오스적 특성을 보이는 원시자료의 특성이 사라지고 무작위한 추계학적 특성을 보이는 자료로 변화하였다. 그리고 잡음의 영향을 받고 있는 자료에 대한 잡음제거 방법으로 Low Pass Filter와 Kalman Filter 기법을 적용하였다. 전통적인 비모수 통계기법은 비선형 무작위 시계열 또는 비선형 시계열을 구분하는데 어려움이 있지만 비선형 통계기법인 BDS 통계는 비선형 시계열을 구분할 수 있는 것으로 알려져 있다. 분석을 수행한 결과 잡음 수준이 높을 경우 Low Pass Filter는 잡음을 효과적으로 제거하지 못하여 비선형 자료를 선형자료로 판정하였지만 Kalman Filter의 경우 잡음을 효과적으로 제거하는 것으로 나타나 적용성이 우수함을 알 수 있었다.
본 연구에서는 비선형 카오스 계열에 대한 잡음의 영향 분석을 위하여 대표적인 비선형 카오스 특성을 보이는 것으로 알려진 Logistic Map 자료계열을 이용하여 연구를 수행하였다. 잡음을 임의로 추가하여 잡음 수준에 따라 자료계열을 재생성 하였으며 비선형 자료의 분석 방법으로 활용되고 있는 상태공간 재건, 상관차원 추정, BDS 통계, DVS 알고리즘 분석을 실시하였다. 분석 결과 자료계열은 잡음의 수준이 높아짐에 따라 비선형 카오스적 특성을 보이는 원시자료의 특성이 사라지고 무작위한 추계학적 특성을 보이는 자료로 변화하였다. 그리고 잡음의 영향을 받고 있는 자료에 대한 잡음제거 방법으로 Low Pass Filter와 Kalman Filter 기법을 적용하였다. 전통적인 비모수 통계기법은 비선형 무작위 시계열 또는 비선형 시계열을 구분하는데 어려움이 있지만 비선형 통계기법인 BDS 통계는 비선형 시계열을 구분할 수 있는 것으로 알려져 있다. 분석을 수행한 결과 잡음 수준이 높을 경우 Low Pass Filter는 잡음을 효과적으로 제거하지 못하여 비선형 자료를 선형자료로 판정하였지만 Kalman Filter의 경우 잡음을 효과적으로 제거하는 것으로 나타나 적용성이 우수함을 알 수 있었다.
We studied noise influence on nonlinear chaotic system by using Logistic data series which is known as a typical nonlinear chaotic system. We regenerated Logistic data series by the method of adding noise according to noise level. And, we performed some analyses such as phase space reconstruction, c...
We studied noise influence on nonlinear chaotic system by using Logistic data series which is known as a typical nonlinear chaotic system. We regenerated Logistic data series by the method of adding noise according to noise level. And, we performed some analyses such as phase space reconstruction, correlation dimension, BDS statistics, and DVS Algorithms which are known as the methods of nonlinear deterministic or chaotic analysis. If we see the results of analysis, the characteristics of data series are gradually changed from nonlinear chaotic data series to random stochastic data series according to increasing noise level. We applied Low Pass Filter (LPF) and Kalman Filter techniques for the investigation of removing effect of the added noise to data series. Typical nonparametric method cannot distinguish nonlinear random series but the BDS statistic can distinguish the nonlinear randomness of the time series. Therefore this study used the BDS statistic which is well known as nonlinear statistical method for the investigation of randomness of time series for the effect of removing noise of data series. We found that Kalman filter is better method to remove the noise of chaotic data series even for high noise level.
We studied noise influence on nonlinear chaotic system by using Logistic data series which is known as a typical nonlinear chaotic system. We regenerated Logistic data series by the method of adding noise according to noise level. And, we performed some analyses such as phase space reconstruction, correlation dimension, BDS statistics, and DVS Algorithms which are known as the methods of nonlinear deterministic or chaotic analysis. If we see the results of analysis, the characteristics of data series are gradually changed from nonlinear chaotic data series to random stochastic data series according to increasing noise level. We applied Low Pass Filter (LPF) and Kalman Filter techniques for the investigation of removing effect of the added noise to data series. Typical nonparametric method cannot distinguish nonlinear random series but the BDS statistic can distinguish the nonlinear randomness of the time series. Therefore this study used the BDS statistic which is well known as nonlinear statistical method for the investigation of randomness of time series for the effect of removing noise of data series. We found that Kalman filter is better method to remove the noise of chaotic data series even for high noise level.
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문제 정의
자료의 비선형성을 BDS 통계는 자료의 비선형성을 효과적으로 검증을 할 수 있으며 최근린 값 k에 의한 예측오차(Em(k))의 거동특성에 대한 도시적 분석 방법인 DVS Algorithm 보다 효율적인 통계량 값을 제공한다. 따라서 본 연구에서는 잡음제거에 따른 자료계열의 특성을 분석하기 위하여 BDS 통계를 통하여 비교하였다.
본 연구에서는 대부분의 수문자료가 비선형 구조를 보이는 특성이 있음을 착안하여 대표적인 비선형 카오스 특성을 보이는 Logistic Map 자료계열을 이용한 잡음의 영향 분석과 잡음의 제거 방법에 대한 연구를 수행하였고 이에 대한 내용 및 결과는 다음과 같다.
본 연구에서는 카오스 특성을 보이는 Logistic 계열에 임의로 잡음을 추가한 후 잡음의 영향 정도에 따른 자료의 비선형 거동특성을 분석하고 잡음을 제거하는 방법론으로 기존에 수문계열에 적용성(장권희 등, 2009)이 있다고 판단되는 저역통과필터(Low Pass Filtering)과 칼만필터(Kalman Filtering) 기법을 통하여 적용성을 분석해 보고자 한다.
가설 설정
H0 : 자료 계열의 분포는 무작위하다.
H1 : 자료 계열의 분포는 무작위하지 않다.
제안 방법
1. 카오스 자료계열이라고 알려져 있는 Logistic Map 계열에 잡음의 영향 정도에 따른 자료계열의 특성변화에 대한 분석을 수행하였다. 이를 위하여 비선형 자료의 분석 방법으로 활용되고 있는 상태공간 재건, 상관차원 추정, BDS 통계, DVS 알고리즘 분석을 실시하였다.
Logistic Map의 자료계열에 대하여 대표적인 카오스 특성분석 방법의 하나로 알려진 상관차원을 산정하였다. 상관차원을 추정할 때 지체시간 산정과 상관차원을 구하기 위한 국부지역의 경사를 계산하는 과정이 있는데 이들은 각각 Kim et al.
Logistic Map의 자료계열에 잡음을 추가하여 상태공간에 위상을 재건하고, 원자료의 끌개와 비교하였다(Fig. 6). 카오스 특성을 보이는 자료계열을 지체시간에 의해 상태공간에 표현할 경우, 이상한 끌개(strange attractor)의 형태를 보이는 특성이 있다(Fig.
Logistic 계열에 잡음이 미치는 영향 정도에 따른 거동특성을 분석하기 위하여 다음과 같이 원자료에 Gaussian noise를 추가하였다.
본 연구에서는 자료계열에 대한 잡음의 영향을 분석하기 위하여 비선형 특성을 보이는 카오스 계열에 대한 분석으로 널리 활용되고 있는 상태공간 위상 재건 방법, 상관차원 방법, BDS 통계, DVS 알고리즘을 이용하였다. 각 방법에 따른 자료계열의 변화 특성을 살펴 봄으로써 잡음의 영향이 자료계열에 미치는 영향을 분석할 수 있다.
시간 업데이트 방정식은 예측(predict) 방정식으로서 생각될 수 있고, 측정 업데이트 방정식은 수정(correct) 방정식으로서 생각될 수 있다. 결론적으로 최종 예측 알고리즘은 그림에서와 같이 수치적인 문제를 풀기 위한 예측-수정 알고리즘으로 구성된다.
본 연구에서는 임의로 잡음이 추가된 자료계열에 대하여 수문계열의 잡음제거 방법으로 적용성이 있다고 판단되고 있는 Kalman Filter와 Low Pass Filter를 적용(장권희 등, 2009)하였고 잡음의 수준별로 다음과 같이 자료계열을 비교하여 도시하였다.
이를 위하여 비선형 자료의 분석 방법으로 활용되고 있는 상태공간 재건, 상관차원 추정, BDS 통계, DVS 알고리즘 분석을 실시하였다. 분석 결과 자료 계열은 잡음의 수준이 높아짐에 따라 비선형 카오스적 특성을 보이는 원시자료의 특성이 사라지고 무작위한 추계학적 특성을 보이는 자료로 변화하였다.
Logistic Map의 자료 계열은 무작위한 분포를 따른다는 귀무가설 및 대립가설을 아래와 같이 설정하고 이에 대한 검정을 수행하기 위한 방법으로 BDS 통계를 적용하였다. 유의수준(a)은 5%로 설정하고 양측검정을 수행하였다.
카오스 자료계열이라고 알려져 있는 Logistic Map 계열에 잡음의 영향 정도에 따른 자료계열의 특성변화에 대한 분석을 수행하였다. 이를 위하여 비선형 자료의 분석 방법으로 활용되고 있는 상태공간 재건, 상관차원 추정, BDS 통계, DVS 알고리즘 분석을 실시하였다. 분석 결과 자료 계열은 잡음의 수준이 높아짐에 따라 비선형 카오스적 특성을 보이는 원시자료의 특성이 사라지고 무작위한 추계학적 특성을 보이는 자료로 변화하였다.
잡음제거 효과를 검토하기 위하여 Logistic Map의 원시자료계열과 필터링 기법별로 잡음이 제거된 자료계열에 대한 상관계수와 표준오차를 검토하였다[Table 2. 참고]. 잡음의 영향이 작을 경우에는 잡음의 제거 효과가 뛰어났지만 잡음의 영향이 커질수록 제거 효과가 떨어지는 것으로 나타났다.
대상 데이터
DVS 알고리즘을 이용하여 Logistic Map에 대한 분석을 수행하고자 모의발생한 1,000개의 자료계열중 약 67%에 해당하는 600개의 계열을 실측치로 가정하고 나머지 400개에 대한 분석을 수행하였다. 분석결과 원시자료 계열은 k값의 증가에 따라 예측오차 Em(k) 값이 단조 증가하여 Logistic map의 확정론적 특성을 확인할 수 있었다.
이론/모형
2. 자료계열에 대한 잡음의 제거 효과를 검토하기 위하여 잡음제거 방법으로 수문자료에 적용성이 있다고 판단되는 Low Pass Filter와 Kalman Filter 기법을 적용하였다. 적용결과 일반적인 통계분석 결과에서는 잡음의 수준이 가장 높은 경우에도 상관계수가 최소 0.
푸리에 변환을 통해 얻은 주파수 영역의 자료를 각각 설계된 필터를 통하여 잡음을 제거 할 수 있다. Fig. 2는 입력값의 특성에 따른 디지털 필터의 종류와 특성을 나타내었고, 본 연구에서는 Low Pass Filter를 사용하였다.
Logistic Map의 자료 계열은 무작위한 분포를 따른다는 귀무가설 및 대립가설을 아래와 같이 설정하고 이에 대한 검정을 수행하기 위한 방법으로 BDS 통계를 적용하였다. 유의수준(a)은 5%로 설정하고 양측검정을 수행하였다.
본 연구에서는 대표적인 카오스 시스템으로 알려진 Logistic 계열을 이용하였다. May(1976)는 인구성장에 대한 분석을 위하여 간단한 비선형 맵을 제시하였는데 그것이 바로 Logistic Map 이고 다음과 같은 방정식으로 표현할 수 있다.
본 연구에서는 자료계열에 대한 잡음의 영향을 분석하기 위하여 비선형 특성을 보이는 카오스 계열에 대한 분석으로 널리 활용되고 있는 상태공간 위상 재건 방법, 상관차원 방법, BDS 통계, DVS 알고리즘을 이용하였다. 각 방법에 따른 자료계열의 변화 특성을 살펴 봄으로써 잡음의 영향이 자료계열에 미치는 영향을 분석할 수 있다.
잡음이 섞인 자료를 필터링을 통해 제거하는 과정에 있어서 입력신호의 특성을 분석하는 과정이 필요하고, 시간영역의 자료를 주파수 영역의 형태로 변환을 위해서 푸리에변환(Fourier Transform)을 이용한다. 푸리에 변환을 통해 얻은 주파수 영역의 자료를 각각 설계된 필터를 통하여 잡음을 제거 할 수 있다.
성능/효과
잡음의 영향이 작을 경우에는 잡음의 제거 효과가 뛰어났지만 잡음의 영향이 커질수록 제거 효과가 떨어지는 것으로 나타났다. Kalman Filter 보다는 Low Pass Filter의 경우 잡음제거의 효율이 떨어지는 경향이 컷지만 두 기법 모두 잡음의 영향이 가장 큰 경우에도 상관계수가 0.7 이상으로 잡음제거 효과가 유의한 결과를 보이는 것으로 판단되었다.
Low Pass Filter는 낮은 주파수 영역의 자료계열, 즉 장주기 자료계열을 통과시키고 단주기인 잡음을 제거시키는 방법이므로 원시자료에 잡음 수준이 낮은 자료에 효과적일 수 있겠으나 잡음의 수준이 높은 경우에는 잡음의 영향과 원시 자료의 특성을 효과적으로 분리해내지 못함에 따라 잡음 제거의 효율이 떨어짐을 알 수 있었다.
Kalman Filter는 업데이트된 과거계열(t-1)을 이용한 현단계(t) 예측과 현단계 관측값 정보를 통하여 최적의 추정값을 산정하고 이를 지속적으로 업데이트하는 피드백 제어 형태를 사용한다. 따라서 잡음의 영향이 크다 하더라도 과거단계의 관측정보에 의해 효과적으로 현단계 관측값에 대한 잡음을 제거할 수 있었다.
6과 같이 자료계열에 잡음의 비율을 증가시킨 결과 자료계열은 단순한 형태에서 복잡한 형태로 변화하고 있고, 이는 자료계열에 더욱 많은 인자가 영향을 미치고 있음을 판단할 수 있다. 또한 이상한 끌개 형태의 자료계열은 본래의 카오스적 특성을 잃고 무작위한 형태를 보이게 됨을 확인할 수 있다.
본 연구에서 사용한 LPF의 특징에는 원신호는 비교적 완만하게 시간변동하며, 낮은 주파수 성분을 가진다는 것이 있다. 그리고 잡음은 불규칙이고, 시간적으로 급히 변동하는 성질이 있으며 높은 주파수 성분을 가진다는 특징이 있다.
DVS 알고리즘을 이용하여 Logistic Map에 대한 분석을 수행하고자 모의발생한 1,000개의 자료계열중 약 67%에 해당하는 600개의 계열을 실측치로 가정하고 나머지 400개에 대한 분석을 수행하였다. 분석결과 원시자료 계열은 k값의 증가에 따라 예측오차 Em(k) 값이 단조 증가하여 Logistic map의 확정론적 특성을 확인할 수 있었다. 하지만 잡음의 수준이 증가함에 따라 예측오차는 단조증가 형태에서 U자형을 나타내었다.
하지만, Kalman Filter와 Low Pass Filter의 적용 결과는 다른 양상을 나타냈다. 우선, 높은 잡음의 수준에서도 Kalman Filter의 적용성은 우수했지만 Low Pass Filter의 경우에는 낮은 잡음 수준에서만 적용성이 있음을 확인할 수 있었다. 그리고 각 잡음 수준별 통계량에서 확인할 수 있듯이 Kalman Filter의 경우에는 잡음의 제거에 따라 본래 Logistic Map의 통계량에 Low Pass Filter 보다 상당히 근접하였다.
이와 같은 방법론은 카오스 특성을 갖는 수문자료에 응용하여 잡음을 제거함으로써 원래 수문자료의 특성을 보다 정확하게 도출하는데 역할을 할 수 있을 것으로 판단된다. 이와 같이 비선형 특성을 보이는 자료계열에 대한 분석에는 BDS 통계와 같은 비선형 해석 방법이 타당성이 있음을 확인할 수 있었다. 추후 이러한 해석 방법에 대한 연구가 더욱 진행된다면 수문자료계열을 해석하는데 기여하는 바가 클 것으로 기대된다
이와 같은 특성을 가지는 자료에 대하여 필터링을 할 경우 자료계열은 어떠한 영향을 받고 효과적으로 잡음을 제거할 수 있는지에 대하여 검토가 필요하다. 자료의 비선형성을 BDS 통계는 자료의 비선형성을 효과적으로 검증을 할 수 있으며 최근린 값 k에 의한 예측오차(Em(k))의 거동특성에 대한 도시적 분석 방법인 DVS Algorithm 보다 효율적인 통계량 값을 제공한다. 따라서 본 연구에서는 잡음제거에 따른 자료계열의 특성을 분석하기 위하여 BDS 통계를 통하여 비교하였다.
참고]. 잡음의 영향이 작을 경우에는 잡음의 제거 효과가 뛰어났지만 잡음의 영향이 커질수록 제거 효과가 떨어지는 것으로 나타났다. Kalman Filter 보다는 Low Pass Filter의 경우 잡음제거의 효율이 떨어지는 경향이 컷지만 두 기법 모두 잡음의 영향이 가장 큰 경우에도 상관계수가 0.
자료계열에 대한 잡음의 제거 효과를 검토하기 위하여 잡음제거 방법으로 수문자료에 적용성이 있다고 판단되는 Low Pass Filter와 Kalman Filter 기법을 적용하였다. 적용결과 일반적인 통계분석 결과에서는 잡음의 수준이 가장 높은 경우에도 상관계수가 최소 0.7 이상으로 두 기법 모두 적용성이 인정되었다. 하지만 비선형 통계기법인 BDS 통계분석을 수행한 결과 두 기법의 차이가 명확히 나타났다.
96)에서 가설을 기각하는 것으로 판정되어 확정론적 카오스 특성을 보임을 확인할 수 있다. 하지만 잡음의 수준이 증가함에 따라 통계량 값이 감소하였고 xi+1.0s의 경우에는 무작위한 잡음의 영향이 원자료계열의 특성 보다 커지는 영향으로 BDS 통계 결과 추계학적인 특성을 보이는 자료계열로 판정되었다.
후속연구
3. 이와 같은 방법론은 카오스 특성을 갖는 수문자료에 응용하여 잡음을 제거함으로써 원래 수문자료의 특성을 보다 정확하게 도출하는데 역할을 할 수 있을 것으로 판단된다. 이와 같이 비선형 특성을 보이는 자료계열에 대한 분석에는 BDS 통계와 같은 비선형 해석 방법이 타당성이 있음을 확인할 수 있었다.
하지만 잡음의 수준이 증가함에 따라 예측오차는 단조증가 형태에서 U자형을 나타내었다. 무작위한 잡음의 영향이 더욱 커지게 된다면 자료의 확률론적 특성인 예측오차의 단조 감소 형태를 확인할 수 있을 것으로 판단되었다.
이와 같이 비선형 특성을 보이는 자료계열에 대한 분석에는 BDS 통계와 같은 비선형 해석 방법이 타당성이 있음을 확인할 수 있었다. 추후 이러한 해석 방법에 대한 연구가 더욱 진행된다면 수문자료계열을 해석하는데 기여하는 바가 클 것으로 기대된다
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
시계열의 카오스 특성을 분석하기 위해 사용되는 방법으로는 무엇이 있는가?
시계열의 카오스 특성을 분석하기 위해 이용하는 방법으로 미터법(metric method)인 상관차원(correlation dimension)방법, Lyapunove 지수법 등이 있으며, 위상학적 방법(topological method)으로는 Close Returns Test 방법 등이 있다. 이 중에서 실제로 시계열의 카오스 특성을 분석하기 위해 상관차원 방법이 가장 널리 이용되고 있다.
BDS 통계는 무엇에 유용한가?
BDS 통계(Brock, Dechert, and Scheinkman)는 시계열의 독립성을 검정하기 위하여 자료가 무작위한 분포를 따른다는 가설을 상관적분을 토대로 검정하는 방법이다. 특히, 무작위한 시계열 자료와 카오스 시스템 혹은 비선형 추계학적 시스템을 구분하는데 매우 유용한 통계기법이다(Brock et al., 1991, 1996; Kim et al.
BDS 통계란 무엇인가?
BDS 통계(Brock, Dechert, and Scheinkman)는 시계열의 독립성을 검정하기 위하여 자료가 무작위한 분포를 따른다는 가설을 상관적분을 토대로 검정하는 방법이다. 특히, 무작위한 시계열 자료와 카오스 시스템 혹은 비선형 추계학적 시스템을 구분하는데 매우 유용한 통계기법이다(Brock et al.
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