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4계 타원형 미분 방정식을 위한 웨이블릿 급수해석
The Wavelet Series Analysis for the Fourth-order Elliptic Differential Equation 원문보기

한국전산구조공학회논문집 = Journal of the computational structural engineering institute of Korea, v.24 no.4, 2011년, pp.355 - 364  

조준형 (한국전력공사 전력연구원 녹색성장연구소) ,  우광성 (영남대학교 건설시스템공학과) ,  신영식 (영남대학교 건설시스템공학과)

초록
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본 논문은 이미지 처리나 신호처리 및 정보압축 등에 사용되는 웨이블릿 급수를 이용하여 4계 타원형 미분방정식을 풀때 그 방법에 대하여 논의하고자 한다. 본 논문에서 사용한 Hat 웨이블릿 함수는 $H^1$-공간에 속한 급수로서 일반적으로 2계 타원형 미분방정식에 적용하기에는 무리가 없으나 4계 타원형 미분방정식에 적용하기에는 불충분한 미분가능회수를 가지고 있다. 따라서 이 문제를 극복하기 위해 모멘트와 처짐을 미지수로 하는 선형방정식을 순차적으로 구성하고 풀어내는 방법을 사용하였다. 모멘트와 처짐을 미지수로 하는 순차적 해석법은 탄성하중법(모멘트면적법)의 응용으로 생각할 수 있다. 또한 그 정식화과정에서 무요소법과 동일한 점과 차이점을 언급하였다. 예측한 바와 같이 Hat 웨이블릿 함수의 항을 많이 고려할수록 수치해석의 해가 향상되는 것을 확인할 수 있었다. 또한 응력특이를 갖는 오일러보 문제의 경우 제안된 해석법은 종래의 유한요소 해석값과도 비교되었다.

Abstract ▼ AI-Helper 아이콘AI-Helper

In this study, the details of WSA(wavelet series analysis) have been demonstrated to solve the 4th-order elliptic differential equation. It is clear to solve the 2nd-order elliptic differential equation with the basis function of Hat wavelet series that is used in the previous study existed in ...

주제어

#웨이블릿 해석   #Hat 웨이블릿 함수   #$H^1$-공간   #탄성하중법   #모멘트면적법   #4계 타원형 미분방정식  

AI 본문요약
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문제 정의

  • 본 논문에서는 웨이블릿 급수를 이용하여 4계 타원형 미분방정식(4th-order elliptic differential equation)을 풀어낼 때 일어날 수 있는 적분식의 형태와 미분방정식을 이산화하는 방법에 대해 논의하고 선형형상함수의 특징에 대해 고찰해 보고자 한다. 매우 기초적인 내용이지만 웨이블릿 급수를 사용한 방법과 근래 연구되고 있는 무요소법(meshless)의 차이점도 비교하고자 한다. 다시 말하면, 웨이블릿 급수를 사용하여 미분방정식을 해석하게 될 경우 일반적인 FEM과는 다르게 요소(element)라는 개념을 사용하지 않고 단지 주어진 영역을 적분하기 위한 적분격자라는 개념을 사용하는데 이러한 성질은 무요소법의 특성과 일치한다.
  • 본 논문에서는 웨이블릿 급수를 이용하여 4계 타원형 미분방정식(4th-order elliptic differential equation)을 풀어낼 때 일어날 수 있는 적분식의 형태와 미분방정식을 이산화하는 방법에 대해 논의하고 선형형상함수의 특징에 대해 고찰해 보고자 한다. 매우 기초적인 내용이지만 웨이블릿 급수를 사용한 방법과 근래 연구되고 있는 무요소법(meshless)의 차이점도 비교하고자 한다.
  • 본 연구에서는 WSA를 이용하여 4계 타원형 미분방정식의 적분화를 통한 풀이과정과 그 과정에서 탄성하중법의 응용에 대해 고찰해 보았다. 본 방법은 변위(primary variable) 와 합응력(변위를 미분하여 얻어지는 2차 미지수, secondary variable)을 1차 미지수로 사용하는 혼합정식화(mixed formulation)와 일맥상통한다.

가설 설정

  • 본 식들은 비록 4계 타원형 미분방정식의 일반적 적분형태에 나타나는 강성도의 구성식을 만족시킬 수 있는 함수는 아니나, 3장에서 제안되는 방법을 통해 이 문제를 해결한다는 가정 하에서 본 함수를 4계 타원형 미분방정식의 적분형태 해의 기저함수로, 즉 형상함수로 가정한다.
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질의응답

핵심어 질문 논문에서 추출한 답변
웨이블릿 변환은 어디에 사용되어져 왔는가? 웨이블릿 변환(wavelet transform)은 푸리에 변환(Fourier transform)과 더불어 신호처리나 정보압축기술과 복원, 이미지 처리기술에 사용되어 왔다. 근래에 미분방정식을 푸는 웨이블릿 급수해석법(WSA; wavelet series analysis)이 소개되면서 공학문제에 많이 적용되고 있다.
웨이블릿 급수에는 어떤 함수들이 존재하는가? 웨이블릿 급수에는 Daubechies, Trigonometric, Hermite Cubic, Haar, Hat 등의 많은 함수들이 존재하는데, 이들 함수 중에 Haar 및 Hat 함수는 가장 간단하며 일차원 4계 타원형 미분방정식에 적용이 쉬울 것으로 생각된다. 다음은 두 함수의 특징에 대한 비교를 나타내었다.
Hat 웨이블릿 함수가 4계 타원형 미분방정식에 적용하기에는 불충분한 미분가능회수를 가지고 있는 문제를 해결하기 위해 어떤 방법을 사용하였는가? 본 논문에서 사용한 Hat 웨이블릿 함수는 $H^1$-공간에 속한 급수로서 일반적으로 2계 타원형 미분방정식에 적용하기에는 무리가 없으나 4계 타원형 미분방정식에 적용하기에는 불충분한 미분가능회수를 가지고 있다. 따라서 이 문제를 극복하기 위해 모멘트와 처짐을 미지수로 하는 선형방정식을 순차적으로 구성하고 풀어내는 방법을 사용하였다. 모멘트와 처짐을 미지수로 하는 순차적 해석법은 탄성하중법(모멘트면적법)의 응용으로 생각할 수 있다.
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참고문헌 (12)

  1. 강현배, 김대경, 서진근 (2001) Wavelet Theory and its application, 아카넷, 대한민국, p.650. 

  2. 우광성, 장영민, 이동우, 이상윤 (2010) 응력특이를 갖는 축방향 부재의 웨이블릿 급수해석, 한국전산구조공학회 논문집, 23(1), pp.1-8. 

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  3. 이용섭, 김윤영 (2004) 멀티스케일 적응 웨이브렛-갤러킨 기법을 이용한 박막 고유치 문제해석, 대한기계학회 논문집, 28(3), pp.251-258. 

  4. Basu, P.K., Jorge, A.B., Badri, S., Lin, J. (2003) Higher-Order Modeling of Continua by Finite-Element, Boundary-Element, Meshless, and Wavelet Methods, Computers and Mathematics with Applications, 46, pp.15-33. 

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  5. Chen, X.F., Yang, S.J., Ma, J.X. He, Z.J. (2004) The Construction of Wavelet Finite Element and its Application, Finite Elem Anal Des, 40, pp.541-554. 

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  6. Ma, J.X., Xue, J.J., Yang, S.J., He, Z.J. (2003) A Study of the Construction and Application of a Daubechies Wavelet-based Beam Element, Finite Elem Anal Des, 39, pp.965-975. 

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  7. Oden, J.T. (1982) Finite Element Method 1. Introduction, Prentics-Hall, USA. 

  8. Reddy, J.N. (1986) Applied Functional Analysis and Variational Methods in Engineering McGraw-Hill, USA. 

  9. Reddy, J.N. (1996) An Introduction to the Finite Element Method(2nd edition) McGraw-Hill, USA. 

  10. Wang, C.K. (1982) Statically Indeterminate Structure, McGraw-Hill, USA. 

  11. Xiang, J.W., Chen, X.F., He, Z.J., Dong, H.B. (2007) The Construction of 1D Wavelet Finite Elements for Structure Analysis, Comput. Mech, 40, pp.325-339. 

  12. Yang, S., Ni, G., Cardoso, J.R., Ho, S.L., Machado, J.M. (2003) A Combined Wavelet-Element Free Galerkin Method for Numerical Calculations of Electromagnetic Fields, IEEE TRANSACTION on MAGNETICs, 39, 3, pp.1413-1416. 

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