[논문]이산코사인변환을 이용한 단위근 검정

이고운; 여인권

doi:10.5351/kjas.2011.24.1.035

이산코사인변환을 이용한 단위근 검정
A Unit Root Test via a Discrete Cosine Transform 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.24 no.1, 2011년, pp.35 - 43

초록
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이 논문에서는 이산코사인변환(discrete cosine transform) 계수를 이용하여 AR(1) 과정에서 단위근을 검정하는 방법을 소개한다. 제안하고자 하는 방법의 이론적 타당성을 보이기 위해 정상 AR(1) 과정과 확률보행과정 하에서의 이산코사인변환 계수의 통계적 성질을 비교한다. 비교 결과를 이용하여 단위근 여부를 확인할 수 있는 검정통계량을 제안하고 붓스트랩을 활용하여 검정통계량의 분포를 유도한다. 모의실험을 통해 기존 Dickey-Fuller 검정과 검정력 비교를 실시하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

In this paper, we introduce a unit root test via discrete cosine transform in the AR(1) process. We first investigate the statistical properties of DCT coefficients under the stationary AR(1) process and the random walk process in order to verify the validity of the proposed method. A bootstrapping approach is proposed to induce the distribution of the test statistic under the unit root. We performed simulation studies for comparing the powers of the Dickey-Fuller test and the proposed test.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

앞 절에서 언급한 것과 같이 δ = 0인 경우에는 확률보행과정과 정상 AR(1)에서의 Y는 통계적으로 큰 차이가 없기 때문에 이 논문에서는 실제모형이 절편이 있는 확률보행과정에서의 단위근 검정에 대해 알아본다.
이 논문에서는 AR(1) 과정을 기본 모형으로 사용하여 단위근 여부를 확인하는 방법을 제안하고자 한다. AR(1) 과정은 현재시점 t에서의 관측값이 바로 앞 시점 t − 1에서의 관측값에 영향을 받으며 다음과 같은 관계식을 가진다.
모의실험과 2절에서 본 것과 같이 귀무가설 하에서의 T의 분포는 δ와 σ에 영향을 받기 때문에 표준화된 기각역을 구하기 어렵다. 이 논문에서는 이러한 문제를 해결하기 위해 다음과 같이 모수적 붓스트랩을 이용하여 기각역 또는 유의확률을 계산하는 방법을 제안한다. 먼저 차분한 시계열을 W_t = X_t − X_t−1를 이용하여 H₀: δ = 0인지를 검정하여 제안된 방법의 사용여부를 결정한다.

가설 설정

자기회귀이동평균(ARMA) 모형을 이용한 분석에서는 시계열자료가 관측 시점과 관계없이 통계적으로 유사한 성질을 가지는 정상성을 만족한다고 가정한다. 일반적으로 정상성은 시계열자료의 평균과 분산이 시점에 관계없이 동일하고 자기공분산은 시차에만 의존하는 약한 의미에서의 정상성을 의미한다.

제안 방법

귀무가설 하에서 제안된 검정통계량의 분포 및 기각역 계산을 위해 먼저 몬테칼로 모의실험을 실시하였다. 또한 이 방법의 성능을 비교하기 위해 제안 방법과 DF 방법의 검정력을 비교하였다.
단위근 검정에 대한 이론적 분석은 Dickey-Fuller (1979, 이하 DF)에 의해 제안되었으며 이를 일반화시킨 Augmented DF 검정, Phillips-Perron (1988) 검정 등이 많이 사용되고 있다. 기존 연구에서는 AR 모수에 대한 추론을 기반으로 단위근 여부를 검정하는 반면 이 논문에서 제안하는 검정법은 이산코사인변환(discrete cosine transform; DCT) 계수를 활용한 오차항의 분산 추정량과 회귀모형에서의 OLS 추정량에 의한 분산 추정량을 비교한다. 이에 대한 이론적 근거를 제시하기 위해 확률보행과정과 정상 AR(1) 과정에서의 이산코사인변환 계수를 이용한 분산 추정량의 통계적 성질을 유도하고 몬테칼로 모의실험을 통해 제안하는 검정법과 기존의 DF-검정과의 검정력을 비교한다.
동일한 n, δ와 σ 조건 하에서 ϕ = (0.99, 0.95, 0.9, 0.8, 0.7, 0.6, 0.5)에 대해 만번 반복하여 귀무가설을 기각시킨 비율을 계산하였다.
먼저 차분한 시계열을 Wt = Xt − Xt−1를 이용하여 H0 : δ = 0인지를 검정하여 제안된 방법의 사용여부를 결정한다.
모의실험에서는 n = (50, 100, 200), δ = (1, 3), σ = (1, 3)가 사용되었으며 각 설정에서 확률보행과정을 따르는 시계열을 10만 번 반복 발생하여 T의 분포를 생성하고 1%와 5%에 해당하는 임계값을 구했다.
제안된 방법에서는 절편 δ와 표준편차 σ의 값에 검정력이 영향을 받으며 동일조건 하에서 |δ|/σ의 값이 커지면 커질수록 검정력이 커지는 것으로 나타났다. 실제 적용에 있어 제안한 검정통계량의 분포를 유도하기 어렵고 δ와 표준편차 σ를 모르기 때문에 이 논문에서는 붓스트랩을 이용하여 기각역의 임계값 또는 유의확률을 계산하는 방법을 알아보았다. 향후 독립이 아닌 이차형식의 통계량 비(ratio)에 대한 적률과 분포에 대한 연구를 이용하여 귀무 가설 하에서의 검정 통계량의 분포를 근사적 또는 점근적으로 유도할 예정이다.
이 논문에서 귀무가설 하에서는 이산코사인변환 계수를 활용한 분산의 추정량과 적합모형 Xt = δ +𝜙Xt−1 + εt 하에서 δ와 𝜙의 OLS 추정량 #와 #를 이용한 분산 추정량을 비교하는 검정통계량을 제안한다.
이 논문에서 통계청 사회통계국 인구동향과에서 발표한 1970년부터 2009년까지의 ‘인구동태건수 및 동태율 추이’ 자료를 이용하여 출생아 수(명), 이혼건수(건), 기대수명(출생시 기대여명) 자료에 대해 제안한 방법을 이용하여 단위근 검정을 실시하였다.
이에 대한 이론적 근거를 제시하기 위해 확률보행과정과 정상 AR(1) 과정에서의 이산코사인변환 계수를 이용한 분산 추정량의 통계적 성질을 유도하고 몬테칼로 모의실험을 통해 제안하는 검정법과 기존의 DF-검정과의 검정력을 비교한다. 제안 방법은 절편과 분산에 영향을 받기 때문에 표준화된 기각역을 구하기 어려워 이 논문에서는 모수적 붓스트랩을 통해 기각역 또는 유의확률을 계산한다.

데이터처리

귀무가설 하에서 제안된 검정통계량의 분포 및 기각역 계산을 위해 먼저 몬테칼로 모의실험을 실시하였다. 또한 이 방법의 성능을 비교하기 위해 제안 방법과 DF 방법의 검정력을 비교하였다. 모의실험에서는 n = (50, 100, 200), δ = (1, 3), σ = (1, 3)가 사용되었으며 각 설정에서 확률보행과정을 따르는 시계열을 10만 번 반복 발생하여 T의 분포를 생성하고 1%와 5%에 해당하는 임계값을 구했다.
기존 연구에서는 AR 모수에 대한 추론을 기반으로 단위근 여부를 검정하는 반면 이 논문에서 제안하는 검정법은 이산코사인변환(discrete cosine transform; DCT) 계수를 활용한 오차항의 분산 추정량과 회귀모형에서의 OLS 추정량에 의한 분산 추정량을 비교한다. 이에 대한 이론적 근거를 제시하기 위해 확률보행과정과 정상 AR(1) 과정에서의 이산코사인변환 계수를 이용한 분산 추정량의 통계적 성질을 유도하고 몬테칼로 모의실험을 통해 제안하는 검정법과 기존의 DF-검정과의 검정력을 비교한다. 제안 방법은 절편과 분산에 영향을 받기 때문에 표준화된 기각역을 구하기 어려워 이 논문에서는 모수적 붓스트랩을 통해 기각역 또는 유의확률을 계산한다.

이론/모형

DF 방법은 R의 fUnitRoots 패키지에서 제공하는 unitrootTest함수를 이용하였으며 선택사항에서 lags = 1, trend = “ct”로 설정하여 표 3.1에서 Case IV로 분석하였다.

성능/효과

그러나 DF 검정의 경우 δ와 σ의 값에 관계없이 같은 n인 경우 비슷한 검정력을 가지는 것으로 나타난 반면 DCT 검정의 경우 δ/σ가 크면 클수록 높은 검정력을 가지는 것으로 나타났으며 δ/σ가 같으면 기각역과 검정력이 유사한 것을 추가 모의실험을 통해 확인했다.
제안된 방법에서는 절편 δ와 표준편차 σ의 값에 검정력이 영향을 받으며 동일조건 하에서 |δ|/σ의 값이 커지면 커질수록 검정력이 커지는 것으로 나타났다. 실제 적용에 있어 제안한 검정통계량의 분포를 유도하기 어렵고 δ와 표준편차 σ를 모르기 때문에 이 논문에서는 붓스트랩을 이용하여 기각역의 임계값 또는 유의확률을 계산하는 방법을 알아보았다.
표 4.1은 붓스트랩에서 사용된 통계값과 만 번의 재표집과정을 통해 얻어진 기각역의 임계값과 유의확률을 정리한 것으로 출생아 수, 이혼건수, 기대수명의 시계열에는 모두 단위근을 있는 것으로 분석되었으며 이들 지표에 대한 분석에서는 차분된 시계열을 이용해야 하는 것으로 나타났다.
2는 DF 검정과 DCT를 이용한 검정의 검정력 결과를 보여준다. 표에서 보는 것과 같이 제안된 DCT 검정의 검정력은 모든 설정에 대해 기존 DF 검정보다 비교할 수 없을 정도로 높은 것으로 나타났다. 그러나 DF 검정의 경우 δ와 σ의 값에 관계없이 같은 n인 경우 비슷한 검정력을 가지는 것으로 나타난 반면 DCT 검정의 경우 δ/σ가 크면 클수록 높은 검정력을 가지는 것으로 나타났으며 δ/σ가 같으면 기각역과 검정력이 유사한 것을 추가 모의실험을 통해 확인했다.

후속연구

실제 적용에 있어 제안한 검정통계량의 분포를 유도하기 어렵고 δ와 표준편차 σ를 모르기 때문에 이 논문에서는 붓스트랩을 이용하여 기각역의 임계값 또는 유의확률을 계산하는 방법을 알아보았다. 향후 독립이 아닌 이차형식의 통계량 비(ratio)에 대한 적률과 분포에 대한 연구를 이용하여 귀무 가설 하에서의 검정 통계량의 분포를 근사적 또는 점근적으로 유도할 예정이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	단위근 검정에 대한 이론적 분석에 사용되는 것은?	단위근 검정에 대한 이론적 분석은 Dickey-Fuller (1979, 이하 DF)에 의해 제안되었으며 이를 일반화시킨 Augmented DF 검정, Phillips-Perron (1988) 검정 등이 많이 사용되고 있다. 기존 연구에서는 AR 모수에 대한 추론을 기반으로 단위근 여부를 검정하는 반면 이 논문에서 제안하는 검정법은 이산코사인변환(discrete cosine transform; DCT) 계수를 활용한 오차항의 분산 추정량과 회귀모형에서의 OLS 추정량에 의한 분산 추정량을 비교한다.
	자기회귀이동평균(ARMA) 모형을 이용한 분석에서 가정하는 것은?	자기회귀이동평균(ARMA) 모형을 이용한 분석에서는 시계열자료가 관측 시점과 관계없이 통계적으로 유사한 성질을 가지는 정상성을 만족한다고 가정한다. 일반적으로 정상성은 시계열자료의 평균과 분산이 시점에 관계없이 동일하고 자기공분산은 시차에만 의존하는 약한 의미에서의 정상성을 의미한다.
	이산코사인변환은 어디에 많이 사용되는가?	그에 비해 이산코사인변환은 이산푸리에변환에서 실수 값만 가지는 변환으로 좌우대칭한 우함수성질을 가지고 있기 때문에 계산이 쉬우면서도 높은 설명력을 가진다. 또한 신호의 에너지성분 대부분이 저주파 일부에 집중되는 강력한 에너지 집중 특성을 가지고 있기 때문에 신호처리 및 영상처리에 많이 사용된다. Rao와 Yip (1990)에는 이산코사인변환의 주요 성질과 응용사례들이 나와 있다.

참고문헌 (9)

여인권, 윤화형, 조신섭 (2006). 시계열분석을 위한 주파수 공간상에서의 재표집 기법, , 19, 121-134.

원문보기 상세보기
Ahmed, N., Natarjan, T. and Rao, K. R. (1974). Discrete cosine transform, IEEE Transactions on Computers, 23, 90-93.

상세보기
Davies, R. B. (2001). Integrated processes and the discrete cosine transform, Journal of Applied Probability, 38A, 701？717.
Dickey, D. A., Bell, W. R. and Miller, R. B. (1986). Unit roots in time series models: Tests and implications, The American Statistician, 40, 12-26.

상세보기
Dickey, D. A. and Fuller, W. A. (1979). Distribution of the estimators for autoregressive time series with a unit root, Journal of the American Statistical Association, 74, 427-431.

상세보기
Hamilton, J. D. (1994). Time Series Analysis, Princeton University Press.
Harvey, A. C. (1989). Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter, Cambridge University Press, Cambridge.
Phillips, P. C. B. and Perron, P. (1988). Testing for unit roots in time series regression, Biometrika, 75, 335-346.

상세보기
Rao, K. R. and Yip, P. (1990). Discrete Cosine Transform: Algorithms, Advantages, Applications, Academic Press, New York.

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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