[논문]일반화 이항모형의 적합도 평가

백은주; 김기영

doi:10.5351/ckss.2011.18.4.507

일반화 이항모형의 적합도 평가
Comparative Simulation Studies on Generalized Binomial Models 원문보기

한국통계학회 논문집 = Communications of the Korean Statistical Society, v.18 no.4, 2011년, pp.507 - 516

초록
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상관된 이항자료에 대한 일반화 이항모형들을 비교한 연구들은 고려한 모형과 비교기준에서 결과가 제한적이라는 측면이 있다. 이 연구는 모형선택의 가능한 지침을 제공하기 위해 모의실험을 통하여 모형별 적합도와 베르누이 시행의 성공확률 및 급내상관계수에 대한 ML추정량들을 비교하였다. 모수의 특정영역을 제외하고 포괄적 적합도나 추정량의 MSE 및 편의 등 성분적합에서는 대부분의 모형이 일정 수준의 경쟁적 관계에 있는 것으로 나타났다. 그러나 고려한 모형들 중 특히 일반화 확장베타이항모형 (Prentice, 1986)은 거의 모든 모수영역과 비교기준에 걸쳐 일관되게 양호한 수행력을 가지는 것으로 평가되었다.

Abstract ▼ AI-Helper

Comparative studies on generalized binomial models (Moon, 2003; Ng, 1989; Paul, 1985; Kupper and Haseman, 1978; Griffiths, 1973) are restrictive in that the models compared are rather limited and MSE of the estimates is the only measure considered for the model adequacy. This paper is aimed to report simulation results which provide possible guidelines for selecting a proper model. We examine Pearson type of goodness-of-fit statistic to its degrees of freedom and AIC for the overall model quality. MSE and Bias of the individual estimates are also considered as the component fit measures. Performance of some models varies widely for a certain range of the parameter space while most of the models are quite competent. Our evaluation shows that the Extended Beta-Binomial model (Prentice, 1986) turns out to be particularly favorable in the point that it provides consistently excellent fit almost all over the values of the intra-class correlation coefficient and the probability of success.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

그러나 이들 간 비교연구 (Moon, 2003; 문명상, 1999; Ng, 1989; Paul, 1987; Kupper와 Haseman, 1978; Griffiths, 1973)은 분석대상의 모형이 제한적일 뿐더러, 그 중 선택된 몇 개의 모형에 대한 평가지표로 추정량의 평균제곱오차만을 고려하는 등 부분적 결과라는 측면이 있다. 이 연구는 모의실험을 통해 모형별 가능한 급내상관계수의 범위에 걸쳐 다양한 형태의 적합도를 고려함으로써 주어진 상관이항자료에 대한 적절한 모형을 선택하는 데에 가능한 지침을 제공한다.

가설 설정

모형 MDB에서는 ψ1 = ψ2 = · · · = ψn−1을 가정하였다.

제안 방법

모의실험에서 n = 3, 5, 7을 고려하고, 각 n의 크기 100개로 구성된 모의실험 자료로부터 π와 γ에 대한 최대우도추정량을 구하고, 이 과정은 총 100회 반복되었다.
일반화 이항모형의 평가는 통상 실제자료에 대한 모형별 카이제곱 적합도를 중심으로 고려되었는데 (Kupper와 Haseman, 1978; Altham, 1978; Ng, 1989; Griffiths, 1973), 모의실험을 통한 연구는 Drezner과 Farnum (1993)의 일반화 이항모형에 대한 MLE의 평가 (문명상, 1999)와 (BB, CB, MDB)의 비교연구 (Moon, 2003)가 있으나 베르누이 시행 간 상관관계가 양인 경우에 한해 (π, γ)에 대한 추정량의 MSE를 기준으로 평가하였다. 이 연구에서는 모의실험을 통해 일반화 이항모형들의 비교대상영역을 넓히고, 모형의 적합도를 평가하는 잣대를 다양화하였다. 여기서 베르누이 시행들 간의 상관관계는 모두 동일한 것으로 상정하고, 모수 (π, γ)의 MLE (#, #)를 평가대상으로 하였다.
이항변수들 간 급내상관이 존재하는 자료에 다섯 개의 일반화 이항모형을 적합시켜 그 성능을 모의실험을 통해 살펴보았다. 모형별 포괄적 적합도의 상황이 개별 모수에 대한 추정량의 질적 수준과 상호 일치하지 않는 상황도 있었다.
일반화 이항모형의 평가는 통상 실제자료에 대한 모형별 카이제곱 적합도를 중심으로 고려되었는데 (Kupper와 Haseman, 1978; Altham, 1978; Ng, 1989; Griffiths, 1973), 모의실험을 통한 연구는 Drezner과 Farnum (1993)의 일반화 이항모형에 대한 MLE의 평가 (문명상, 1999)와 (BB, CB, MDB)의 비교연구 (Moon, 2003)가 있으나 베르누이 시행 간 상관관계가 양인 경우에 한해 (π, γ)에 대한 추정량의 MSE를 기준으로 평가하였다.

이론/모형

(4) 일반화 확장베타이항모형(generalized Extended Beta Binomial model; EBB): 급내상관이 양인 자료에 대해 정당화되는 모형 BB에 재모수화 과정을 통해 그 제약을 완화시킨 다음 형식의 모형 EBB가 Prentice (1986)에 의해 고려되었다.
MDB에 대한 범위는 ψi (i = 1, 2, . . . , n −1)의 선택에 따라 거의 모든 급내상관계수를 포함할 수 있으나, 표 1에서는 다른 모형과의 비교를 위해 MDB의 특수한 경우인 일반화 가법이항모형 (Altham, 1978)에 대한 것을 표기하였다.

성능/효과

(2) AIC: 표 2는 EBB가 대체적으로 여기에서 고려한 전체 모수공간에 걸쳐 가장 낮은 AIC를 가지고 있는 것으로 나타났다. 특히 γ < 0의 경우 CB와 MPB가 EBB에 못지않은 대안모형이 될 수 있음을 보이고 있다.
③ CB는 π의 모든 영역에서, 특히 γ가 증가함에 따라, 그리고 π가 0.5로부터 이탈함에 따라 부적합의 정도가 심화되었고, 이와 유사하게 MPB도 π의 양단에서 낮은 적합도를 보였다.
모형별 포괄적 적합도의 상황이 개별 모수에 대한 추정량의 질적 수준과 상호 일치하지 않는 상황도 있었다. 그러나 거의 모든 성공확률과 급내상관계수에 걸쳐 포괄적, 세부적 모형적합의 측면에서 대체적으로 우수한 모형은 EBB로 나타났다. 좀 더 구체적으로 살펴보면 음의 급내상관이 있는 경우 CB와 MPB도 EBB의 대안으로 고려할 수 있을 정도의 양호한 적합도를 보였다.
한편 비교적 낮은 수준의 양의 급내상관인 경우 BB가 EBB보다 상대적으로 우수할 경우도 있었으며, 비교적 높은 양의 급내상관에서는 MDB도 무난한 모형이었다. 다만 그 양호함의 정도가 월등히 크지 않아 종합적으로 살펴보았을 때 EBB가 가장 우수한 적합도를 가진다고 할 수 있다. 특히 BB와 MDB는 음의 급내상관이 있는 경우 사용이 크게 제한적이었으며, CB와 MPB는 모두 양의 급내상관이 있는 경우 γ가 증가함에 따라 적합도가 급속하게 악화되는 것을 확인할 수 있었다.
그러나 거의 모든 성공확률과 급내상관계수에 걸쳐 포괄적, 세부적 모형적합의 측면에서 대체적으로 우수한 모형은 EBB로 나타났다. 좀 더 구체적으로 살펴보면 음의 급내상관이 있는 경우 CB와 MPB도 EBB의 대안으로 고려할 수 있을 정도의 양호한 적합도를 보였다. 한편 비교적 낮은 수준의 양의 급내상관인 경우 BB가 EBB보다 상대적으로 우수할 경우도 있었으며, 비교적 높은 양의 급내상관에서는 MDB도 무난한 모형이었다.
특정 모형이 가지는 γ의 허용범위가 상대적으로 덜 제약적이어서 자료의 더 광범한 속성을 포괄할 수 있는 모형이라해도 그에 대한 적합도에서 다양한 결과는 물론 적합우수성은 보장되지 않다는 점은 흥미로웠다.
특히 BB와 MDB는 음의 급내상관이 있는 경우 사용이 크게 제한적이었으며, CB와 MPB는 모두 양의 급내상관이 있는 경우 γ가 증가함에 따라 적합도가 급속하게 악화되는 것을 확인할 수 있었다.
좀 더 구체적으로 살펴보면 음의 급내상관이 있는 경우 CB와 MPB도 EBB의 대안으로 고려할 수 있을 정도의 양호한 적합도를 보였다. 한편 비교적 낮은 수준의 양의 급내상관인 경우 BB가 EBB보다 상대적으로 우수할 경우도 있었으며, 비교적 높은 양의 급내상관에서는 MDB도 무난한 모형이었다. 다만 그 양호함의 정도가 월등히 크지 않아 종합적으로 살펴보았을 때 EBB가 가장 우수한 적합도를 가진다고 할 수 있다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	베타이항모형이란?	(1) 베타이항모형(Beta Binomial model; BB): 이는 Bj들 간의 종속관계를, π에 베타분포[Beta(α, β)]를(Williams, 1975), 그리고 조건부 확률변수 X\|π에 B(n, π)를 가정하여 모형화한 것으로, 이때 비조건부 확률변수 X는 식 (2.1)의 베타이항분포[BB(n, α, β)]에 따르게 된다.
	모형별 MSE(#)를 분석한 결과는?	① EBB는 전반적으로 낮은 MSE를 가지고 있으며, MDB 또한 γ > 0일 경우 그의 MSE는 EBB와 유사한 수준이다. ② γ < 0일 경우 MPB는 π의 양단에서, 그리고 MDB 또한 작은 π에서 큰 MSE를 가진다. 특히 MPB가 π = 0.5를 전후로 가지는 편이를 고려할 때 π의 추정에 관한 한 MPB는 적절한 모형으로 간주하기 어렵다. ③ BB와 CB에서는 (π, γ)에 따라 MSE의 굴곡을 보이며, 특히 BB의 경우 π가 작고, γ가 매우 클 때 상승정도가 매우 급격함을 보여 주의를 요한다.
	동복자효과등으로 관찰되는 베르누이 시행들 간에 종속적 관계를 설정하는 것이 적절할 경우 사용하는 방법은?	생체검사 실험에서 동복자효과(litter effect) 등으로 인해 관찰되는 베르누이 시행들 간에 종속적 관계를 설정하는 것이 적절할 경우가 있다. 이런 유형의 자료를 다루기 위해 통상적 이항분포를 일반화한 여러 유형의 모형들이 제안되었다. 그러나 이들 간 비교연구 (Moon, 2003; 문명상, 1999; Ng, 1989; Paul, 1987; Kupper와 Haseman, 1978; Griffiths, 1973)은 분석대상의 모형이 제한적일 뿐더러, 그 중 선택된 몇 개의 모형에 대한 평가지표로 추정량의 평균제곱오차만을 고려하는 등 부분적 결과라는 측면이 있다.

참고문헌 (15)

문명상 (1999). 일반화 이항분포모형에서 시행간 종속성 규정모수의 추정량 비교연구, Journal of the Korean Data & Information Science Society, 10, 279-288.

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Danaher, P. J. and Hardie, G. S. (2005). Bacon with your eggs? Applications of a New Bivariate Beta-Binomial Distribution, The American Statistician, 59, 282-286.

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Emrich, L. J. and Piedmonte, M. R. (1991). A method for generating high-dimensional multivariate binary variates, The American Statistician, 45, 302-304.

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Griffiths, D. A. (1973). Maximum likelihood estimation for the beta-binomial distribution and an application to the household distribution of the total number of cases of a disease, Biometrics, 29, 637-648.

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Kupper, L. L. and Haseman, J. K. (1978). The use of a correlated binomial model for the analysis of certain toxicological experiments, Biometrics, 34, 69-76.

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Lancaster, H. O. (1969). The Chi-Squared Distribution, Wiley, London.
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Ng, T. H. (1989). A new class of modified binomial distributions with applications to certain toxicological experiments, Communications in Statistics - Theory and Methods, 18, 3477-3492.

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Paul, S. R. (1987). On the beta-correlated binomial(BCD) distribution- A three parameter generalization of the binomial distribution, Communications in Statistics - Theory and Methods, 16, 1473-1478.

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Prentice, R. L. (1986). Binary regression using an extended beta-binomial distribution, with discussion of correlation induced by covariate measurement errors, The American Statistician, 81, 394, 321-327.
Williams, D. A. (1975). The analysis of binary responses from toxicological experiments involving reproduction and teratogenicity, Biometrics, 31, 949-952.

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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